Addition und Multiplikation < Logik < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:14 Mi 27.01.2010 | | Autor: | toivel |
Hallo,
kann man die Abbildungen der Addition, Multiplikation und Exponentiation auch explizit angeben? Habe leider nur rekursive Definitionen gefunden, aber was verleitet einen der (2,3) bzw. (3,2) im Falle der Addition 5, im Falle der Multiplikation 6 und im Falle der Exponentiation 8 bzw. 9 zuzuordnen?
Habe probiert etwas über die Klassenterme F und Z herauszufinden, wobei ich nach der Definition der Abbildung gegangen bin:
F((x,y)) := [mm] \{ z; \forall v_{0} ((((x,y),v_{0}) \in F \wedge\forall v_{1}(((x,y),v_{1}) \in F \to v_{0}=v_{1})) \to z \in v_{0}) \} [/mm] = Z
Z und F [mm] \in \{ +, *, \wedge \} [/mm] sind Klassenterme, x und y sind die Klassenterme, die miteinander verknüpft werden sollen und Z ist der sich daraus ergebende Klassenterm. Ich habe also probiert etwas über F und Z herauszufinden, finde aber leider keine Zusammenhänge. Kann es sein, daß sich die [mm] \in-Formel [/mm] zur Darstellung von Z in Abhängigkeit von x und y verändert und wie sieht dieser Zusammenhang aus?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Do 28.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> kann man die Abbildungen der Addition, Multiplikation und
> Exponentiation auch explizit angeben?
? Wie meinst du das?
> Habe leider nur
> rekursive Definitionen gefunden, aber was verleitet einen
> der (2,3) bzw. (3,2) im Falle der Addition 5, im Falle der
> Multiplikation 6 und im Falle der Exponentiation 8 bzw. 9
> zuzuordnen?
?? Die Definition der Operationen?!
> Habe probiert etwas über die Klassenterme F und Z
> herauszufinden, wobei ich nach der Definition der Abbildung
> gegangen bin:
?? Könntest du etwas mehr Kontext geben, bitte.
>
> F((x,y)) := [mm]\{ z; \forall v_{0} ((((x,y),v_{0}) \in F \wedge\forall v_{1}(((x,y),v_{1}) \in F \to v_{0}=v_{1})) \to z \in v_{0}) \}[/mm]
> = Z
>
> Z und F [mm]\in \{ +, *, \wedge \}[/mm] sind Klassenterme, x und y
> sind die Klassenterme, die miteinander verknüpft werden
> sollen und Z ist der sich daraus ergebende Klassenterm. Ich
> habe also probiert etwas über F und Z herauszufinden,
> finde aber leider keine Zusammenhänge.
Und aus welchem Zusammenhang kommt das?
> Kann es sein, daß
> sich die [mm]\in-Formel[/mm] zur Darstellung von Z in Abhängigkeit
> von x und y verändert und wie sieht dieser Zusammenhang
> aus?
??? Du sprichst echt in Rätseln für mich, wohl auch für andere. Könntest du vielleicht mir mehr erläutern, dann lern ich noch ein neues Gebiet! :)
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:17 Do 28.01.2010 | | Autor: | toivel |
> > kann man die Abbildungen der Addition, Multiplikation und
> > Exponentiation auch explizit angeben?
>
> ? Wie meinst du das?
>
Addition, Multiplikation, Exponentiation etc. sind Abbildungen, die zwei Argumenten (Klassentermen) einen dritten Klassenterm etc. zuordnen. In meinen Beispielen wird beiospielsweise bei der Addition den Klassentermen 2 und 3 der Klassenterm 5 zugeordnet. Der Klassenterm 5 läßt sich mit Hilfe einer [mm] \in-Formel [/mm] darstellen.
Meine Frage ist nun für den allgemeinen Fall:
Wie sieht die [mm] \in-Formel [/mm] für den Klassenterm x+y, in Abhängigkeit von den Klassentermen x und y aus?
> > Habe leider nur
> > rekursive Definitionen gefunden, aber was verleitet einen
> > der (2,3) bzw. (3,2) im Falle der Addition 5, im Falle der
> > Multiplikation 6 und im Falle der Exponentiation 8 bzw. 9
> > zuzuordnen?
>
> ?? Die Definition der Operationen?!
>
Ja die Definition der Operationen. Beispielsweise für die Addition:
S(i) = i + 1
i + 0 = i und
i + (j +1) = (i + j) +1,
wobei S(i):=i [mm] \cup \{ i \}, 0:=\emptyset [/mm] und [mm] 1:=\{ 0 \}. [/mm] (siehe "Einführung in die Mengenlehre", Ebbinghaus)
> > Habe probiert etwas über die Klassenterme F und Z
> > herauszufinden, wobei ich nach der Definition der Abbildung
> > gegangen bin:
>
> ?? Könntest du etwas mehr Kontext geben, bitte.
