Additionsverfahren bei 3 Bruch < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:51 Mi 03.11.2004 | | Autor: | forrest |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo!
Bevor ich hier meine Frage stelle möchte ich mich kurz bekannt machen.
Mein Name ist Patrick bin 31 Jahre Jung  und Studierender an der TS Braunschweig. Leider habe ich in Mathe einige Schwierigkeiten, hoffe aber das dieser hier ein bisschen minimiert werden können. Verzeiht bitte das ich mich mit dem TeX Möglichkeiten noch nicht auseinandergesetzt habe.
Nun zu meiner Frage.
Ich habe ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen vorgegeben dieses soll anhand des Additionsverfahrens gelöst werden. Leider komme ich über die Substitution nicht hinaus.
1. 2/x + 3/y + 5/2z = 2
2. 2/x + 3/4y +5/4z = 1
3. 4/x + 3/y - 10/3z = 4/3
Jetzt haben wir im Unterricht die Substitution angewandt um die Gleichungen zu vereinfachen.
u = 1/x
v = 1/y
w = 1/z
damit wird aus den obigen Gleichungen...
1´) 2u + 3v + 5/2w = 2
2´) 2u + 3/4v + 5/4w = 1
3´) 4u + 3v + 10/3w = 4/3
... und hier ist bei mir auch schon Feierabend.
Wie Löse ich diese Gleichung auf um die drei unbekannten x, y und z zu erhalten?
Patrick
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:38 Mi 03.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Patrick,
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hallo!
>
> Bevor ich hier meine Frage stelle möchte ich mich kurz
> bekannt machen.
> Mein Name ist Patrick bin 31 Jahre Jung und
> Studierender an der TS Braunschweig. Leider habe ich in
> Mathe einige Schwierigkeiten, hoffe aber das dieser hier
> ein bisschen minimiert werden können. Verzeiht bitte das
> ich mich mit dem TeX Möglichkeiten noch nicht
> auseinandergesetzt habe.
>
> Nun zu meiner Frage.
>
> Ich habe ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen
> vorgegeben dieses soll anhand des Additionsverfahrens
> gelöst werden. Leider komme ich über die Substitution nicht
> hinaus.
>
>
> 1. 2/x + 3/y + 5/2z = 2
>
> 2. 2/x + 3/4y +5/4z = 1
>
> 3. 4/x + 3/y - 10/3z = 4/3
Dann schreib ich es mal mit dem Editor:
1. [mm] $\frac{2}{x}+\frac{3}{y}+\frac{5}{2z}=2$
[/mm]
2. [mm] $\frac{2}{x}+\frac{3}{4y}+\frac{5}{4z}=1$
[/mm]
3. [mm] $\frac{4}{x}+\frac{3}{y}-\frac{10}{3z}= \frac{4}{3}$
[/mm]
> Jetzt haben wir im Unterricht die Substitution angewandt um
> die Gleichungen zu vereinfachen.
>
> u = 1/x
> v = 1/y
> w = 1/z
>
> damit wird aus den obigen Gleichungen...
>
> 1´) 2u + 3v + 5/2w = 2
> 2´) 2u + 3/4v + 5/4w = 1
> 3´) 4u + 3v + 10/3w = 4/3
Also:
1') [mm] $2u+3v+\frac{5}{2}w=2$
[/mm]
2') [mm] $2u+\frac{3}{4}v+\frac{5}{4}w=1$
[/mm]
3') [mm] $4u+3v\red{-}\frac{10}{3}w=\frac{4}{3}$ [/mm]
Ein kleiner Rechenfehler ist dir unterlaufen, anstelle eines "+" muss einmal ein "-" stehen. Ich habe es in der Korrektur hier rot markiert, aber ansonsten: ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> ... und hier ist bei mir auch schon Feierabend.
Wieso denn? Du hast doch nun ein Gleichungssystem: Drei Gleichungen mit drei Unbekannten. Das kannst du mit dem Additionsverfahren (wie du selbst in der Überschrift andeutest) lösen:
1. Schritt:
Wir halten die Gleichung 1') fest [in dem Sinne, dass wir jede andere Gleichung (bzw. dazu äquivalente Gleichung) zu der Gleichung 1') addieren (oder zu einer zu 1') äquivalenten Gleichung) ; ich hoffe, du verstehst, wie ich das meine...]
Also:
Wir rechnen z.B. zunächst:
$1')+(-1)*2')$
(Im Sinne: Multipliziere die Gleichung 2') mit dem Faktor $-1$, die Gleichung, die als Ergebnis herauskommt, addierst du dann zu 1')!)
Teile uns nun bitte dein Ergebnis mit, denn das brauchst du nachher. Diese nun resultierende Gleichung nennen wir dann
1'')
[Es gilt also, etwas schlampig formuliert: 1'') $=_$ 1')+(-1)*2')]
2. Schritt:
Nun addieren wir eine zur Gleichung 1') äquivalenten Gleichung mit einer zur Gleichung 3') äquivalenten Gleichung, beachten dabei, dass wir, als wir 1'') berechnet haben, so gerechnet haben, dass $u$ eliminiert wird. Also nehmen wir eine zu 1') äquivalente Gleichung, so dass deren Addition mit einer zu 3') äquivalenten Gleichung auch $u$ eliminiert, denn dann haben wir nur noch zwei Gleichungen mit zwei Variablen. Es bietet sich an, erst die Gleichung 1') mit dem Faktor $2$ zu multiplizieren, danach die Gleichung 3') mit $(-1)$ zu multiplizieren und die resultierenden Gleichungen zu addieren.
Wir rechnen also:
$2*1')+(-1)*3')$
Das Ergebnis dieser Gleichung nennen wir 2'').
