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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Di 19.04.2011 | | Autor: | aly19 |
| Aufgabe | Seien [mm] L_1= -\partial_t u-b\cdot \nabla [/mm] u und [mm] L_2=\partial_t u+\nabla\cdot [/mm] (bu). Zeiegn sie das [mm] L_1 [/mm] und [mm] L_2 [/mm] adjungiert sind, d.h. für alle [mm] \psi, \phi \in C_0^{\infty }(\Omega \times [/mm] [0,T]) gilt: [mm] =<\phi, L_2 \psi> [/mm] mit dem Skalarprodukt:
[mm] =\int_0^T \int _{\Omega } [/mm] vw dx dt. |
Ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Ich weiß das es irgendwie mit partieller INtegration gehen muss, aber irgendwie nicht so wirklich.
Also ich muss zeigen:
[mm] =\int_0^T \int _{\Omega } L_1(\phi) \psi [/mm] dx dt [mm] =\int_0^T \int _{\Omega } \phi L_2(\psi) [/mm] dx dt = [mm] <\phi, L_2 \psi>
[/mm]
Also:
[mm] \int_0^T \int _{\Omega } [/mm] ( [mm] L_1(\phi) \psi [/mm] - [mm] \phi L_2(\psi) [/mm] )dx dt=0
Nun ist ja: [mm] \int_0^T \int _{\Omega } L_1(\phi) \psi [/mm] - [mm] \phi L_2(\psi) [/mm] dx [mm] dt=\int_0^T \int _{\Omega }(-\partial_t \phi -b\cdot \nabla \phi )\psi [/mm] - [mm] \phi (\partial_t \psi +\nabla\cdot [/mm] (b [mm] \ohi)) [/mm] dx dt= [mm] \int_0^T \int _{\Omega }(-\partial_t (\phi \psi) [/mm] - [mm] \nabla [/mm] ( [mm] \phi b\psi) [/mm] )dx dt
Kann ich jetzt irgendwie mit dem Gaußschen Satz weiter machen? Ich kann ja auch noch ausnutzen, dass Randintegrale verschwinden wegen dem kompakten Träger oder? Kann mir jemand dabei helfen? Ich weiß da nicht weiter.
Vielen Dank :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 19.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Seien [mm]L_1= -\partial_t u-b\cdot \nabla u[/mm] und
> [mm]L_2=\partial_t u+\nabla\cdot (bu)[/mm]. Zeiegn sie das [mm]L_1[/mm] und
> [mm]L_2[/mm] adjungiert sind, d.h. für alle [mm]\psi, \phi \in C_0^{\infty }(\Omega \times [0,T])[/mm] gilt: [mm]=<\phi, L_2 \psi>[/mm] mit dem
> Skalarprodukt:
> [mm]=\int_0^T \int _{\Omega } vw dx dt[/mm].
> Ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Ich weiß
> das es irgendwie mit partieller INtegration gehen muss,
> aber irgendwie nicht so wirklich.
> Also ich muss zeigen:
> [mm]=\int_0^T \int _{\Omega } L_1(\phi) \psi dx dt =\int_0^T \int _{\Omega } \phi L_2(\psi)[/mm] dx dt = [mm] <\phi, L_2 \psi>[/mm]
[/mm]
> Also:
> [mm]\int_0^T \int _{\Omega } ( L_1(\phi) \psi - \phi L_2(\psi) )dx dt=0[/mm]
> Nun ist ja: [mm]\int_0^T \int _{\Omega } L_1(\phi) \psi - \phi L_2(\psi)dx dt=\int_0^T \int _{\Omega }(-\partial_t \phi -b\cdot \nabla \phi )\psi - \phi (\partial_t \psi +\nabla\cdot (b \phi)) dx dt= \int_0^T \int _{\Omega }(-\partial_t (\phi \psi) - \nabla ( \phi b\psi) )dx dt[/mm]
> Kann ich jetzt irgendwie mit dem Gaußschen Satz weiter
> machen?
Ja, denn der zweite Term im Integral rechts ist die Divergenz [mm] $\nabla (\phi b\psi)$, [/mm] und daher das innere der Integrale
[mm] \integral_{\Omega }\nabla (\phi b\psi) dx = \integral_{\partial \Omega} (\phi b\psi)*dS [/mm]
> Ich kann ja auch noch ausnutzen, dass Randintegrale
> verschwinden wegen dem kompakten Träger oder?
Wenn [mm] $\Omega$ [/mm] offen ist, ja. Ist [mm] $\Omega$ [/mm] selber kompakt, dann kann der Träger ja auch ganz [mm] $\Omega$ [/mm] sein, und das schließt den Rand ein.
Für den ersten Term vertauschst du die beiden Integrale und bekommst [mm] $\integral_\Omega (-\phi(x,T)\psi(x,T)+\phi(x,0)\psi(x,0)) [/mm] dx $, und da ist mir nicht unmittelbar klar, warum das verschwindet.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 19.04.2011 | | Autor: | aly19 |
Danke für die Antwort schonmal.
Müsste das Integral über t da nicht auch verschwinden wegen dem kompakten Träger oder kann man das so einfach gar nicht sagen? Ich kenn mich das nicht aus, weiß noch jemand bescheid?
viele grüße
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:09 Mi 20.04.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke für die Antwort schonmal.
> Müsste das Integral über t da nicht auch verschwinden
> wegen dem kompakten Träger oder kann man das so einfach
> gar nicht sagen?
Nicht so allgemein. $[0,T]$ ist selber ein kompaktes Intervall, deswegen müssen die Funktionen am Rand dieses Intervalls nicht 0 sein. Etwas anderes wäre es, wenn die Grenzen des Integrals über t außerhalb dieses Intervalls liegen.
Ich seh's im Moment nicht.
Viele Grüße
Rainer
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