Adjungierte Abbildung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:57 So 02.05.2010 | | Autor: | anouk |
| Aufgabe | Sei V = R[x] versehen mit dem Skalarprodukt [mm] \summe_{k=1}^{} [/mm] f^(k)(0).g^(k)(0). (Unendliche Summe)
Betrachte die Ableitung T [mm] \in [/mm] End(V), T(f) = f ' .
Zeigen sie, dass die adjungierte Abbildung T* [mm] \in [/mm] End(V) gegeben ist durch T*(f) = [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt}. [/mm] |
Hallo zusammen, ich bin wieder da mit einer neuen Frage! 
Ich muss diese Aufgabe lösen, aber ich weiss nicht wie ich machen kann.
Ich kenne die Definition einer adjungierte Abbildung, nämlich
<F(v), w> = <v, F*(w)>, wobei F ein Endomorphismus ist.
Ich habe auch gedacht, dass sowohl die Summe, als auch die Ableitung und das Integral linear sind.... Vielleicht kann das helfen. Dann kann auch das Integral mittels eine unendliche Summe dargestellt werden.
Ich schaffe aber nicht, alle diese Informationen zusammen zu bringen und eine Lösung zu finden.
Kann mir jemand helfen, bitte?
Dankeee!
Liebe Grüsse,
Anouk.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:39 Mo 03.05.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Sei V = R[x] versehen mit dem Skalarprodukt
> [mm]\summe_{k=1}^{}[/mm] f^(k)(0).g^(k)(0). (Unendliche Summe)
> Betrachte die Ableitung T [mm]\in[/mm] End(V), T(f) = f ' .
>
> Zeigen sie, dass die adjungierte Abbildung T* [mm]\in[/mm] End(V)
> gegeben ist durch T*(f) = [mm]\integral_{0}^{x}{f(t) dt}.[/mm]
>
> Hallo zusammen, ich bin wieder da mit einer neuen Frage!
>
>
> Ich muss diese Aufgabe lösen, aber ich weiss nicht wie ich
> machen kann.
>
> Ich kenne die Definition einer adjungierte Abbildung,
> nämlich
> <F(v), w> = <v, F*(w)>, wobei F ein Endomorphismus ist.
> Ich habe auch gedacht, dass sowohl die Summe, als auch die
> Ableitung und das Integral linear sind.... Vielleicht kann
> das helfen. Dann kann auch das Integral mittels eine
> unendliche Summe dargestellt werden.
> Ich schaffe aber nicht, alle diese Informationen zusammen
> zu bringen und eine Lösung zu finden.
> Kann mir jemand helfen, bitte?
Rechne mal $<T(f), g>$ und $<f, [mm] T^\ast(g)>$ [/mm] mit $T$ und [mm] $T^\ast$ [/mm] wie aus der Aufgabenstellung aus. Wenn das gleich sind, dann ist [mm] $T^\ast$ [/mm] tatsaechlich die Adjungierte von $T$.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:09 Mo 03.05.2010 | | Autor: | anouk |
Ok, aber wie?
Ich meine, wenn ich rechne, wie du gesagt hast, dann bekomme ich eine unendliche Summe eines Integrals...
<f, T*(g)> = [mm] \summe_{k=1} [/mm] f^(k)(0) . ( [mm] \integral_{0}^{x}{f(t) dt} [/mm] )^(k)(0)
... un jetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:49 Mo 03.05.2010 | | Autor: | fred97 |
Es ist doch
V = R[x] der Vektorraum aleer reellen Polynome. Dann ist
$ [mm] \summe_{k=1}^{} [/mm] $ [mm] f^{(k)}(0).g^{(k)}(0).
[/mm]
eine endliche Summe !
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:50 Mi 05.05.2010 | | Autor: | Remo6 |
Das schon, ja.
Aber was bringt das bezüglich der ursprünglichen Aufgabe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:53 Mi 05.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Das schon, ja.
> Aber was bringt das bezüglich der ursprünglichen
> Aufgabe?
Schreibe $g = [mm] \sum_{k=0}^\infty a_k x^k$.
[/mm]
1) Was ist [mm] $g^{(k)}(0)$?
[/mm]
2) Was ist [mm] $\int_0^x [/mm] g(t) dt$?
3) Was ist [mm] $(\int_0^x [/mm] g(t) [mm] dt)^{(k)}(0)$?
[/mm]
LG Felix
PS: Warum faengt bei deinem Skalarprodukt die Summe mit $k = 1$ an und nicht mit $k = 0$? Im Falle $k = 1$ ist dies doch gar kein Skalarprodukt, da etwa fuer die konstante Funktion 1 dan gilt [mm] $\langle [/mm] 1, 1 [mm] \rangle [/mm] = 0$.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:13 Do 06.05.2010 | | Autor: | Remo6 |
> Hallo!
