Additionsverfahren < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:45 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Hallo Leute,
ich brauch Hilfe beim Additionsverfahren.
Und zwar handelt es sich um das hier:
I. 2x+1y+1z=2
II. 0x+0y+1z=3
III. 0x+0y+2z=6
zuerst multipliziere ich die 2. gleichung mit *(-1) und erhalte:
0x+0y-1z=-3
2x+0y+1z=2
=
2x+0y=-1
stimmt das bis jetzt so?
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> Hallo Leute,
>
> ich brauch Hilfe beim Additionsverfahren.
>
> Und zwar handelt es sich um das hier:
>
> I. 2x+1y+1z=2
> II. 0x+0y+1z=3
> III. 0x+0y+2z=6
>
[mm]\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 &1&2\\
0&0&1&3\\
0&0&2&6 \end{array}\right )[/mm]
>
> zuerst multipliziere ich die 2. gleichung mit *(-1) und
> erhalte:
Warum? Grundsätzlich darfst du es machen. Mich würden trotzdem deine Beweggründe dafür interessieren. Liest du die Gleichungssysteme zeilenweise?
[mm]\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 &1&2\\
0&0&1&3\\
0&0&2&6 \end{array}\right )[/mm]
Wenn ja: Fällt dir etwas auf?
> 0x+0y-1z=-3
> 2x+0y+1z=2
(Die Null war bestimmt ein Tippfehler.)
Wenn ich deine Aktion durchführe komme ich auf:
[mm]\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 &1&2\\
0&0&-1&-3\\
0&0&2&6 \end{array}\right )[/mm]
> =
> 2x+0y=-1
> stimmt das bis jetzt so?
>
Ok. Die Null war doch kein Tippfehler.
Wie würdest du weiter vorgehen (mit Begründung)?
Vielleicht wird es verständlicher, wenn du dir folgende Fragen für dich selbst beantwortest:
* Siehst du lineare Abhängigkeiten? (Vielfache)
* Erkennst du welche Variablen hier nicht eliminiert werden können?
Falls es dir nichts ausmacht, wäre folgender Latexcode übersichtlicher für die Leser.
| 1: | [mm]\left (\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 &1&2\\
| | 2: | 0&0&1&3\\
| | 3: | 0&0&2&6 \end{array}\right )[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Eduart |
gut dann
multipliziere ich die 2. gleichung mit *(-2) und bekomme
0x+0y-2z=-6
diese addiere ich nun mit der 3. gleichung und bekomme:
0x+0y
richtig bis hier?
Also zu deinen Fragen: Wenn ich ehrlich bin kann ich mir die fragen selbst nicht beantworten.
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> gut dann
> multipliziere ich die 2. gleichung mit *(-2) und bekomme
> 0x+0y-2z=-6
> diese addiere ich nun mit der 3. gleichung und bekomme:
> 0x+0y
> richtig bis hier?
Ja alles komplett! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Also zu deinen Fragen: Wenn ich ehrlich bin kann ich mir
> die fragen selbst nicht beantworten.
Erst einmal finde ich es gut, dass du nicht aufgibst. Das muss man vielleicht auch einmal sagen. Ich glaube dir fehlt nicht das Handwerkszeug sonder eher die Übersicht.
Wenn ich mir LGS anschaue mache ich folgendes unterbewusst:
Ist eine Zeile zweimal vorhanden?
Falls ja, dann streiche ich die doppelte Zeile weg. (bedeutet mathematisch: die "erste doppelte Zeile" * (-1) auf die "zweite doppelte Zeile" addieren
Ist eine Zeile linear abhängig? Also ein Vielfaches.
Falls ja, dann streiche ich die linearabhängig Zeile weg. (hast du hier mit *(-2) gemacht)
Welche Variablen kann ich nicht eliminieren?
[mm] \left (\begin{array}{ccc|c} \star & \star &0&\star\\
\star & \star &5&\star\\
\star & \star &0&\star \end{array}\right ) [/mm]
Hier zum Beispiel ist die 5 in der Spalte für das z einfach nicht weg zu bekommen, da unten drunter und oben drüber nur Nullen sind.
