Adische Vervollständigung < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Fr 09.12.2011 | | Autor: | icarus89 |
| Aufgabe | Seien R ein Ring, M ein A-Modul und I ein Ideal in R. Die Quotienten [mm] M/I^{n}M [/mm] bilden zusammen mit den Projektionen ein projektives System. Die I-adische Vervollständigung von M ist der projektive Limes dieser Quotienten.
Der Ring [mm] \IZ_{p} [/mm] sei die (p)-adische Vervollständigung von [mm] \IZ [/mm] (für eine Primzahl p), ferner bezeichne [mm] \IZ_{(p)} [/mm] die Lokalisierung am Primideal (p).
1) Seien A ein Ring und R der Polynomring über A in n Variablen und I das von allen Variablen erzeugte Ideal in R. Zeigen Sie, dass die I-adische Vervollständigung von R isomorph ist zum Potenzreihenring in n Variablen.
2) Beweisen oder widerlegen Sie: [mm] \IZ_{p} [/mm] ist isomorph zum Potenzreihenring über [mm] \IF_{p}.
[/mm]
Zeigen Sie ferner, dass [mm] \IZ_{p} [/mm] isomorph ist zu dem Potenzreihenring über [mm] \IZ [/mm] modulo dem von (X-p) erzeugten Ideal.
3) Zeigen Sie, dass es einen eindeutigen Ringhomomorphismus von [mm] \IZ_{(p)} [/mm] nach [mm] \IZ_{p} [/mm] gibt. Ist dieser injektiv? Surjektiv? |
Heyho!
Also, wo fang ich an? 1) und 2) hören sich zunächst ja ähnlich an, aber irgendwie scheiter ich bei dem Versuch 2) mit 1) zu zeigen...
Also hab ich 2) zumindest den ersten Teil einfach mal angegangen...
Wenn ich mir so mal den wikipedia-Artikel zu den p-adischen Zahlen angucke, dann stimmt die Behauptung und dann definiert man sich schön inverse Ringhoms, wobei so eine Reihe abgebildet wird auf die Folge p einsetzen und nur jeweils endlich aufsummieren und so ne kohärente Folge auf die Reihe mit den Komponenten der Differenzen zwischen zwei Folgenglieder durch ne p-Potenz, das klappt auch soweit...
Nur der zweite Teil...kann dann doch eigentlich nicht mehr so schwer sein...
[mm] \IZ[|X|]/(X-p)\cong \IZ/p\IZ[|X|] [/mm] Sieht doch so aus, als könnte das stimmen, ich frag mich nur wie man dazwischen nen Isomorphismus finden könnte oder geht das einfacher, möglicherweise durch irgendeinen allgemeinere Aussage, die mir grad einfach nicht einfällt?
So bei Aufgabe 1) hab ich noch nichts vernünftiges zu Stande gebracht, das ist irgendwie hässlich, mit mehreren Variablen... und sich vorzustellen, wie dieser projektive Limes da nun aussieht.
Bei 3): Es wurde beiläufig mal erwähnt, dass [mm] \IZ_{p} [/mm] ebenso die p-adische Vervollständigung von [mm] \IZ_{(p)} [/mm] sei. Dabei handelt es sich aber leider um eine unbewiesene Tatsache, wenn ich das zeigen könnte, dass die beiden projektiven Limites gleich sind, wäre doch klar, dass man [mm] \IZ_{(p)} [/mm] darin einbetten kann...Nur die Sache mit der Nichtsurjektivität...Ebenso wurde beiläufig erwähnt, dass [mm] \IZ_{p} [/mm] überabzählbar sei, also kann es demnach nicht surjektiv sein, aber das müsste man auch erstmal beweisen und da ist es vielleicht doch einfacher diesen Ringhom direkt anzugeben und nen Element ohne Urbild zu finden
Aber ich weiß nicht, wie p-lokale Zahlen im allgemeinen in dem Ding aussehen sollten, bei [mm] \IZ [/mm] selbst ist, ist das ja komponentenweise immer die gleiche Zahl...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Sa 10.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Seien R ein Ring, M ein A-Modul und I ein Ideal in R. Die
> Quotienten [mm]M/I^{n}M[/mm] bilden zusammen mit den Projektionen
> ein projektives System. Die I-adische Vervollständigung
> von M ist der projektive Limes dieser Quotienten.
