Addition/Multiplikation < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo,
ich habe eine ganz wichtige Verständnisfrage. Ich hoffe, mir kann jemand aus meinem Gedankenchaos heraushelfen.
Ich habe das Problem, dass ich in der Schule auch Stochastik hatte, aber wesentlich vereinfachter. Dadurch habe ich damals die Regel gehabt:
Ist ein "und" in der Aufgabenstellung, dann multiplizieren, ich ein oder in der Aufgabenstellung, dann addieren.
Aber das gilt ja nicht mehr so, seitdem ich
- den Additionssatz für nicht disjunkte Ereignisse
- den Additionssatz für disjunkte Ereignisse
- den Multiplikationssaz für abhängige und unabhängige Ereignisse
kenne.
Ich möchte mir daher gerne das Schema einmal verdeutlichen für
- "und" in der Aufgabenstellung und abhängig, d.h. ja immer auch disjunkt
- "und" und unabhängig
- "oder" in der Aufgabenstellung und nicht disjunkt
- "oder" und disjunkt
Für die letzten beide ist es ja einfach: Habe ich ein "oder" und nicht dusjunkt, dann P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B), wenn dusjunkt, dann einfach alle Ereignisse addieren.
Aber beim und tu ich mir sehr schwer, denn:
Manchmal benutzen wir dann nicht nur die Multiplikationssätze, sondern schreiben auch P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B) nach P(A [mm] \cap [/mm] B) um. Wieso?
Also offensichtlich tu ich mir nur sehr schwer bei Fragestellungen mit und, da ich die 2 Multiplikationssätze habe und die eben genannte Umstellung.
Bei den Multiplikationssätzen finde ich es auch etwas schwierig, weil ich ja nicht immer vorher teste, ob die Ereignisse abhängig sind oder nicht, daher werde ich da auch von disjunkt (abhängig)oder nicht disjunkt (unabhängig) ausgehen, oder? Aber der umgestellte Additionssatz für nicht dusjunkte Ereignisse deckt sich ja nicht mit dem Multiplikationssatz für unabhängige Ereignisse.
Irgendwie herrscht hier noch etwas Chaos bei mir, weil ich nicht so ganz loskomme von der Schulvorstellung.
Bitte um Hilfe :(
Edit: Mir ist klar, dass es zwar die Folgerung: disjunkt und abhängig gibt, aber ich meine, dass die Umkehrung nicht gilt. Aber dann kann ich mir nicht ganz erklären, wie ich auf Anhieb darauf kommen soll, welchen Multiplikationssatz ich anwenden soll bei solchen Aufgabenstellungen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Mi 23.09.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin,
$P(A [mm] \cup [/mm] B)=P(A)+P(B)-P(A [mm] \cap [/mm] B)$ gilt *immer*, $P(A [mm] \cap [/mm] B)=P(A)P(B)$ gilt dann und nur dann, wenn $A,B_$ unabhaengig sind.
vg Luis
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Hm, okay, aber: Das sagt mir jetzt immernoch nicht welchen Weg ich gehen muss, wenn ich P(A [mm] \cap [/mm] B) rechnen will:
Den umgestellten Additionssatz? Den Multiplikationssatz für abhängige=disjunkte oder den für unabhängige (ist das auch immer = nicht disjunkt)?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:36 Mi 23.09.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hm, okay, aber: Das sagt mir jetzt immernoch nicht welchen
> Weg ich gehen muss, wenn ich P(A [mm]\cap[/mm] B) rechnen will:
>
> Den umgestellten Additionssatz?
Den kannst du immer anwenden.
Die Formel [mm] $P(A\cap [/mm] B)=P(A)P(B)$ darfst nur dann anwenden, wenn $A,B_$ unabhaengig sind.
Disjunkheit hat nichts mit (Un-)Abhaengigkeit zu tun.
vg Luis
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Aber gilt nicht der umgestellte Additionssatz auch nur für nicht disjunkte Ereignisse?
Dann kann ich ihn doch nicht immer anwenden.
Und wenn ein Ereignis disjunkt ist, dann ist es doch immer abhängig. Ich weiß nur nicht genau, aber die Umkehrung gilt ja nicht, denke ich.
Deshalb ja auch mein Problem bei Fragestellungen mit und: Den umgestellten Additionssatz kann ich doch nur nehmen, wenn meine Ereignisse (genau wie die Voraussetzung für den Additionssatz) disjunkt sind. Und die Multiplikationssätze sind dann ja wieder in abhängig und nicht abhängig unterteilt, was ja nicht so leicht auf Anhieb zu trennen ist wie disjunkt oder nicht disjunkt, sonst gäbe es ja die Prüfungskriterien nicht.
Deshalb bin ich auch total ratlos bei den "und"-Geschichten.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Mi 23.09.2009 | | Autor: | luis52 |
> Aber gilt nicht der umgestellte Additionssatz auch nur für
> nicht disjunkte Ereignisse?
> Dann kann ich ihn doch nicht immer anwenden.
Doch, es gilt *stets* [mm] $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap [/mm] B)$.
Sind $A,B_$ disjunkt, so vereinfacht sich die Formel zu [mm] $P(A\cup [/mm] B)=P(A)+P(B)$.
>
> Und wenn ein Ereignis disjunkt ist, dann ist es doch immer
> abhängig. Ich weiß nur nicht genau, aber die Umkehrung
> gilt ja nicht, denke ich.
Was willst du hier sagen? ![[konfus]](/images/smileys/konfus.gif "[konfus]")
Sind $A,B$ disjunkt, so ist [mm] $A\cap B=\emptyset$ [/mm] (unmoegliches Ereignis).