Ich arbeite mich Spaltenweise von links durch:
Ich suche in der ersten Spalte eine "1"
[mm] \left (\begin{array}{ccc|c} 2 & \star & \star &\star\\
1 & \star &\star&\star\\
3 & \star & \star &\star \end{array}\right ) [/mm]
Ist sie vorhanden, vertausche ich die Zeilen, sodass sie ganz oben steht.Dann benutze ich sie, um drüber und unten drunter alle Einträge zu eliminieren (Null zu machen [schlechtes deutsch naja])
Wenn nicht forme ich die ganze zeile mit einem Faktor um, damit eine Eins entsteht
[mm] \left (\begin{array}{ccc|c} 2 & \star &\star&\star\\
2&\star &\star&\star\\
5 & \star &\star&\star \end{array}\right ) \to \left (\begin{array}{ccc|c} 1 & \star &\star&\star\\
2&\star &\star&\star\\
5 & \star &\star&\star \end{array}\right ) [/mm]
und benutze jetzt die Eins. Habe ich in der Spalte nur noch eine Zahl stehen und unten drunter und oben drüber nur noch Nullen, dan gehe ich zur zweiten Spalte und wieder hole das ganze. Dabei gehe ich diagonal vor:
[mm]\pmat{ 1 & & & & & & & \\
&1 & & & & & & \\
& & 1& & & & & \\
& & &1 & & & & \\
} [/mm]
Vorteil die schon durchgearbeiten Spalten verändern sich nicht mehr.
In deinem Beispiel sehe ich auf Anhieb unterbewusst:
* 2. und 3. Zeile sind linear abhängig (Vielfache)
* in 1. zeile bekomme ich nicht 2x und 1y weg!
Sofort erhalte ich ohne rechnen also:
[mm] \left (\begin{array}{ccc|c} \red{2} & \red{1} &1&2\\
0&0&1&3\\
0&0&0&0 \end{array}\right ) [/mm]
Jetzt sehe ich, dass ich die roten Zahlen nicht weg bekomme. Also kümmere ich mich nur noch um die "1z" in der ersten Zeile.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Hmm für mich ist das, was du geschrieben hast ehrlich zu kompliziert=)
Finde es aber super, dass du mir deine technik erklärt hast=)
Also wenn ich jetzt bei meiner Rechnung fortfahre:
Also die 4. gleichung ist jetzt: 2x+1y=-1
Und die 5. Gleichung ist jetzt: 0x+0y
Jetzt mache ich die 4. gleichung *0 und erhalte somit 0x+0y=0
und jetzt addiere ich es zur 5. gleichung
jetzt ist alles weckgefallen....was soll ich jetzt tun? Kann es sein, dass dadurch, dass alles weckfällt die Lösung -> unendlich viele Lösungen ist?
wars überhaupt richtig ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:26 Sa 25.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Hmm für mich ist das, was du geschrieben hast ehrlich zu
> kompliziert=)
>
> Finde es aber super, dass du mir deine technik erklärt
> hast=)
>
> Also wenn ich jetzt bei meiner Rechnung fortfahre:
>
> Also die 4. gleichung ist jetzt: 2x+1y=-1
>
> Und die 5. Gleichung ist jetzt: 0x+0y
>
> Jetzt mache ich die 4. gleichung *0 und erhalte somit
> 0x+0y=0
>
> und jetzt addiere ich es zur 5. gleichung
>
> jetzt ist alles weckgefallen....was soll ich jetzt tun?
> Kann es sein, dass dadurch, dass alles weckfällt die
> Lösung -> unendlich viele Lösungen ist?
>
> wars überhaupt richtig ?
Hallo,
du hast zweimal die selbe Gleichung (in der Ursprungsaufgabe)!
Die dritte Gleichung lautet z=3.
Die zweite sagt das Gleiche (und wurde lediglich verdoppelt zu 2*z=6).
Also kannst du in der ersten Gleichung an Stelle von z eine 3 einsetzen und bekommst unendlich viele mögliche Kombinationen von x und y.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:30 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Danke für deine Antwort.
Aber was bringt mir das, wenn ich in der 1. Gleichung für z eine 3 einsetze.
2x+1y+3z=6
Und warum hab ich hier jetzt unendlich viele Lösungen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Sa 25.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Danke für deine Antwort.
>
> Aber was bringt mir das, wenn ich in der 1. Gleichung für
> z eine 3 einsetze.
>
> 2x+1y+3z=6
>
> Und warum hab ich hier jetzt unendlich viele Lösungen?
z=3, also
2x+1y+3*3=6
2x+1y+9=6
2x+y=-3
Es gibt doch wohl unendlich viele Paare x,y mit 2x+y=-3, oder?
Du kannst dir irgendein x aussuchen und dazu das passende y ausrechnen (oder umgekehrt). Nur z=3 ist festgeschrieben.
Nimm an, es sei x irgendeine relle Zahl t.
Dann muss y=-3-2t gelten.