> Der Ring [mm]\IZ_{p}[/mm] sei die (p)-adische Vervollständigung von
> [mm]\IZ[/mm] (für eine Primzahl p), ferner bezeichne [mm]\IZ_{(p)}[/mm] die
> Lokalisierung am Primideal (p).
>
> 1) Seien A ein Ring und R der Polynomring über A in n
> Variablen und I das von allen Variablen erzeugte Ideal in
> R. Zeigen Sie, dass die I-adische Vervollständigung von R
> isomorph ist zum Potenzreihenring in n Variablen.
>
> 2) Beweisen oder widerlegen Sie: [mm]\IZ_{p}[/mm] ist isomorph zum
> Potenzreihenring über [mm]\IF_{p}.[/mm]
> Zeigen Sie ferner, dass [mm]\IZ_{p}[/mm] isomorph ist zu dem
> Potenzreihenring über [mm]\IZ[/mm] modulo dem von (X-p) erzeugten
> Ideal.
>
> 3) Zeigen Sie, dass es einen eindeutigen Ringhomomorphismus
> von [mm]\IZ_{(p)}[/mm] nach [mm]\IZ_{p}[/mm] gibt. Ist dieser injektiv?
> Surjektiv?
>
> Also, wo fang ich an? 1) und 2) hören sich zunächst ja
> ähnlich an, aber irgendwie scheiter ich bei dem Versuch 2)
> mit 1) zu zeigen...
Beim ersten Teil von 2) kannst du auch nichts zeigen, da du die Aussage widerlegen musst.
> Also hab ich 2) zumindest den ersten Teil einfach mal
> angegangen...
> Wenn ich mir so mal den wikipedia-Artikel zu den
> p-adischen Zahlen angucke, dann stimmt die Behauptung und
> dann definiert man sich schön inverse Ringhoms, wobei so
> eine Reihe abgebildet wird auf die Folge p einsetzen und
> nur jeweils endlich aufsummieren und so ne kohärente Folge
> auf die Reihe mit den Komponenten der Differenzen zwischen
> zwei Folgenglieder durch ne p-Potenz, das klappt auch
> soweit...
Nur: die Abbildung ist kein Homomorphismus.
Schau dir mal die Charakteristik von beiden Ringen an.
> Nur der zweite Teil...kann dann doch eigentlich nicht mehr
> so schwer sein...
> [mm]\IZ[|X|]/(X-p)\cong \IZ/p\IZ[|X|][/mm] Sieht doch so aus, als
Warum sollte das stimmen? Und was hat das mit der Aufgabe zu tun?
> könnte das stimmen, ich frag mich nur wie man dazwischen
> nen Isomorphismus finden könnte oder geht das einfacher,
> möglicherweise durch irgendeinen allgemeinere Aussage, die
> mir grad einfach nicht einfällt?
Fang doch an, einen Homomorphismus von [mm] $\IZ[[X]]$ [/mm] nach [mm] $\IZ_p$ [/mm] zu definieren, der $X$ auf $p$ abbildet. Nach der universellen Eigenschaft von [mm] $\IZ[[X]]$ [/mm] existiert dieser, da in [mm] $\IZ_p$ [/mm] gilt [mm] $p^n \to [/mm] 0$ fuer $n [mm] \to \infty$. [/mm] Zeige jetzt, dass er surjektiv ist und der Kern von $X - p$ erzeugt wird. Dann folgt die Behauptung mit dem Homomorphiesatz.
