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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mo 22.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Gleichung:
[mm] |cos(\bruch{x}{2})|=\wurzel{\bruch{1+cos(x)}{2}} [/mm] |
Hallo,
habe schon rumprobiert mit dem trigonometrischen Pythagoras, wegen der Wurzel, allerdings gehen alle meine Versuche in die falsche Richtung, ich bleibe stecken und komme nicht weiter. Hat jemand einen Tipp für mich, wie ich vorgehen muss?
Danke schön mal wieder, Gruß, Stefan.
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Wenn ich noch die Überschrift Deiner Anfrage dazu nehme, hast Du doch alles, was Du brauchst: Additionstheoreme, trigonometrischen Pythagoras und ... - naja, die Sache mit der Wurzel und dem Betrag solltest Du auch noch hinbekommen:
[mm] |\cos{\left(\bruch{x}{2}\right)}|=\wurzel{\bruch{1+\cos{x}}{2}}
[/mm]
[mm] \gdw \cos^2{\left(\bruch{x}{2}\right)}=\bruch{1+\cos{x}}{2}
[/mm]
Additionstheorem: [mm] \cos{\left(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{2}\right)}=\cos^2{\left(\bruch{x}{2}\right)}-\sin^2{\left(\bruch{x}{2}\right)}
[/mm]
trig.Pythagoras: [mm] \sin^2{\left(\bruch{x}{2}\right)}+\cos^2{\left(\bruch{x}{2}\right)}=1
[/mm]
Damit könnte alles klar sein oder werden.
Ist es?
lg,
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Di 23.12.2008 | | Autor: | stefan00 |
Hallo,
mein Lösungsweg sieht dann so aus:
[mm] |cos(\bruch{x}{2})|=\wurzel(\bruch{1+cos(x)}{2})
[/mm]
[mm] \gdw cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{1+cos(x)}{2}
[/mm]
Additionstheorem:
[mm]cos(x+y)=cos(x)cos(y)-sin(x)sin(y)[/mm]
also
[mm] cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})=cos(\bruch{x}{2}+\bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] \gdw cos^2(\bruch{x}{2})-sin^2(\bruch{x}{2})=cos(x)
[/mm]
mit trig. Pyth.:
[mm] sin^2(\bruch{x}{2})=1-cos^2(\bruch{x}{2})
[/mm]
[mm] cos^2(\bruch{x}{2})-(1-cos^2(\bruch{x}{2}))=cos(x)
[/mm]
[mm] \gdw cos^2(\bruch{x}{2})-1+cos^2(\bruch{x}{2})=cos(x)
[/mm]
[mm] \gdw 2cos^2(\bruch{x}{2})=cos(x)+1
[/mm]
[mm] \gdw cos^2(\bruch{x}{2})=\bruch{cos(x)+1}{2}
[/mm]
[mm] \gdw |cos(\bruch{x}{2}|=\wurzel(\bruch{1+cos(x)}{2})
[/mm]
was zu zeigen war.
Vielen Dank, Gruß, Stefan.
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