Alle Tripel der Form (t; -3-2t ; 3) mit t [mm] \in \IR [/mm] sind also Lösung.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:53 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Achso ok danke
also nehmen wir mal diese Aufgabe:
I. 4x+1y-1z=1
II. 0x+4y-8z=6
III. 0x+2y-4z=3
Die 1. Gleichungs 4x+1y-1z=1 mach ich jetzt *-4 ->>
-16x-4y+4z=-4
0x+4y-8z=6 ->> 2.Gleichung
=
IV. -16x-4z=2
Jetzt multipliziere ich die III. gleichung 0x+2y-4z=3 mit *-2
=
0x-4y+8z=-6
0x+4y-8z= 6 <-- 2. gleichung
und alles fällt weck.
Kannst du mir jetzt noch hier zeigen, wie ich zu einer lösung komme?
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Dein letzter Stand (falls ich es richtig mitbekommen habe) ist also:
4x+1y-1z=1
0x+4y-8z=6
0x+2y-4z=3
-16x-4y+4z=-4
0x+4y-8z=6
0x+2y-4z=3
-16x-4z=2
0x+4y-8z=6
0x+2y-4z=3
-16x-4z=2
0x+4y-8z=6
0x-4y+8z=-6
-16x -4z = 2 (I)
4y -8z = 6 (II)
du kannst z frei wählen.
nächster guter Schritt: stelle I oder II nach z um und setze in II oder I für z ein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Hmm verstehe nicht wie genau du das meinst=/
Kann du es mir bitte zeigen mit einem beispiel? Wäre echt super
Hab jetzt noch eine andere durch gerechnet und dort habe ich nun den gleichen fall wie hier.
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Das war alles Stuss! Entschuldigung. SO ist es richtig:
...
Probiere es direkt abzulesen:
-16x -4z = 2 (I)
4y -8z = 6 (II)
Setze z=s
-16x -4s = 2
4y -8s = 6
Stelle nach x und y um:
x = -(1/4)*s-1/8
y = 2*s+3/2
z = s
also als Vektor:
[mm] $\vektor{x\\y\\z}=\vektor{-(1/4)*s-1/8\\2*s+3/2\\1}=\vektor{-(1/4)*s\\2*s\\1}+\vektor{1/8\\3/2\\0}=s*\vektor{-(1/4)\\2\\1}+\vektor{1/8\\3/2\\0}$[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:35 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Eduart |
Verstehe.
ok gut.
Aber wie kann ich jetzt das rechnen, denn ich weis nicht wie ich das im taschenrechner eingeben muss. Hab ich auch noch nie machen müssen.
Wenn man das als Vektor hernimmt, muss ich dann irgendeine zahl für das s einsetzen?
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Jetzt habe ich es verhauen. Sorry:
Sie meine verherige Antwort.
Man muss nach x und y umstellen. Ich kann es dir morgen (nicht 16min) noch einmal allgemein aufschreiben. Oder jemand anderes.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:47 Sa 25.09.2010 | | Autor: | Eduart |
ok danke dann bis morgen
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:58 So 26.09.2010 | | Autor: | abakus |
> Achso ok danke
>
> also nehmen wir mal diese Aufgabe:
>
> I. 4x+1y-1z=1
> II. 0x+4y-8z=6
> III. 0x+2y-4z=3
Hallo,
die Gleichungen 2 und 3 sind wieder nahezu identisch (II ist nur das Doppelte von 3.)
Du kannst eine dieser beiden nach y umstellen:
y=1,5+2z.
Damit kannst du das y aus der ersten Gleichung ersetzen:
4x+(1,5+2z)-z=1
4x+z=-0,5
z=-0,5-4x.
Damit haben wir zuerst (5 Zeilen weiter oben) y durch z und jetzt noch z durch x ausgedrückt.
Somit kannst du für x eine beliebige reelle Zahl t einsetzen,
dann gilt z=-0,5-4t.
y ist dann 1,5+2z=1,5+2(-0,5-4t),
also y=0,5-8t
Die Lösung ist also (t/0,5-8t/0,5-4t)
Probe in Gleichung I:
4t+(0,5-8t)-(-0,5-4t)=1
Probe in Gleichung II:
4(0,5-8t)-8(-0,5-4t)=6
Probe in Gleichung III:
2(0,5-8t)-4(-0,5-4t)=3
Gruß Abakus
>
> Die 1. Gleichungs 4x+1y-1z=1 mach ich jetzt *-4 ->>
>
> -16x-4y+4z=-4
> 0x+4y-8z=6 ->> 2.Gleichung
>
> =
>
> IV. -16x-4z=2
>
> Jetzt multipliziere ich die III. gleichung 0x+2y-4z=3 mit
> *-2
>
> =
>
> 0x-4y+8z=-6
> 0x+4y-8z= 6 <-- 2. gleichung
>
> und alles fällt weck.
>
>
> Kannst du mir jetzt noch hier zeigen, wie ich zu einer
> lösung komme?
>
>
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