Absurdes (?) Würfel-Spiel < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Folgendes Würfel-Spiel:
Man würfelt so lange, bis man eine gerade Zahl wirft. Dann ist das Spiel zu Ende.
Wenn man beim 1. Wurf eine gerade Zahl wirft, kriegt man 2 Euro ausgezahlt.
Wenn man beim 2. Wurf eine gerade Zahl wirft, kriegt man 4 Euro ausgezahlt.
Wenn man beim 3. Wurf eine gerade Zahl wirft, kriegt man 8 Euro ausgezahlt.
Wenn man beim 4. Wurf eine gerade Zahl wirft, kriegt man 16 Euro ausgezahlt - und so weiter.
Also: Wenn man mit dem x-ten Wurf die erste gerade Zahl wirft, kriegt man [mm] 2^{x} [/mm] Euro ausgezahlt
Frage: Wie viel müsste man pro Spiel bezahlen, damit das Spiel fair ist?
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Obiges hatte meine Nachhilfe-Schülerin als Hausaufgabe.
Rein theroretish könnte ein einziges Spiel doch unendlich lange dauern. Und am Ende wäre man dann Multimillionär.
Der Erwartungswert für "Gerade Zahl im 1. Wurf" wäre: 0.5*2 = 1
Der Erwartungswert für "Gerade Zahl im 2. Wurf" wäre: 0.5*0.5*4 = 1
Der Erwartungswert für "Gerade Zahl im 3. Wurf" wäre: 0.5*0.5*0.5*8 = 1
Der Erwartungswert für "Gerade Zahl im 4. Wurf" wäre: 0.5*0.5*0.5*0.5*16 = 1
und so weiter
Wie schon oben gesagt: Rein theroretisch könnte so ein Spiel unendlich lange dauern.
Dann würde man die Erwartungswerte addieren: 1 + 1 + 1 + ... = [mm] \infty
[/mm]
Demzufolge müsste man für das Spiel einen unendlich großen Einsatz leisten. Das erscheint aber völlig absurd.
Wo ist denn da der Denkfehler? Oder ist die Aufgabe als solche so bescheuert?
Man müsste sinnvollerweise dem Gewürfele doch irgendwo ein Ende setzen: Kein Mensch würfelt sein Leben lang ununterbrochen 24 Stunden am Tag...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:14 Fr 26.02.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Würfelt man mit 1 oder 2 Würfeln?
mit einem Würfel hab ich doch die Wahrscheinlichkeit 1/2 für gerade. d,h, dass ich mit Wk 1/2 weiterwürfeln darf. usw.
Mach das Spiel doch 10 mal, das geht schnell. da es nur auf Gerade ug. ankommt kannst du auch ne Münze werfen und die Ek. ausrechnen in n Würfen keine Zahl zu haben (Zahl=g)
also kannst du auch gleich n-1 Münzen werfen, und ausrechnen mit welcher Wk. keine Zahl zeigt. das ist die Wk. [mm] 2^n [/mm] € zu kriegen.
Du hast doch rausgekriegt, dass der faire Einsatz 1€ ist, was ist dabei falsch?
Das "unfaire" an diesem Spiel ist wirklich, dass man es th. unendlich lang spielen müsste.
also wäre die realistische Frage, was der faire Einsatz ist, wenn die Anzahl der Spiele auf n begrenzt ist.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:25 Fr 26.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das "unfaire" an diesem Spiel ist wirklich, dass man es
> th. unendlich lang spielen müsste.
Dies tritt mit W'keit 0 ein.
> also wäre die realistische Frage, was der faire Einsatz
> ist, wenn die Anzahl der Spiele auf n begrenzt ist.
Nein, das wäre eine langweilige Standardaufgabe. Der Reiz hier ist das paradoxe, dass das Spiel unendlichen EW hat.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:17 Sa 27.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> > also wäre die realistische Frage, was der faire Einsatz (E)
> > ist, wenn die Anzahl der Spiele auf n begrenzt ist.
Genau so sehe ich das auch.