> So bei Aufgabe 1) hab ich noch nichts vernünftiges zu
> Stande gebracht, das ist irgendwie hässlich, mit mehreren
> Variablen... und sich vorzustellen, wie dieser projektive
> Limes da nun aussieht.
Arbeite mit Multiindices, dann sind mehrere Variablen nicht mehr so haesslich 
Das Ideal [mm] $I^n$ [/mm] ist dann einfach das Ideal, was von allen Monomen [mm] $X^\alpha$ [/mm] mit [mm] $|\alpha| [/mm] = n$ erzeugt wird. Jedes Element in [mm] $R/I^n$ [/mm] ist eindeutig schreibbar in der Form [mm] $\sum_{|\alpha| < n} a_\alpha X^\alpha [/mm] + [mm] I^n$.
[/mm]
Der Teil [mm] $\sum_{|\alpha| < n} a_\alpha X^\alpha$ [/mm] entspricht dem Anfang der Potenzreihe: die hoeheren Potenzen werden einfach "abgeschnitten".
Das gibt dir eventuell eine Idee, wie du den Isomorphismus konstruieren kannst...
> Bei 3): Es wurde beiläufig mal erwähnt, dass [mm]\IZ_{p}[/mm]
> ebenso die p-adische Vervollständigung von [mm]\IZ_{(p)}[/mm] sei.
> Dabei handelt es sich aber leider um eine unbewiesene
> Tatsache, wenn ich das zeigen könnte, dass die beiden
> projektiven Limites gleich sind, wäre doch klar, dass man
> [mm]\IZ_{(p)}[/mm] darin einbetten kann...
Ja. Es geht aber auch wesentlich direkter. Wie sehen die Elemente in [mm] $\IZ_{(p)}$ [/mm] aus? Daraus solltest du sehen, auf was sie abgeblidet werden muessen. Schau doch erstmal [mm] $\IZ \to \IZ_p$ [/mm] an; hier gibt es ebenfalls genau einen Homomorphismus. Und durch diesen kann der andere beschrieben werden, du musst nur zeigen dass gewisse Elemente auf Einheiten abgebildet werden.
> Nur die Sache mit der
> Nichtsurjektivität...Ebenso wurde beiläufig erwähnt,
> dass [mm]\IZ_{p}[/mm] überabzählbar sei, also kann es demnach
> nicht surjektiv sein, aber das müsste man auch erstmal
> beweisen
Das ist nicht schwer: jedes Element in [mm] $\IZ_p$ [/mm] ist eindeutig schreibbar als [mm] $\sum_{n=0}^\infty a_n p^n$ [/mm] mit [mm] $a_n \in \{ 0, \dots, p - 1 \}$. [/mm] Das ist wie die Dezimalentwicklung, mit der man zeigt dass $[0, 1)$ ueberabzaehlbar ist: mit dem Unterschied, dass es hier viel einfacher ist, da im Gegensatz zur Dezimalentwicklung verschiedene Reihen nicht die gleiche Zahl darstellen koennen.
> und da ist es vielleicht doch einfacher diesen
> Ringhom direkt anzugeben und nen Element ohne Urbild zu
> finden
Das geht auch. Ist aber moeglicherweise aufwaendiger, je nachdem wie stark man das obige ausfuehren moechte...
> Aber ich weiß nicht, wie p-lokale Zahlen im allgemeinen
Was soll eine p-lokale Zahl sein? Meinst du die Elemente in der Lokalisierung [mm] $\IZ_{(p)}$?
[/mm]
> in dem Ding aussehen sollten, bei [mm]\IZ[/mm] selbst ist, ist das
> ja komponentenweise immer die gleiche Zahl...
Du meinst: komponentenweise die Restklasse der gleichen Zahl.