>
> > Das schon, ja.
> > Aber was bringt das bezüglich der ursprünglichen
> > Aufgabe?
>
> Schreibe [mm]g = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k[/mm].
Das wäre also: g= [mm] a_0x^0 [/mm] + [mm] a_1 x^1 [/mm] + ...
>
> 1) Was ist [mm]g^{(k)}(0)[/mm]?
Das ist doch 0, oder? (da x als 0 angenommen wird)
>
> 2) Was ist [mm]\int_0^x g(t) dt[/mm]?
Das ist [mm] a_0 [/mm] t + 1/2 [mm] a_1 t^2 [/mm] + 1/3 [mm] a_2 t^3 [/mm] + ...
>
> 3) Was ist [mm](\int_0^x g(t) dt)^{(k)}(0)[/mm]?
Das wäre dann doch wieder 0, oder?
>
> LG Felix
Was ich aber noch immer nicht sehe, ist, dass die zu T adjungierte Abbildung T^* aus End(V) gegeben ist durch T^* = $ [mm] \int_f [/mm] $
(siehe erster Beitrag)
Besten Dank für die Hilfe und die Erklärungen!
Lieber Gruss,
Remo
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:20 Do 06.05.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo Remo!
> > > Das schon, ja.
> > > Aber was bringt das bezüglich der ursprünglichen
> > > Aufgabe?
> >
> > Schreibe [mm]g = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k[/mm].
> Das wäre also:
> g= [mm]a_0x^0[/mm] + [mm]a_1 x^1[/mm] + ...
Ja.
> > 1) Was ist [mm]g^{(k)}(0)[/mm]?
> Das ist doch 0, oder? (da x als 0 angenommen wird)
Aehm.... Berechne doch mal die nullte, erste, zweite, dritte Ableitung von $g$ und setze 0 ein. Was passiert?
> > 2) Was ist [mm]\int_0^x g(t) dt[/mm]?
> Das ist [mm]a_0[/mm] t + 1/2 [mm]a_1 t^2[/mm]
> + 1/3 [mm]a_2 t^3[/mm] + ...
Ja. Verwende aber lieber das Summenzeichen.
> > 3) Was ist [mm](\int_0^x g(t) dt)^{(k)}(0)[/mm]?
> Das wäre dann
> doch wieder 0, oder?
Nein.
> Was ich aber noch immer nicht sehe, ist, dass die zu T
> adjungierte Abbildung T^* aus End(V) gegeben ist durch T^*
> = [mm]\int_f[/mm]
> (siehe erster Beitrag)
Das sollst du auch zeigen. Ich hab dir versucht zu sagen, was du zeigen sollst, und das in kleine Schritte aufgeteilt. Du musst auch etwas mehr Eigeninitiative zeigen :)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Do 06.05.2010 | | Autor: | Remo6 |
> Hallo Remo!
>
> > > > Das schon, ja.
> > > > Aber was bringt das bezüglich der
> ursprünglichen
> > > > Aufgabe?
> > >
> > > Schreibe [mm]g = \sum_{k=0}^\infty a_k x^k[/mm].
> > Das wäre
> also:
> > g= [mm]a_0x^0[/mm] + [mm]a_1 x^1[/mm] + ...
>
> Ja.
>
> > > 1) Was ist [mm]g^{(k)}(0)[/mm]?
Das ergibt [mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1
[/mm]
[mm] (a_0 [/mm] bei der nullten Ableitung, [mm] a_1 [/mm] bei der ersten Ableitung. Bei jeder weiteren Ableitung sind x vorhanden)
>
>
> > > 2) Was ist [mm]\int_0^x g(t) dt[/mm]?
> > Das ist [mm]a_0[/mm] t + 1/2
> [mm]a_1 t^2[/mm]
> > + 1/3 [mm]a_2 t^3[/mm] + ...
>
> Ja. Verwende aber lieber das Summenzeichen.
Ok.
>
> > > 3) Was ist [mm](\int_0^x g(t) dt)^{(k)}(0)[/mm]?
[mm] a_0 [/mm] + [mm] a_1 [/mm] + [mm] 2a_2 [/mm] + [mm] 6a_3 [/mm] + ....
>
> Das sollst du auch zeigen. Ich hab dir versucht zu sagen,
> was du zeigen sollst, und das in kleine Schritte
> aufgeteilt. Du musst auch etwas mehr Eigeninitiative zeigen
Ok - meines Erachtens sollten die Angaben oben nun stimmen.
Aber wieso T^* (f) = $ [mm] \int [/mm] f $ sein soll, seh ich noch immer nicht ganz...
Ist der Endomorphismus T eigentlich normal? Schon, oder (wenn das gelten soll..)
LG,
Remo
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