>
Das ist die formale Definition des Funktionswertes F((x,y)) an der der Stelle (x,y):
F((x,y)) := [mm] \{ z; \forall v_{0} ((((x,y),v_{0}) \in F \wedge\forall v_{1}(((x,y),v_{1}) \in F \to v_{0}=v_{1})) \to z \in v_{0}) \} [/mm] .
> >
> > F((x,y)) := [mm]\{ z; \forall v_{0} ((((x,y),v_{0}) \in F \wedge\forall v_{1}(((x,y),v_{1}) \in F \to v_{0}=v_{1})) \to z \in v_{0}) \}[/mm]
> > = Z
> >
> > Z und F [mm]\in \{ +, *, \wedge \}[/mm] sind Klassenterme, x und y
> > sind die Klassenterme, die miteinander verknüpft werden
> > sollen und Z ist der sich daraus ergebende Klassenterm. Ich
> > habe also probiert etwas über F und Z herauszufinden,
> > finde aber leider keine Zusammenhänge.
>
> Und aus welchem Zusammenhang kommt das?
>
> > Kann es sein, daß
> > sich die [mm]\in-Formel[/mm] zur Darstellung von Z in Abhängigkeit
> > von x und y verändert und wie sieht dieser Zusammenhang
> > aus?
>
> ??? Du sprichst echt in Rätseln für mich, wohl auch für
> andere. Könntest du vielleicht mir mehr erläutern, dann
> lern ich noch ein neues Gebiet! :)
>
> SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Do 28.01.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Addition kann man nur rekursiv definieren, da ja die natürlichen zahlen nur rekursiv definiert sind.
gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:05 Do 28.01.2010 | | Autor: | toivel |
> Hallo
> Addition kann man nur rekursiv definieren, da ja die
> natürlichen zahlen nur rekursiv definiert sind.
> gruss leduart
Hallo,
warum sollten die natürlichen Zahlen nur rekursiv definiert sein? Mengentheoretisch lassen sich die natürlichen Zahlen [mm] \omega [/mm] ganz gut ohne Rekursionen aufbauen:
[mm] \omega:=\bigcap \{ x; Ind(x) \},
[/mm]
Ind(x):= [mm] \emptyset \in [/mm] x [mm] \wedge \forall [/mm] y(y [mm] \in [/mm] x [mm] \to [/mm] y + 1 [mm] \in [/mm] x),
[mm] \emptyset:=\{z;z\not=z\},
[/mm]
[mm] y+1:=y\cup\{y\},
[/mm]
[mm] \{y\}:=\{v;v=y\},
[/mm]
[mm] x\cup y:=\{z;z \in x \vee z \in y \}.
[/mm]
Ich sehe dabei keinen rekursiven Aufbau der natürlichen Zahlen, lasse mich aber sehr gerne eines Besseren belehren.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:05 Do 28.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo toivel,
freut mich, hier jemanden zu treffen, der sich auch für Grundlagenfragen interessiert! Ich kenne das Buch von Ebbinghaus nicht, aber versuche, dir mal mithilfe der Kenntnisse aus meiner Logik-Vorlesung zu antworten, in der Hoffnung, dass dies kompatibel zu deiner Vorlage ist.
1. Ist A ein einelementiger Klassenterm, so kann man z.B. durch den Klassenterm [mm] $\bigcup [/mm] A$ das Element von A erhalten.
2. Sei F eine Abbildung (also ein Klassenterm mit gewissen Eigenschaften) und A ein weiterer Klassenterm mit [mm] $A\in\operatorname{dom}F$ [/mm] (d.h. A liegt im Definitionsbereich von F). Dann lässt sich F(A) unter Benutzung von 1. einfacher beschreiben, als deine etwas längliche Variante von F(x,y) dies suggeriert: [mm] $F(A)=\bigcup\{v\;|\;(A,v)\in F\}$.
[/mm]
3. Die Abbildung + lässt sich z.B. auf folgende Weise wieder unter Benutzung von 1. als Klassenterm schreiben: [mm] $+=\bigcup\{f\;|\;(f:\IN^2\to\IN)\wedge(\forall i\in\IN f(i,0)=i)\wedge(\forall i,j\in\IN f(i,S(j))=S(f(i,j)))\}$.
[/mm]
4. Seien x und y Klassenterme mit [mm] $x,y\in\IN$. [/mm] Die Summe von x und y erhältst du durch den Klassenterm +((x,y)), definiert wie in 2. und 3.
War es so etwas, was du suchtest? Freue mich über Nachfragen.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Sa 27.02.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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