Folglich gilt [mm] $P(A\cap [/mm] B)=0$. Damit $A,B$ ausserdem noch unabhaengig sind, muss gelten $P(A)P(B)=0$. Folglich muss gelten $P(A)=0$ oder $P(B)=0$. Mit anderen Worten: Schliessen $A,B$ einander aus (sind sie disjunkt) und gilt $P(A)>0$ und $P(B)>0$, so sind sie nicht unabhaengig. So gesehen haben Disjunktheit und Unabhaengigkeit nichts miteinander zu tun.
vg Luis
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Wie würdest du dann allgemein vorgehen, wenn es um die Multiplikation von Ereignissen geht? Mir stehen ja jetzt zur Verfügung
a) der umgestellte Additionssatz
b) die beiden Multiplikationsstze (für abhängige und nicht abhängige Ereignisse, wobei ich noch nicht geprüft habe, ob die Ereignisse abhängig sind oder nicht).
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:58 Mi 23.09.2009 | | Autor: | luis52 |
> Wie würdest du dann allgemein vorgehen, wenn es um die
> Multiplikation von Ereignissen geht?
Das kann man nur von Fall zu Fall entscheiden.
Beispiele:
1) Gegeben $P(A)=0.3$, [mm] $P(A\cup [/mm] B)=0.7$: [mm] $P(A\cap [/mm] B)$ nicht bestimmbar.
2) Gegeben $P(A)=0.3$, [mm] $P(A\cup [/mm] B)=0.7$ und $A,B$ unabhaengig: [mm] $P(A\cap [/mm] B)$ bestimmbar.
Ich vermute, dass du dich auf eine Stochstikklausur vorbereitest. Wenn
der PrueferIn (!) sorgfaeltig arbeitet, so kannst du die Aufgaben mit den
einschlaegigen Formeln auch loesen. Die solltest du allerdings
beherrschen, auch wenn sie anscheinend ueber dein Schulwissen hinausgehen.
vg Luis
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Mein problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich prüfen soll, welche der 3 Formeln nun die richtige ist.
Ob den umgestellten Additionssatz, den Multiplikationsssatz für abhängige oder den für unabhängige.
Ich sehe da irgendwie kein System :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:48 Fr 25.09.2009 | | Autor: | luis52 |
>
> Ich sehe da irgendwie kein System :(
Lass mich meine Vermutung deutlicher formulieren:
Du suchst narrensichere Rezepturen. Da koennen
wir leider nicht weiterhelfen.
Nur 3 Ratschlaege: Ueben, ueben, ueben.
vg Luis
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Ich versuchs nochmal in eigenen Worten, also:
Wenn ich weiß, dass meine Ereignisse nicht disjunkt sind, kann ich ohne Probleme den umgestellten Additionssatz für und-Ereignisse wählen.
Aber wenn sie disunkt sind, dann kann ich ihn nicht anwenden und muss testen, ob die Ereignisse abhängig sind oder nicht.
Das teste ich mit: P(A und B)=P(A)*P(B)
Stimmt die Gleichung, dann sind sie Unabhängig, also kann ich das Ergebnis so stehen lassen,; stimmt das Ergebnis nicht, dann abhängig und ich muss den Satz für abhängige Ereignisse nehmen.
Mein Problem ist aber: Was ist, wenn ich eben P(A und B) nicht kenne, also berechnen muss, weil es aus der Aufgabenstellung nicht hervor geht? Denn das ist doch das Problem: Ich kann P(A und B) nicht bestimmen aus dem Kontext, deshalb suche ich ja eine Formel zur Berechnung :)
Das verstehe ich eben nicht.
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Hallo Englein,
> Ich versuchs nochmal in eigenen Worten, also:
>
> Wenn ich weiß, dass meine Ereignisse nicht disjunkt sind,
> kann ich ohne Probleme den umgestellten Additionssatz für
> und-Ereignisse wählen.
>
> Aber wenn sie disunkt sind, dann kann ich ihn nicht
> anwenden und muss testen, ob die Ereignisse abhängig sind
> oder nicht.
Sind A und B disjunkt, so ist [mm] A\cap{B}=\{\} [/mm] und somit [mm] P(A\cap{B})=0 [/mm] .
Das kannst du auch in die allgemeine Formel einsetzen.
Übrigens sind zwei disjunkte Ereignisse A und B nur dann
unabhängig, wenn P(A)=0 oder P(B)=0.
> Das teste ich mit: P(A und B)=P(A)*P(B)
> Stimmt die Gleichung, dann sind sie Unabhängig, also kann
> ich das Ergebnis so stehen lassen; stimmt das Ergebnis
> nicht, dann abhängig und ich muss den Satz für abhängige
> Ereignisse nehmen.
>
> Mein Problem ist aber: Was ist, wenn ich eben P(A und B)
> nicht kenne, also berechnen muss, weil es aus der
> Aufgabenstellung nicht hervor geht? Denn das ist doch das
> Problem: Ich kann P(A und B) nicht bestimmen aus dem
> Kontext, deshalb suche ich ja eine Formel zur Berechnung
> :)
>
> Das verstehe ich eben nicht.
Wenn nur P(A) und P(B) bekannt sind, kann man ohne
weitere Information [mm] P(A\cap{B}) [/mm] eben nicht berechnen,
ausser in den speziellen Fällen P(A)*P(B)=0 bzw.
P(A)*P(B)=1 .
LG Al-Chw.
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