Da habe ich raus: [mm] E=log_{2}n
[/mm]
> Nein, das wäre eine langweilige Standardaufgabe. Der Reiz
> hier ist das paradoxe, dass das Spiel unendlichen EW hat.
Die Anzahl der Spiele nicht zu begrenzen begrenzen - d.h. für n "unendlich" zu setzen - halte ich für ziemlich bescheuert.
Grund:
Der Veranstalter dieses Spiels müsste einen riesengroßen Einsatz pro Spiel verlangen, wenn er nicht Pleite gehen will.
Riesengroße Einsätze schrecken Spieler jedoch ab. Also spielt niemand.
So etwas ist doch bescheuert (man kann es natürlich auch vornehm mit "paradox" umschreiben)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:48 Sa 27.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> > > ist, wenn die Anzahl der Spiele auf n begrenzt ist.
>
> Genau so sehe ich das auch.
>
> Da habe ich raus: [mm]E=log_{2}n[/mm]
Wie kommst du darauf? Es scheint mir eher n zu sein.
> Die Anzahl der Spiele nicht zu begrenzen begrenzen - d.h.
> für n "unendlich" zu setzen - halte ich für ziemlich
> bescheuert.
Es ist ein theoretisches Spiel das man innerhalb der aufgestellten Regeln in der Mathematik betreiben kann. In so fern sind große Teile der Mathematik bescheuert. Was man danach macht, ist die Ergebnisse mit realen Randbedingungen zu vergleichen.
> Grund:
> Der Veranstalter dieses Spiels müsste einen riesengroßen
> Einsatz pro Spiel verlangen, wenn er nicht Pleite gehen
> will.
Eher sogar unendlich
> Riesengroße Einsätze schrecken Spieler jedoch ab. Also
> spielt niemand.
Och, kommt auf die Höhe an - für 50.000€ gäbe es auf dieser Welt genug Leute.
> So etwas ist doch bescheuert (man kann es natürlich auch
> vornehm mit "paradox" umschreiben)
Redest du das auch deinen Nachhilfeschüler so ein? Dieses Spiel ist eine hervorragende Möglichkeit an verschiedenen Stellen zu zeigen, warum das Spiel in Wirklichkeit nie so passieren würde (beschauert ist) - man aber so um Begriffsbildung in der Mathematik ringt. Und eine hervorragende Gelegenheit, sich über Gewinnmaximierung vs. Nutzenmaximierung klar zu werden.
Ich habe da ein Buch "Paradoxien in der Stochastik". Da ist so einiges drin, was einen verwunder kann. Paradoxien gibt es immer wieder - sie laden dazu ein, Begriffe zu verstehen und zu erweitern, die Korrespondenz zwischen Wirklichkeit und Modell zu untersuchen - und sie schließlih zu lösen. Es sind Chancen!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:26 Fr 26.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> Würfelt man mit 1 oder 2 Würfeln?
Mit 1 Würfel
> Wieso hast du im ersten Wurf den EW 2?
Da ist der Erwartungswert 1 (Der Gewinn wäre 2 Euro)
> mit einem würfel ab ich doch die Wahrscheinlichkeit 1/2
> für gerade. d,h, dass ich mit Wk 1/2 weiterwürfeln darf. usw
Genau so ist es.
> Mach das Spiel doch 10 mal, das geht schnell. da es nur
> auf Gerade ug. ankommt kannst du auch ne Münze werfen und
> die Ek. ausrechnen in n Würfen keine Zahl zu haben
> (Zahl=g)
Ja. Mit Münzen (Kopf/Zahl) geht es genau so.
Aber warum 10 mal? Das ist ja gerade das Problem, dass da keine Begrenzung in der Aufgabe steht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:22 Fr 26.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Rein theroretish könnte ein einziges Spiel doch unendlich
> lange dauern. Und am Ende wäre man dann Multimillionär.
Könnte es, es aht bloß W'keit 0, dass du unendlich weiterwürfelst. Multimillionär wäre dann untertrieben, wenn der Fall mit W'keit 0 eintritt.
> Wie schon oben gesagt: Rein theroretisch könnte so ein
> Spiel unendlich lange dauern.
