Abzählbare Unendlichkeit < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:24 Mi 05.11.2008 | | Autor: | Becky27 |
| Aufgabe 1 | | Zeigen Sie: Die Menge alles Intervalle mit rationalen Endpunkten ist abzählbar unendlich. |
| Aufgabe 2 | | Sei [mm] A\subset\IR [/mm] und a [mm] \in [/mm] A beliebig. Beweisen Sie: A ist genau dann unendlich wenn A bijektiv auf [mm] A\{a} [/mm] abgebildet werden kann. |
Zu Aufgabe 1:
Ich habe mir überlegt dass man vielleicht erst beweisen könnte, dass die Intervalle abzählbar viele Elemente haben und dann dass es abzählbar viele Intervalle gibt.
Danach könnte man den Satz, dass jede Vereinigung von abzählbar vielen abzählbaren Mengen wieder abzählbar ist.
Stimmt dieser Ansatz überhaupt?
Dann weiß ich auch nicht wie ich die beiden Teile beweisen könnte. Wie kann man ein Intervall auf [mm] \IN [/mm] bzw. die Anzahl der Intervalle darauf abbilden?
Zu Aufgabe 2:
Eigentlich ist ja logisch dass dieser Satz stimmt, aber irgendwie muss ein Beweis her. Ich habe es versucht mit einem Beweis durch Widerspruch und daher angenommen, dass es bijektive Abbildungen von {1,...,n} --> A--> A \ {a} geben muss, das aber nicht geht da A \ {a} ein Element weniger hat als A, wenn die Menge endlich ist.
Aber mir scheint das mathematisch nicht vollständig bewiesen. Hat dazu jemand vielleicht einen Tipp?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Do 06.11.2008 | | Autor: | Becky27 |
Ich habe noch eine Frage zu Aufgabe 1. Kann man die mit dem cartesischen Produkt lösen? Mir kommt das irgendwie komisch vor die Intervallgrenzen als cartesisches Produkt zu nehmen und dann davon auf die Abzählbarkeit der Menge M der Intervalle zu schließen.
Ist das aber trotzdem möglich?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:36 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ich habe noch eine Frage zu Aufgabe 1. Kann man die mit dem
> cartesischen Produkt lösen? Mir kommt das irgendwie komisch
> vor die Intervallgrenzen als cartesisches Produkt zu nehmen
> und dann davon auf die Abzählbarkeit der Menge M der
> Intervalle zu schließen.
> Ist das aber trotzdem möglich?
ja. Noch etwas konkreter: Ein Intervall der Art [mm] $[q_1,q_2]$ [/mm] mit [mm] $q_{1,2}\in \IQ\,$ $q_1 \le q_2$ [/mm] kann man ja mit einem Paar [mm] $(q_1,q_2) \in \IQ \times \IQ$ [/mm] identifizieren. Damit hat man jedenfalls eine Injektion [mm] $\{[q_1,q_2]: q_{1,2} \in \IQ: \;q_1 \le q_2\} \to \IQ \times \IQ$ [/mm] gegeben. Damit weiß man schonmal etwas über die Anzahl der Elemente von [mm] $\{[q_1,q_2]: q_{1,2} \in \IQ: \;q_1 \le q_2\}$ [/mm] und wenn man jetzt noch weiß, dass [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] abzählbar ist... Aber woher weißt man das letztgenannte eigentlich? Da hilft ein Trick:
[mm] $$\IQ \times \IQ=\bigcup_{r \in \IQ}\bigcup_{s \in \IQ}\{(r,s)\}\,.$$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:25 Do 06.11.2008 | | Autor: | Becky27 |
Ok dann versuch ich es noch mal so. Leider haben wir es nicht bewiesen, dass bei einer Bijektion in beiden Mengen gleichviele Elemente drin sein müssen.
Danke für die Tipps.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:27 Do 06.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zeigen Sie: Die Menge alles Intervalle mit rationalen
> Endpunkten ist abzählbar unendlich.
> Sei [mm]A\subset\IR[/mm] und a [mm]\in[/mm] A beliebig. Beweisen Sie: A ist
> genau dann unendlich wenn A bijektiv auf [mm]A\{a}[/mm] abgebildet
> werden kann.