Wie das Bild einer Zahl in [mm] $\IZ_{(p)}$ [/mm] aussieht kann man normalerweise nicht in geschlossener Form angeben. Du musst es indirekt machen, wie ich das oben erwaehnt hab.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:16 Mo 12.12.2011 | | Autor: | icarus89 |
Danke, Aufgabe 1 hab ich nun mit den Multiindizes hingekriegt, bei der zweiten hab ich noch ein Problem...
>
> Fang doch an, einen Homomorphismus von [mm]\IZ[[X]][/mm] nach [mm]\IZ_p[/mm]
> zu definieren, der [mm]X[/mm] auf [mm]p[/mm] abbildet. Nach der universellen
> Eigenschaft von [mm]\IZ[[X]][/mm] existiert dieser, da in [mm]\IZ_p[/mm] gilt
> [mm]p^n \to 0[/mm] fuer [mm]n \to \infty[/mm]. Zeige jetzt, dass er surjektiv
> ist und der Kern von [mm]X - p[/mm] erzeugt wird. Dann folgt die
> Behauptung mit dem Homomorphiesatz.
>
Dieser Kern...irgendwie krieg ich nicht hin zu zeigen, dass der das von X-p erzeugte Ideal ist... So, im Kern liegen alle Reihen [mm] f=\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i}, [/mm] für die gilt: [mm] p^{n} [/mm] teilt [mm] \summe_{i=0}^{n-1}a_{i}*p^{i} [/mm] für alle n, wie zeige ich denn nun, dass (X-p) f teilt? Kann man irgendeine Reihe g direkt hinschreiben, sodass f=g*(X-p)?
> > So bei Aufgabe 1) hab ich noch nichts vernünftiges zu
> > Stande gebracht, das ist irgendwie hässlich, mit mehreren
> > Variablen... und sich vorzustellen, wie dieser projektive
> > Limes da nun aussieht.
>
> Arbeite mit Multiindices, dann sind mehrere Variablen nicht
> mehr so haesslich
>
> Das Ideal [mm]I^n[/mm] ist dann einfach das Ideal, was von allen
> Monomen [mm]X^\alpha[/mm] mit [mm]|\alpha| = n[/mm] erzeugt wird. Jedes
> Element in [mm]R/I^n[/mm] ist eindeutig schreibbar in der Form
> [mm]\sum_{|\alpha| < n} a_\alpha X^\alpha + I^n[/mm].
>
> Der Teil [mm]\sum_{|\alpha| < n} a_\alpha X^\alpha[/mm] entspricht
> dem Anfang der Potenzreihe: die hoeheren Potenzen werden
> einfach "abgeschnitten".
>
> Das gibt dir eventuell eine Idee, wie du den Isomorphismus
> konstruieren kannst...
>
> > Bei 3): Es wurde beiläufig mal erwähnt, dass [mm]\IZ_{p}[/mm]
> > ebenso die p-adische Vervollständigung von [mm]\IZ_{(p)}[/mm] sei.
> > Dabei handelt es sich aber leider um eine unbewiesene
> > Tatsache, wenn ich das zeigen könnte, dass die beiden
> > projektiven Limites gleich sind, wäre doch klar, dass man
> > [mm]\IZ_{(p)}[/mm] darin einbetten kann...
>
> Ja. Es geht aber auch wesentlich direkter. Wie sehen die
> Elemente in [mm]\IZ_{(p)}[/mm] aus? Daraus solltest du sehen, auf
> was sie abgeblidet werden muessen. Schau doch erstmal [mm]\IZ \to \IZ_p[/mm]
> an; hier gibt es ebenfalls genau einen Homomorphismus. Und
> durch diesen kann der andere beschrieben werden, du musst
> nur zeigen dass gewisse Elemente auf Einheiten abgebildet
> werden.
>
> > Nur die Sache mit der
> > Nichtsurjektivität...Ebenso wurde beiläufig erwähnt,
> > dass [mm]\IZ_{p}[/mm] überabzählbar sei, also kann es demnach
> > nicht surjektiv sein, aber das müsste man auch erstmal
> > beweisen
>
> Das ist nicht schwer: jedes Element in [mm]\IZ_p[/mm] ist eindeutig
> schreibbar als [mm]\sum_{n=0}^\infty a_n p^n[/mm] mit [mm]a_n \in \{ 0, \dots, p - 1 \}[/mm].