> Dann würde man die Erwartungswerte addieren: 1 + 1 + 1 +
> ... = [mm]\infty[/mm]
Korrekt.
> Demzufolge müsste man für das Spiel einen unendlich
> großen Einsatz leisten. Das erscheint aber völlig absurd.
Das ist aber korrekt. Es ist vor allem paradox als absurd.
> Wo ist denn da der Denkfehler? Oder ist die Aufgabe als
> solche so bescheuert?
Kein Denkfehler, fern von bescheuert.
> Man müsste sinnvollerweise dem Gewürfele doch irgendwo
> ein Ende setzen: Kein Mensch würfelt sein Leben lang
> ununterbrochen 24 Stunden am Tag...
Das oben is ein theoretische Spiel, das eben paradoxe Situationen beschreibt - denn kein Mensch würde für dieses Spiel sein ganze hab und gut setzen, selbst wenn der EW unendlich wäre.
Und, btw, ist dies ![[]](/images/popup.gif) ein Standardparadoxon der Stochastik. Wie es auch SPiele gibt mit unendlichem EW aber W'keit 1, dass man verliert.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:39 Sa 27.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> Das oben ist ein theoretische Spiel, das eben paradoxe
> Situationen beschreibt - denn kein Mensch würde für
> dieses Spiel sein ganze Hab und Gut setzen, selbst wenn der
> EW unendlich wäre.
Also ist das wohl eher eine Aufgabe aus der Psychologie oder Philosophie.
Millionen von Menschen spielen Woche für Woche Lotto, und Millionen von Menschen haen eine Haftpflichtversicherung.
Ersteres tun sie, um mit minimal-kleinem Einsatz Millionär zu werden.
Letzeres tun sie, um sich mit einer kleinen Prämie vor dem finanziellen Ruin zu schützen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass so ein Glücks-(bzw. Unglücks)-Fall eintritt, ist allerdings in beiden Fällen verschwindend gering.
Mathematisch gesehen sind sowohl Lotto als auch Versicherungen Verlustgeschäfte (das heißt: nur der Veranstalter gewinnt mit Sicherheit).
Nur aufgrund von Psychologie lassen sich die Menschen trotzdem darauf ein (mathematische Unkenntnis dürfte es meines Erachtens nach eher nicht sein)
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> und
> Millionen von Menschen haben eine Haftpflichtversicherung.
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> Mathematisch gesehen sind [...]
> Versicherungen Verlustgeschäfte (das heißt: nur der
> Veranstalter gewinnt mit Sicherheit).
>
> Nur aufgrund von Psychologie lassen sich die Menschen
> trotzdem darauf ein (mathematische Unkenntnis dürfte es
> meines Erachtens nach eher nicht sein)
Hallo,
wieso Psychologie? Ich finde, die Haftpflichtversicherung ist hier wirklich ein schlechtes Beispiel.
Daß ich eine Haftpflichtversicherung habe, hat überhaupt nichts mit Psychologie zu tun.
Du schreibst doch selbst:
> Letzeres tun sie, um sich mit einer kleinen Prämie vor
> dem finanziellen Ruin zu schützen.
In dem Fall, in welchem ich in Haftung genommen werde - und ich rede jetzt nicht von Pippifax wie 5000 € -, bin ich am Ende, und da nützt es mir überhaupt nichts, daß das Eintreten dieses Falls recht unwahrscheinlich ist.
Wenn ich den Haftpflichtbeitrag über Jahre hinweg auf meinem Sparbuch sparen würde, würde mir das im Eintritt eines echten Schadensfalles absolut nichts nützen. Das wäre ein Tropfen auf den heißen Stein.
(Bei anderen Versicherungen, die nichtexistenzbedrohende und häufigere Risiken abdecken, sieht das anders aus.
Ich habe beispielsweise keine OP-Versicherung für meine Tiere.)
Daß Versicherungen keine karitativen Einrichtungen sind, ist natürlich klar.
Dasselbe trifft leider auch auf meinen Heizungsbauer und die KfZ-Werkstatt zu.
