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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Adjunktensatz
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Adjunktensatz: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:56 So 25.11.2007
Autor: schlumpfinchen123

Aufgabe
Sei A = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} \in M_3_3(\IZ/6\IZ). [/mm]
Berechnen Sie die Adjunkte von A und, falls dies möglich ist,[mm] A^{-1}[/mm].

Hallo,

habe mal eine Frage zu der Aufgabe. Haben die Aufgabe in einem Seminar gerechnet.  Ich weiß auch wie man die Adjunkte berechnet. Diese lautet jedenfalls:

[mm] A^{Ad} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 5 & 4 & 2 \\ 4 & 3 & 1 \end{pmatrix} [/mm]

Jetzt habe ich eine Frage zur Berechnung des inversen von A. Die
Formel, die wir zur Berechnung der Inversen herangezogen haben und die aus dem Adjunktensatz gefolgert werden kann lautet:

[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{A^{Ad}}{(det A)} [/mm]

Wir haben dann die Determinante von A berechnet, die gleich 5 ist und haben dann die Adjunkte mit  5 multipliziert. Das ergab dann die zu A inverse Matrix [mm] A^{-1}. [/mm]
Jetzt meine Frage: Ich verstehe nicht, warum man die Adjunkte mit 5 (also mit der Determinante)multipliziert. Müßte man laut der Formel nicht eher durch 5 teilen?

vielen dank schon mal und viele grüße!

        
Bezug
Adjunktensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:06 Mo 26.11.2007
Autor: steffenhst

Hallo Schlumpfinchen,
wenn in eurem Seminar die Matrix auch in Z/6Z war, dann ist es OK, denn 5*5 = 25 = 1 in Z/6Z, d.h. 5 ist zu sich selbst invers. Es kommt also auf den Ring an.
Hilft das?
Grüße, Steffen

Bezug
                
Bezug
Adjunktensatz: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:49 Di 27.11.2007
Autor: schlumpfinchen123

hallo,

danke für deine Antwort. Ich gaube ich habe das jetzt so einigermaßen verstanden, warum man mit 5 multiplizieren kann, bzw. warum 5 zu sich selbst invers ist in Z/6Z.
Mir ist allerdings immer noch nicht ganz klar, warum man laut der Formel die Adjunkte nicht einfach durch 5 teilen kann. Denn die Determinante der Matrix ist ja auch gleich 5. Ich sehe zwar, dass dann etwas anderes herauskommt, als wenn man mit 5 multipliziert. Aber laut der Formel müßte das doch eigentlich auch richtig sein, oder?!
Ich denke, dass ich irgendetwas noch nicht richtig verstanden habe?!

Gruß aus Bremen.

Bezug
                        
Bezug
Adjunktensatz: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:28 Mi 28.11.2007
Autor: steffenhst

Hallo Schlumpfinchen,
ich glaube, dass du es verstanden hast, bloß mit den Ringen noch nicht ganz klarkommst. Aus dem Adjunktensatz folgt doch:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] \bruch{1}{det(A)}*A_{Ad} [/mm] = [mm] (det(A))^{-1}*A_{Ad}. [/mm]

für deinen Fall:
[mm] A^{-1} [/mm] = [mm] (det(A))^{-1}*A_{Ad} [/mm] = [mm] (5)^{-1}*A_{Ad}. [/mm]
Nun bist du in Z/6Z, d.h. [mm] (5)^{-1} [/mm] = 5 und deshalb die Multiplikation mit 5.

wärst du in [mm] \IR, [/mm] dann müsstest du die Adjunkte mit [mm] \bruch{1}{5} [/mm] multiplizieren bzw. durch 5 teilen, denn in [mm] \IR [/mm] ist das inverse Element zu 5 ja [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (denn 5 * [mm] \bruch{1}{5} [/mm] = 1). Hier kommt also was unterschiedliches raus.

Grüße, Steffen

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