Abzählbarkeit von Mengen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Tag zusammen!
Ich hab da mal ne Frage zu folgender Aufgabe:
"Zeigen Sie, dass die Menge M={S [mm] \subset \IN [/mm] | S endlich oder [mm] \IN [/mm] \ S endlich} abzählbar ist."
Die Definition von abzählbar kenn ich zwar, kann mit ihr aber irgendwie nicht recht vorstellen was das sein soll...
Kann mir vielleicht jemand zu der Aufgabe nen Tipp oder einen Ansatz geben, weil ich versteh echt nicht, was ich machen soll!
Danke!
Gruß
SirBigMac
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> Tag zusammen!
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> Ich hab da mal ne Frage zu folgender Aufgabe:
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> "Zeigen Sie, dass die Menge [mm] M={S\subset \IN | S endlich
> oder \IN \ S endlich} [/mm] abzählbar ist."
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> Die Definition von abzählbar kenn ich zwar, kann mit ihr
> aber irgendwie nicht recht vorstellen was das sein soll...
Hallo,
"abzählbar" ist klar, ja? Es gibt eine Bijektion auf die natürlichen Zahlen, man kann es - abzählen...
Dann gucken wir uns erstmal die Menge an. Was ist da drin?
Zunächst einmal ist festzustellen, daß die Elemente der Menge M Mengen sind, M ist also eine Menge von Mengen.
Was sind das für Mengen, welche in M sind? Es sind Teilmengen von [mm] \IN [/mm] mit einer besonderen Eigenschaft. Sie sind endlich, oder ihr Komplement ist endlich. (Das ist schonmal gut. Gibt einem Hoffnung auf Übersichtlichkeit)
Jetzt zerlegen die Menge M, indem wir Teilmengen bilden nach der Mächtigkeit der Elemente. So:
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] sei
[mm] M_n:= [/mm] { S [mm] \subseteq \IN [/mm] : |S|=n oder | [mm] \IN [/mm] \ S|=n }
[mm] M_n [/mm] enthält also die Teilmengen von N, die die Mächtigkeit n haben, oder deren Komplement die Mächtigkeit n hat.
Nun ist [mm] M=M_0 \cup M_1 \cup M_2 \cup M_3 \cup [/mm] ...= [mm] \bigcup_{n \in \IN}M_n.
[/mm]
(Warum?)
Das ist eine Vereinigung abzählbar vieler Mengen (Klar?), da kann man sich schonmal freuen.
Nun gibt es einen Satz, der kam bestimmt bei Euch auch schon vor. Der sagt: die Vereinigung abzählbar vieler abzählbarer Mengen ist abzählbar.
Aha. "Abzählbar viele Mengen" haben wir. "Abzählbar" wollen wir. Muß man also noch zeigen: die [mm] M_n [/mm] sind abzählbar, d.h. [mm] M_n [/mm] enthält abzählbar viele Elemente.
Das kannst Du durch vollständige Induktion zeigen.
Der Induktionsanfang, n=0, ist einfach. Weißt Du, welche Elemente in [mm] M_0 [/mm] sind? Es sind zwei...
Für den Induktionsschluß n [mm] \to [/mm] n+1 überleg Dir, wie Du aus den Elementen von [mm] M_n [/mm] diejenigen von [mm] M_{n+1} [/mm] basteln kannst.
So, ich hoffe, Dich auf den Weg gebracht zu haben.
Viel Erfolg und
Gruß v. Angela
> Kann mir vielleicht jemand zu der Aufgabe nen Tipp oder
> einen Ansatz geben, weil ich versteh echt nicht, was ich
> machen soll!
>
> Danke!
>
> Gruß
> SirBigMac
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Erst mal vielen Dank! Jetzt weiß ich wenigstens um was es geht 
> Der Induktionsanfang, n=0, ist einfach. Weißt Du, welche
> Elemente in [mm]M_0[/mm] sind? Es sind zwei...
Warum sind das 2 Elemente? Ist das nicht nur die leere Menge, also [mm] M_{0}={ \emptyset} [/mm] ??
> Für den Induktionsschluß n [mm]\to[/mm] n+1 überleg Dir, wie Du aus
> den Elementen von [mm]M_n[/mm] diejenigen von [mm]M_{n+1}[/mm] basteln
> kannst.
Also bisher ist mir für den Induktionsschluss nur [mm] M_{n+1} [/mm] := {S [mm] \subset \IN [/mm] : |S|=n+1 oder | [mm] \IN [/mm] \ S|=n+1} eingefallen.
Wie muss ich da dann weiter machen?
Gruß
SirBigMac
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> Erst mal vielen Dank! Jetzt weiß ich wenigstens um was es
> geht
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> > Der Induktionsanfang, n=0, ist einfach. Weißt Du, welche
> > Elemente in [mm]M_0[/mm] sind? Es sind zwei...
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> Warum sind das 2 Elemente? Ist das nicht nur die leere
> Menge, also [mm]M_{0}={ \emptyset}[/mm] ??
Nee. Auch noch die Menge ? für die gilt |? \ [mm] \IN|=0... [/mm] Also ist ja ? \ [mm] \IN= \emptyset. [/mm] Na, hast Du herausgefunden, welche Menge Dir fehlt?
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> > Für den Induktionsschluß n [mm]\to[/mm] n+1 überleg Dir, wie Du aus
> > den Elementen von [mm]M_n[/mm] diejenigen von [mm]M_{n+1}[/mm] basteln
> > kannst.
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> Also bisher ist mir für den Induktionsschluss nur [mm]M_{n+1}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> := {S [mm]\subset \IN[/mm] : |S|=n+1 oder | [mm]\IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ S|=n+1}
> eingefallen.
> Wie muss ich da dann weiter machen?
Geh jetzt davon aus, daß Du die Menge M_n vor Dir liegen hast. Da sind u.a. die Teilmengen mit n Elementen drin. Jetzt - für M_{n+1} - willst Du ja die Teilmengen mit einem Element mehr. Wie würdest du das systematisch angehen.
Dann noch die Mengen, bei denen das Komplement n Elemente enthält. Bei denen mußt Du systematisch etwas wegnehmen.
Gruß v. Angela
>
> Gruß
> SirBigMac
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