Die einzig Lieben, Guten und Selbstlosen findet man eh im Matheraum...
Entschuldigung, falls ich vom Thema abgekommen bin.
An Würfeln und Lotto hab' ich so wenig Interesse, aber das war jetzt mal was.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:43 Mo 01.03.2010 | | Autor: | gfm |
Seh ich genauso.
Und wenn man noch weiter ausholt könnte man die Prämie einer Absicherung als Hedgingkosten für den Vermögensaufbau betrachten, der nicht mehr möglich wäre, wenn entsprechende Ereignisse einträten.
LG
gfm
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:58 Sa 27.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Also ist das wohl eher eine Aufgabe aus der Psychologie
> oder Philosophie.
Naja - es ist vor allem eine frage der BWL und VWL, in der nicht nur Psyhologie sondern Risikoscheue (und die rationalen Gründe dafür!) reinspielen. Die VWLer haben auch Nutzenfunktionen entwickelt. Die Annahme nämlich, dass den EW zu maximieren rational ist, kann man - eben zB mit diesem Paradox - nicht wirklich halten. Aber das steht alles auch im Link, vor allem in der englischen Fassung.
Dieses Paradoxon ist das typische Wechselspiel zwischen Theorie und PRaxis - hier modelleirt die Mathematik "reale" Vorgänge und muss sich daher einer Überprüfung durch die "Wirklichkeit" stellen.
> Ersteres tun sie, um mit minimal-kleinem Einsatz Millionär
> zu werden.
Ich hatte gestern ein Gespräch unter Mathematikern, wo ungefähr einer meinte: "Lotto spielen ist nicht irrational. Das, was einem zu einem ausgeglichenen EW fehlt, ist das, was man für Spannung und Spaß daran zahlt." Man zahlt beim Lotto nicht nur für den Gewinn sondern auch einfach für den Spielspaß, die Spannung, die man hat, wenn man die Lotto zahlen nachschaut.
> Letzeres tun sie, um sich mit einer kleinen Prämie vor
> dem finanziellen Ruin zu schützen.
Das ist komplett rational. Und dies kann man mathematisch mit Nutzenfunktionen modellieren.
> Mathematisch gesehen sind sowohl Lotto als auch
> Versicherungen Verlustgeschäfte (das heißt: nur der
> Veranstalter gewinnt mit Sicherheit).
Tja ... nur wenn man "EW maximieren" als richtig und einziges Prinzip ansetzt. Mathematik folgert aus den Prämissen. Und wenn man zB VWL betreibt sieht man, dass diese Prämisse für die meisten Menschen nicht gilt. Du nimmst einfach an, dass den EW zu maximieren, in jedem Fall logisch ist - aber wie Angela sagte: die Abwendung eines Katastrophenfalls bewerten Menschen (zu recht, imo) etwas höher.
> Nur aufgrund von Psychologie lassen sich die Menschen
> trotzdem darauf ein (mathematische Unkenntnis dürfte es
> meines Erachtens nach eher nicht sein)
Nein - man kann dies mit den richtigen mathematischen Modellen erklären. Und wenn man die richtigen hat, kommt man für obiges Petersburger Spiel auch auf Einsätze für unterschiedliche Vermögen! Das kann man auf dem Wiki nachlesen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:48 So 28.02.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> aber wie Angela sagte: die Abwendung eines Katastrophenfalls
> bewerten Menschen (zu recht, imo) etwas höher
Genau so ist es: Es liegt an der individuell-persönlichen Bewertung und Einschätzung.
Noch nie starben in Deutschland in einem Jahr so wenige Menschen bei Verkehrsunfällen wie im Jahre 2009: Etwas mehr als Viertausend
Wenn der Mensch also seinen eigenen Tod auf dieselbe Stufe stellen würde wie den finanziellen Ruin [mm] \Rightarrow [/mm] dann dürfte niemand, der eine Haftpflichtversicherung hat, in ein Auto steigen.
Begründung: Wer das Risiko des finanziellen Ruins mit allen Mitteln vermeiden will, der müsste auch das Risiko eines tödlichen Verkehrsunfalls mit allen Mitteln vermeiden.