> Das ist wie die Dezimalentwicklung, mit der man zeigt dass
> [mm][0, 1)[/mm] ueberabzaehlbar ist: mit dem Unterschied, dass es
> hier viel einfacher ist, da im Gegensatz zur
> Dezimalentwicklung verschiedene Reihen nicht die gleiche
> Zahl darstellen koennen.
>
> > und da ist es vielleicht doch einfacher diesen
> > Ringhom direkt anzugeben und nen Element ohne Urbild zu
> > finden
>
> Das geht auch. Ist aber moeglicherweise aufwaendiger, je
> nachdem wie stark man das obige ausfuehren moechte...
>
> > Aber ich weiß nicht, wie p-lokale Zahlen im allgemeinen
>
> Was soll eine p-lokale Zahl sein? Meinst du die Elemente in
> der Lokalisierung [mm]\IZ_{(p)}[/mm]?
>
> > in dem Ding aussehen sollten, bei [mm]\IZ[/mm] selbst ist, ist das
> > ja komponentenweise immer die gleiche Zahl...
>
> Du meinst: komponentenweise die Restklasse der gleichen
> Zahl.
>
> Wie das Bild einer Zahl in [mm]\IZ_{(p)}[/mm] aussieht kann man
> normalerweise nicht in geschlossener Form angeben. Du musst
> es indirekt machen, wie ich das oben erwaehnt hab.
Okay, einfach einen Quotienten auf einen Quotienten abbilden und durch den Nenner kann man dann tatsächlich teilen, weil in [mm] \IZ_{p} [/mm] gerade die Elemente, die nicht mit Null beginnen Einheiten sind?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:41 Mo 12.12.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Fang doch an, einen Homomorphismus von [mm]\IZ[[X]][/mm] nach [mm]\IZ_p[/mm]
> > zu definieren, der [mm]X[/mm] auf [mm]p[/mm] abbildet. Nach der universellen
> > Eigenschaft von [mm]\IZ[[X]][/mm] existiert dieser, da in [mm]\IZ_p[/mm] gilt
> > [mm]p^n \to 0[/mm] fuer [mm]n \to \infty[/mm]. Zeige jetzt, dass er surjektiv
> > ist und der Kern von [mm]X - p[/mm] erzeugt wird. Dann folgt die
> > Behauptung mit dem Homomorphiesatz.
> >
> Dieser Kern...irgendwie krieg ich nicht hin zu zeigen, dass
> der das von X-p erzeugte Ideal ist... So, im Kern liegen
> alle Reihen [mm]f=\summe_{i=0}^{\infty}a_{i}X^{i},[/mm] für die
> gilt: [mm]p^{n}[/mm] teilt [mm]\summe_{i=0}^{n-1}a_{i}*p^{i}[/mm] für alle
> n, wie zeige ich denn nun, dass (X-p) f teilt? Kann man
> irgendeine Reihe g direkt hinschreiben, sodass f=g*(X-p)?
Ist $g = [mm] \sum_{n=0}^\infty b_n X^n$ [/mm] und $f = [mm] \sum_{n=0}^\infty a_n X^n$, [/mm] so schreibe $f = g [mm] \cdot [/mm] (X - p)$ mal aus und mache Koeffizientenvergleich. Das gibt dir ein lineares Gleichungssystem (mit unendlich vielen Unbestimmten, den [mm] $b_n$, [/mm] $n [mm] \in \IN$, [/mm] aber einer einfachen Struktur). Du musst zeigen, dass dieses in den ganzen Zahlen loesbar ist: das bedeutet gerade, dass es so ein $g$ gibt.
