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Guten Tag
Wir haben am Ende einer Vorlesung noch einige Ausblicke behandelt, unter anderem eine ganz kurze Einführung in Brownsche Bewegung. Dazu habe ich eine Frage in einem Beweis. Sei [mm] $W=(W_t)$ [/mm] eine Brownsche Bewegung und dann betrachtet man den Vektor
[mm](W_{t_1},\dots,W_{t_n})[/mm]
Nun wird behauptet, dass dieser Vektor eine affine Transformation des Vektors
[mm](W_{t_1}-W_0,\dots,W_{t_n}-W_{t_{n-1}})[/mm]
ist. Dabei sei wichtig, dass [mm] $W_0=0$. [/mm]
Wieso gilt dies und wieso ist [mm] $W_0=0$ [/mm] wichtig?
Eine affine Transformation [mm] $\phi [/mm] = Ax+t$ wobei $A$ eine Matrix ist und $t$ ein Verschiebungsvektor. D.h.
[mm]\phi((W_{t_1}-W_0,\dots,W_{t_n}-W_{t_{n-1}}))=A(W_{t_1}-W_0,\dots,W_{t_n}-W_{t_{n-1}})+t\overset{!}{=}(W_{t_1},\dots,W_{t_n})[/mm]
Wäre dann hier $A=id$, die Einheitsmatrix und [mm] $t=(-W_0,\dots,-W_{t_{n-1}})$?
[/mm]
Stimmt diese Überlegung?
Herzlichen Dank und einen schönen Tag
Marianne88
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Hiho,
> Eine affine Transformation [mm]\phi = Ax+t[/mm] wobei [mm]A[/mm] eine Matrix
> ist und [mm]t[/mm] ein Verschiebungsvektor. D.h.
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> [mm]\phi((W_{t_1}-W_0,\dots,W_{t_n}-W_{t_{n-1}}))=A(W_{t_1}-W_0,\dots,W_{t_n}-W_{t_{n-1}})+t\overset{!}{=}(W_{t_1},\dots,W_{t_n})[/mm]
>
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> Wäre dann hier [mm]A=id[/mm], die Einheitsmatrix und
> [mm]t=(-W_0,\dots,-W_{t_{n-1}})[/mm]?
>
> Stimmt diese Überlegung?
Nein.
Es muss doch [mm] $t\in\IR^n$ [/mm] fest (!) sein. Dein t ist weder das eine, noch das andere.
Du musst also eine Funktion:
[mm] $\phi: \IR^n \to \IR^n$ [/mm] in obiger Form finden, (die generell gar nicht von [mm] W_t [/mm] abhängt!) so dass sich $ [mm] \phi((W_{t_1}-W_0,\dots,W_{t_n}-W_{t_{n-1}}))= (W_{t_1},\dots,W_{t_n}) [/mm] $ beim einsetzen ergibt.
Offensichtlich liefert die Matrix $A [mm] \in \IR^{n\times n}$ [/mm] mit
$A= [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0\\ -1 & 1 & 0 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 & 0 & \ldots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ldots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ldots & -1 & 1 }$
[/mm]
schonmal
[mm] $A*\vektor{W_{t_1} \\ W_{t_2} \\ \vdots \\ W_{t_n}} [/mm] = [mm] \vektor{W_{t_1} \\ W_{t_2} - W_{t_1} \\ \vdots \\ W_{t_n} - W_{t_{n-1}}}$
[/mm]
d.h. es gibt sogar eine lineare Abbildung, die das liefert.
Mit einem festen Vektor der Form: $t = [mm] \vektor{ -c \\ 0 \\ \vdots \\ 0}, c\ge [/mm] 0$
erhält man nun:
[mm] $\phi\left(\vektor{W_{t_1} \\ W_{t_2} \\ \vdots \\ W_{t_n}}\right) [/mm] = [mm] \vektor{W_{t_1} - c \\ W_{t_2} - W_{t_1} \\ \vdots \\ W_{t_n} - W_{t_{n-1}}}$
[/mm]
Du erkennst also, dass für beliebige [mm] $W_0= [/mm] const$ solche affine Abbildungen existieren.
Dass [mm] $W_0 [/mm] = 0$ folgt aber sofort daraus, dass $ [mm] W=(W_t) [/mm] $ eine Brownsche Bewegung ist.
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:00 Mi 29.02.2012 | | Autor: | marianne88 |
Guten Tag Gono
Herzlichen Dank für deine Ausführungen und Hilfe :)
Liebe Grüsse
Marianne88
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