[Es gilt also wieder, etwas schlampig formuliert: 2'') $=$ 2*1')+(-1)*3')]
Nun hast du noch zwei Gleichungen, und zwar die Gleichungen
1'') und 2'').
Dort tauchen nur noch die Variablen $v$ und $w$ auf, du hast also zwei Gleichungen mit zwei Variablen.
3. Schritt:
Wieder nach obigem Schema kannst du daraus dann (hoffentlich) mit dem Additionsverfahren eine Gleichung mit einer Variablen machen (hier brauchst du aber nur eine "passende" Addition der (oder äquivalenter) Gleichungen), und daraus errechnest du den Wert einer Variablen.
4. Schritt:
Dann guckst du, wo du eine Gleichung mit zwei Variablen hast (wo auch die Variable auftaucht, deren Wert du ja jetzt kennst), setzt dort diesen Wert ein und erhältst den Wert einer zweiten Variablen.
5.Schritt:
Jetzt suchst du eine Gleichung mit allen drei Variablen, setzt dort die (nun) zwei bekannten Werte ein und erhältst den Wert der dritten Variablen.
Nun kennst du die Werte für $u$, $v$ und $w$.
6. Schritt:
Es war aber [mm] $u=\frac{1}{x}$, [/mm] also kannst du, wenn du $u$ kennst, auch $x$ ausrechnen.
Analog kannst du dann $y$ und $z$ ausrechnen.
Ich hoffe, es ist klar, was du zu tun hast. Poste bitte deine Rechnung zur Kontrolle!
Viele Grüße,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Mi 03.11.2004 | | Autor: | forrest |
Hallo und DANKE für die schnelle Antwort. Hatte heute Abend gar nicht mehr mit gerechnet.
Lösung:
1´) [mm] $\frac{9}{4}v+\frac{5}{4}w=1$
[/mm]
2´) [mm] $3v+\frac{25}{3}w=\frac{8}{3}$
[/mm]
1´ erweitere ich jetzt mit [mm] $1\frac{1}{3}$
[/mm]
2´ erweiter ich mit *(-1)
somit erhalte ich 1" und 2 "
1") [mm] $3v+\frac{5}{3}w=\frac{4}{3}$
[/mm]
2") [mm] $-3v-\frac{25}{3}w=-\frac{8}{3}$
[/mm]
Als Lösung für W erhalte ich [mm] $w=\frac{1}{5}$
[/mm]
Den Wert für w setze ich in meiner bei der substitution angewandten gleichung ein und löse nach z auf.
z=5
Die beiden restlichen werte stellen jetzt glaube ich kein Problem mehr da. Danke für die schnelle Hilfe.
Gruß Patrick
P.S.: Habe den Quelltext noch richtig angepasst.
Die Rechnung ist fertig.
X=4 ; Y=3 ; und Z=5
War bestimmt nicht das letzte mal das ich die Hilfe des Forums gebraucht habe.  Schade das ich es erst so spät gefunden habe.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:52 Do 04.11.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Patrick,
ich habe das jetzt mal kontrolliert:
> Hallo und DANKE für die schnelle Antwort. Hatte heute Abend
> gar nicht mehr mit gerechnet.
>
> Lösung:
>
> 1´) [mm]\frac{9}{4}v+\frac{5}{4}w=1[/mm]
>
> 2´) [mm]3v+\frac{25}{3}w=\frac{8}{3}[/mm]
>
> 1´ erweitere ich jetzt mit [mm]1\frac{1}{3}[/mm]
> 2´ erweiter ich mit *(-1)
Anstatt "erweitere" solltest du besser "multipliziere" sagen.
Übrigens:
Eine (zunächst) bruchfreie Rechnung hättest du so machen können:
$4*1')-3*2')$
> somit erhalte ich 1" und 2 "
>
> 1") [mm]3v+\frac{5}{3}w=\frac{4}{3}[/mm]
>
> 2") [mm]-3v-\frac{25}{3}w=-\frac{8}{3}[/mm]
>
> Als Lösung für W erhalte ich [mm]w=\frac{1}{5}[/mm]
>
> Den Wert für w setze ich in meiner bei der substitution
> angewandten gleichung ein und löse nach z auf.
>
> z=5
>
> Die beiden restlichen werte stellen jetzt glaube ich kein
> Problem mehr da. Danke für die schnelle Hilfe.
>
> Gruß Patrick
>
> P.S.: Habe den Quelltext noch richtig angepasst.
> Die Rechnung ist fertig.
>
> X=4 ; Y=3 ; und Z=5
Das scheint alles zu stimmen. ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Aber einige Bitten hätte ich für die Zukunft:
1.) Anstatt deine Rechnung in einer Mitteilung zu präsentieren, solltest du sie als Frage stellen. Nur, weil ich mal so gucken wollte, wie weit du gekommen bist, hatte ich das zufällig gesehen, dass du deine Mitteilung bearbeitet hast und dort deine Rechnung vorgeführt hast. Es sei denn, dir ist es egal, ob man die Rechnung kontrolliert oder nicht, und ich denke schon, dass du sie immer kontrolliert haben möchtest, oder?
2.) Falls du etwas wesentliches in einer deiner Fragen, Antworten oder Mitteilungen änderst, so wäre es nett, wenn du die in dem Thread mitarbeitenden Personen per PN darauf aufmerksam machst (hier kannst du natürlich auch eine Mitteilung schreiben ) und entsprechend innerhalb des Postings die Änderung kennzeichnest.
Okay, du bist neu hier, dir war das System vermutlich noch nicht ganz klar.
An diesem Thread brauchst du jetzt nichts mehr zu kennzeichnen. Aber klicke dich einfach mal ein bisschen durchs Forum und guck dir die anderen Threads an, dann verstehst du am ehesten, wie das ganze hier läuft.
Liebe Grüße,
Marcel
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