> > > in dem Ding aussehen sollten, bei [mm]\IZ[/mm] selbst ist, ist das
> > > ja komponentenweise immer die gleiche Zahl...
> >
> > Du meinst: komponentenweise die Restklasse der gleichen
> > Zahl.
> >
> > Wie das Bild einer Zahl in [mm]\IZ_{(p)}[/mm] aussieht kann man
> > normalerweise nicht in geschlossener Form angeben. Du musst
> > es indirekt machen, wie ich das oben erwaehnt hab.
>
> Okay, einfach einen Quotienten auf einen Quotienten
> abbilden
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> und durch den Nenner kann man dann tatsächlich
> teilen, weil in [mm]\IZ_{p}[/mm] gerade die Elemente, die nicht mit
> Null beginnen Einheiten sind?
Genau. Und [mm] $\varphi(x)$ [/mm] ($x [mm] \in \IZ$) [/mm] beginnt mit einer 0 genau dann wenn $x$ durch $p$ teilbar ist.
LG Felix
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| Aufgabe | 1) Seien A ein Ring und M ein A-Modul mit einer linearen Topologie, die von einer Filtrierung [mm] (M_{n}) [/mm] herrührt und N sei ein Untermodul von M. [mm] \overleftarrow{M} [/mm] sei die Vervollständigung von M bezüglich der linearen Topologie und [mm] \overleftarrow{N} [/mm] sei die Vervollständigung von N bezüglich der Relativtopologie auf N. [mm] \phi:M\to \overleftarrow{M} [/mm] sei die natürliche Abbildung. Zeigen Sie, dass [mm] \overleftarrow{N} [/mm] der Abschluss von [mm] \phi(N) [/mm] in [mm] \overleftarrow{M} [/mm] ist.
2) Sei nun A noethersch und M endlich erzeugter A-Modul und I, J seien Ideale in A. Betrachtet werden nun I-adische Vervollständigungen.
Zeigen Sie, dass [mm] \overleftarrow{JM}, J\overleftarrow{M} [/mm] und der Abschluss von [mm] \phi(JM) [/mm] übereinstimmen. |
Heyho!
Hier ein paar weitere Aufgaben zu adischen Vervollständigen bzw. Vervollständigungen im Allgemeinen...
Bei 2) ist das erste und das dritte schon mal gleich nach Aufgabe 1. Also reicht es zu zeigen, dass das erste und das zweite gleich bzw. isomorph sind. Kann man da vielleicht irgendwie was mit Artin-Rees oder der universellen Eigenschaft des inversen Limes erreichen?
Also man muss ja zeigen:
[mm] J*(\underleftarrow{lim}(M/I^{n}M)=\underleftarrow{lim}(M/I^{n}JM)
[/mm]
sind [mm] a(x_{n})\mapsto a*x_{n} [/mm] kompatible Abbildungen in die einzelnen "Teile" rechts? Dann gibt es nach der universellen Eigenschaft des inversen Limes genau eine dazu kompatible Abbildung in den limes und die ist dann hoffentlich ein Isomorphismus. Aber irgendwie ist mir das noch unklar...
Naja, dann mal zur Aufgabe 1:
Also ich muss sagen, dass ich noch nicht wirklich verstanden hab, wie denn nun so eine lineare Toplogie aussieht...
Wie auch immer, diese Sache mit den Vervollständigungen ist ja immer so wie man das aus der Ana I kennt... Man guckt sich CF an und nennt diese äquivalent, wenn sie gegen das gleiche konvergieren würden, wenn sie es schon täten. Also die Aussage wirkt ja irgendwie klar, zumindest glaubhaft, aber wie man das nun konkret zeigen sollte. Wie zeigt man im Allgemeinen, dass zwei Mengen gleich sind, man schnappt sich ein Element aus der einen und zeigt, dass es auch in der anderen ist. Aber irgendwie fehlt mir die Vorstellung, wie diese Mengen nun aussehen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:20 Do 22.12.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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