> Zu Aufgabe 1:
> Ich habe mir überlegt dass man vielleicht erst beweisen
> könnte, dass die Intervalle abzählbar viele Elemente haben
> und dann dass es abzählbar viele Intervalle gibt.
dann habe ich mal eine Frage: Das Intervall [mm] $(0,1)=\{x \in \IR: 0 < x < 1\}$ [/mm] hat zwei rationale Endpunkte (die sind ja sogar ganzzahlig). Ist das Intervall abzählbar?
> Danach könnte man den Satz, dass jede Vereinigung von
> abzählbar vielen abzählbaren Mengen wieder abzählbar ist.
> Stimmt dieser Ansatz überhaupt?
Klappt leider nicht. Es geht ja auch weniger um die Elemente der Intervalle, als um deren Randpunkte. Mache es lieber so:
Betrachte zunächst die offenen Intervalle der Art [mm] $(q_1,q_2)$ [/mm] mit [mm] $q_1 [/mm] < [mm] q_2$, $q_1,q_2 \in \IQ\,.$ [/mm] Überlege Dir einen Zusammenhang mit [mm] $\IQ \times \IQ\,.$
[/mm]
Analoges für linksoffene (und rechtsabgeschlossene) Intervalle, dann für rechtsoffene (und linksabgeschlossene) Intervalle und dann für kompakte Intervalle dieser Art. Warum bist Du dann fertig?
(Beachte:
[mm] $$\{\text{Intervalle mit rationalen Endpunkten}\}$$
[/mm]
[mm] $$=\{(q_1,q_2): q_1 < q_2, q_1,q_2 \in \IQ\}\cup \{(q_1,q_2]: q_1 < q_2, q_1,q_2 \in \IQ\}\cup\{[q_1,q_2): q_1 < q_2, q_1,q_2 \in \IQ\} \cup \{[q_1,q_2]: q_1 \le q_2, q_1,q_2 \in \IQ\}$$)
[/mm]
> Dann weiß ich auch nicht wie ich die beiden Teile beweisen
> könnte. Wie kann man ein Intervall auf [mm]\IN[/mm] bzw. die Anzahl
> der Intervalle darauf abbilden?
Man kann sich zwar in der Tat auch konkrete Abbildungen überlegen, aber das brauchst Du gar nicht. Im Prinzip ist die Aufgabe hier eher, dass man sich überlegt, dass [mm] $\IQ \times \IQ$ [/mm] abzählbar ist. Das versteht man aber auch erst (wirklich), wenn man die Aufgabe verstanden und gelöst hat 
> Zu Aufgabe 2:
> Eigentlich ist ja logisch dass dieser Satz stimmt, aber
> irgendwie muss ein Beweis her. Ich habe es versucht mit
> einem Beweis durch Widerspruch und daher angenommen, dass
> es bijektive Abbildungen von {1,...,n} --> A--> A \ {a}
> geben muss, das aber nicht geht da A \ {a} ein Element
> weniger hat als A, wenn die Menge endlich ist.
> Aber mir scheint das mathematisch nicht vollständig
> bewiesen. Hat dazu jemand vielleicht einen Tipp?
naja, zunächst hast Du ja mal zwei Richtungen zu beweisen:
1.) Du musst ja zeigen:
Wenn [mm] $\black{A}$ [/mm] (abzählbar oder überabzählbar) unendlich viele Elemente hat, dann gibt es eine Bijektion $A [mm] \to A\setminus\{a\}\,.$ [/mm] Das ist sicher im Falle der Überabzählbarkeit von [mm] $\black{A}$ [/mm] ein wenig knifflig...
2.) Hier musst Du zeigen: Wenn es eine Bijektion $A [mm] \to [/mm] A [mm] \setminus \{a\}$ [/mm] gibt, so kann [mm] $\black{A}$ [/mm] nicht endlich sein. Oder (Kontraposition dieser Aussage):
Wenn [mm] $\black{A}$ [/mm] endlich ist, so existiert keine Bijektion $A [mm] \to [/mm] A [mm] \setminus \{a\}\,.$ [/mm] Um das letzte einzusehen, ist es sicher hilfreich, folgenden Satz zu benutzen (den ihr hoffentlich bewiesen habt):
Sind $M,N$ endliche Mengen, so existiert genau dann eine Bijektion $M [mm] \to N\,$ [/mm] wenn $|M|=|N|$ (d.h. $M$ und $N$ haben die gleiche Anzahl von Elementen).
Gruß,
Marcel
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