Rein rechnerisch dürfte das Verkehrs-Risiko jedenfalls größer sein als das Ruin-Risiko (Wenn es jedes Jahr mehrere tausend ruinöse Haftpflicht-Fälle geben würde, dann wären die Prämien sicherlich um einiges höher)
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Hallo,
> Begründung: Wer das Risiko des finanziellen Ruins mit
> allen Mitteln vermeiden will,
Mit allen Mitteln?
In der Privathaftpflichtangelegenheit mit einem kleinen Beitrag, welcher meine Lebensqualität nicht einschränkt.
> Rein rechnerisch dürfte das Verkehrs-Risiko jedenfalls
> größer sein als das Ruin-Risiko
Das ist im Falle des Straßenverkehrs gekoppelt. Deshalb ist ja in Deutschland ja die KfZ-Haftpflichtversicherung Pflicht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:50 Mi 03.03.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> > Begründung: Wer das Risiko des finanziellen Ruins mit
> > allen Mitteln vermeiden will,
>
> Mit allen Mitteln?
> In der Privathaftpflichtangelegenheit mit einem kleinen
> Beitrag, welcher meine Lebensqualität nicht einschränkt.
Angela, scheinbar hast du mich falsch verstanden.
Mit mit allen Mitteln meinte ich nicht "mit allen zur Verfügung stehenden finanziellen Mitteln", sondern ich meinte damit "ohne ein Restrisiko einzugehen".
Dieses Restrisiko eines tödlichen Verkehrsunfalls geht jedoch jeder ein, der sich im Straßenverkehr bewegt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:17 Mo 01.03.2010 | | Autor: | SEcki |
Hast du eigentlich schon meine Links mal durchgesehn? Da gibt es viel interessantes zu dem Thema ...
> Begründung: Wer das Risiko des finanziellen Ruins mit
> allen Mitteln vermeiden will, der müsste auch das Risiko
> eines tödlichen Verkehrsunfalls mit allen Mitteln
> vermeiden.
Das sehe ich wie Angela - zum einen kostet die Versicherung nicht so viel, zahlt auch gerne mal kleinere Beträge, und am Strassenverkehr muss man sinnvollerweise teilnehmen (das Risiko kann man also nicht ausschließen ohne höhere Einbußen der Lebensqualität hinzunehmen).
> Rein rechnerisch dürfte das Verkehrs-Risiko jedenfalls
> größer sein als das Ruin-Risiko
Nachgerechnet hast's du ja nicht ...
> (Wenn es jedes Jahr
> mehrere tausend ruinöse Haftpflicht-Fälle geben würde,
> dann wären die Prämien sicherlich um einiges höher)
Das ist wahr. Wahr ist aber auch, dass zB für viele 10.000EUR zwar nicht den Ruin, aber einen herben finaziellen Verlust darstellen würde, den man mit eienr solcehn versicherung auch abmildern kann. Etwas in dieser Höhe wird sicherlich im Jahr öfters passieren. Es mag auch sein, dass man "besser" fährt, oder genau so viel erreicht, wenn man etwas anspart. Aber die Idee der Versicherung ist ja auch, dass sich das ganze durch die vielen Einzahler ausgleicht - das Risiko wird eben über die ganzen Versicherungsnehmer gestreut.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:42 Mi 03.03.2010 | | Autor: | rabilein1 |
> > Rein rechnerisch dürfte das Verkehrs-Risiko jedenfalls
> > größer sein als das Ruin-Risiko
>
> Nachgerechnet hast's du ja nicht ...
Leider liegen mir keine Zahlen darüber vor, wie viele Haftpflicht-Versicherungs-Fälle in welcher Höhe und in welcher Zeit auftreten. Und auch keine Zahlen darüber, wie viele Nicht-Versicherte aufgrund einer fehlenden Versicherung ruiniert worden sind.
Und selbst mit statistischen Zahlen ist es schwierig, das eigene persönliche Risiko realistisch einzuschätzen, da das Risiko auch mit vom eigenen persönlichen Verhalten abhängt.
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