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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:56 Fr 09.03.2012 | | Autor: | Slicex |
| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe des MWS der Differenzialrechnung:
Für x,y aus [mm] \IR [/mm] und xy < 1 gilt:
[mm]arctan(x) + arctan(y) = arctan(\bruch{x+y}{1-xy})[/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Liebes Forum :)
Bei dieser Aufgabe bin ich leider wieder mal stecken geblieben und möchte fragen, ob mir jemand bei der Lösung Tipps geben kann.
Bisweilen bin ich bis zu diesem Punkt gekommen, weiß aber nicht, ob das ganz "rechtens" ist:
[mm]arctan(x) + arctan(y) = arctan(x) - arctan(-y)[/mm] (MWS)
= [mm] (\bruch{1}{1+\xi^2})(x-(-y)) [/mm] = [mm] \bruch{x+y}{1+\xi^2}
[/mm]
Ich habe mir jetzt überlegt, das [mm] \xi [/mm] = [mm] (x(-y))^{1/2} [/mm] zu setzen, doch ein Minus unter Wurzel ist nicht ganz so schön. Und außerdem hätte ich nur das Argument des Arctan der rechten Seite der Gleichung. Abschätzen möchte ich auch nicht, da es sich um eine Gleichung handelt.
Ich würde mich freuen, wenn jemand einen Hinweis für mich hätte, wie ich weiter ansetzen kann.
Viele Grüße
Slicex
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:29 Sa 10.03.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
nach dem MWS der Differentialrechnung für mehrere Veränderliche gilt, das eine Funktion eine Konstante ist, wenn alle partiellen Ableitungen existieren und identisch verschwinden.
Betrachte die Funktion
[mm] f(x,y)=arctan(x)+arctan(y)-arctan\left(\bruch{x+y}{1-xy}\right) [/mm] und bilde die partiellen Ableitungen und zeige das gilt
[mm] f_x(x,y)=f_y(x,y)=0
[/mm]
Die Konstante berechnet sich aus einem speziellen Wert der Funktion, z.B. f(0,0)
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