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Affine Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:44 Fr 17.07.2009
Autor: FrediB

Aufgabe
Folgende Aussage ist gegeben:

f: X --> X  affine Abbildung und G C X eine Gerade, so ist auch f(G) eine Gerade.



Hi.

Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.matheplanet.com/

Warum ist diese Aussage falsch?

Ist es vllt. so, dass f(G) auch nur ein Punkt sein könnte oder die leere Menge, so dass f(G) nicht zwangsweise wieder eine Gerade sein muss?

Wär die Aussage richtig, wenn f bijektiv wäre? Warum?

Ich habe diese Frage auch in Matroids Matheplanet gestellt.
http://www.matheplanet.com/

Vielen Dank.



        
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Affine Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:01 Fr 17.07.2009
Autor: fred97

Es ex. [mm] x_0 \in [/mm] X und eine lineare Abbildung g: X [mm] \to [/mm] X mit

                 $f(x) = [mm] x_0+g(x)$ [/mm]

Die Gerade G sei gegeben durch G = { [mm] z_0+tu [/mm] : t [mm] \in \IR [/mm] }    [mm] (z_0, [/mm] u [mm] \in [/mm] X).

Mit [mm] $y_0:= x_0+g(z_0), [/mm] v :=g(u)$ erhält man:

                f(G) = { [mm] y_0+tv [/mm] : t [mm] \in \IR [/mm] }.

Ist also g die Nullabb. , so ist f(G) eine einpunktige Menge, anderenfalls ist f(G) eine Gerade.


Edit: der letzte Satz ist nicht richtig. Besser:
Ist g(u) = 0, so ist f(G) eine einpunktige Menge, anderenfalls ist f(G) eine Gerade.

FRED

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Affine Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:17 Fr 17.07.2009
Autor: FrediB

Sorry, aber versteh eigentlich überhaupt nicht, was Du mir damit sagen möchtest.

Bitte vllt. um andere Antworten.

Danke.

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Affine Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:26 Fr 17.07.2009
Autor: fred97


> Sorry, aber versteh eigentlich überhaupt nicht, was Du mir
> damit sagen möchtest.

Was versteht man unter einer affinen Abb. ?

Was versteht man unter einer Geraden ?

FRED



>  
> Bitte vllt. um andere Antworten.
>  
> Danke.


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Affine Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Fr 17.07.2009
Autor: FrediB

f: X --> Y  heißt aff. Abb. genau dann, wenn

es eine lineare Abb. F: T(X) --> T(Y) derart gibt, dass für alle Pkt.e p,q E X gilt:

f(q) - f(p) = F(q) - F(p).

Eine Gerade ist ein affiner Unterraum, der aus einem Auhängepunkt und einem UVR besteht.

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Affine Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:37 Fr 17.07.2009
Autor: angela.h.b.


> f: X --> Y  heißt aff. Abb. genau dann, wenn
>  
> es eine lineare Abb. F: T(X) --> T(Y) derart gibt, dass
> für alle Pkt.e p,q E X gilt:
>  
> f(q) - f(p) = F(q) - F(p).

Hallo,

[willkommenmr]

und: aha.

Das ist doch dem, was Fred Dir erzählt hat gar icht so unähnlich.

Wenn ich jetzt ein festes [mm] p_0 [/mm] aus X nheme, dann gilt für jedes [mm] x\in [/mm] X

f(x)= F(x)- [mm] F(p_0)+f(p_0), [/mm]

und wenn wir nun Dein F(x) umtaufen in  g(x)  , und Dein   - [mm] F(p_0)+f(p_0) [/mm] umbenennen in [mm] x_0, [/mm] sind wir verflixt  nah an dem, was Fred schrieb.

Ich könnte mir übrigens auch gut vorstellen, daß in der VL bereits dran war, daß man eine affine Abildung als Summe einer linearen Abb. und einer Translation schreiben kann.

> Eine Gerade ist ein affiner Unterraum, der aus einem
> Auhängepunkt und einem UVR besteht.

Da ist nicht die ganze Wahrheit, der Unterraum muß nämlich die Dimension 1 haben, dh.   eine Gerade ist sowas : p+<r>.  (Die spitzen Klammern stehen für lineare Hülle)

Somit hat jeder Punkt der Geraden die Gestalt [mm] x=p+\lambda [/mm] r.


Nun wendet man darauf die Abbildung an (mach mal!) und guckt nach, ob die Punkte, die man erhält alle auf einer Geraden liegen, ob man also [mm] f(p+\lambda r)\in [/mm] p' + <r'>  bekommt für passende p', r'.

Falls nicht alles klar ist, stell Deine Rückfragen bitte sehr konkret.

Zeig wie weit Du gekommen bist und formuliere genau, was Du nicht verstehst.

Gruß v. Angela


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Affine Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:35 Fr 17.07.2009
Autor: FrediB

Hi Angela.

Erst einmal Danke für Deine Hilfe.

Der erste Teil ist mir ja noch einsichtig was Du schreibst.

Aber ab dem "mach mal" muss ich echt passen. Ich blicks einfach nicht was ich da machen soll!!! Sorry. Es ist nicht so das ich nicht will, aber ich hab einfach keinen Peil.

Du hast mir geschrieben, dass wir eine Gerade $ [mm] x=p+\lambda [/mm] $ r haben.
Soo, wenn ich jetzt davon das Bild f(x) mache, was soll ich da denn tun? Und wieso liegen dann wieder alle Pkte. auf einer Geraden?

Würde mich freuen, wenn Du mir nochmal helfen würdest.

Danke.

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Bezug
Affine Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:07 Fr 17.07.2009
Autor: angela.h.b.


> Hi Angela.
>  
> Erst einmal Danke für Deine Hilfe.
>
> Der erste Teil ist mir ja noch einsichtig was Du
> schreibst.
>  
> Aber ab dem "mach mal" muss ich echt passen. Ich blicks
> einfach nicht was ich da machen soll!!! Sorry. Es ist nicht
> so das ich nicht will, aber ich hab einfach keinen Peil.
>  
> Du hast mir geschrieben, dass wir eine Gerade [mm]x=p+\lambda[/mm] r
> haben.

Moment! So sehen die Punkte aus, die auf der Geraden liegen.

>  Soo, wenn ich jetzt davon das Bild f(x) mache, was soll
> ich da denn tun?

Du guckst jetzt, wie die Punkte gemacht sind, auf die die Punkte der Geraden abgebildet werden.

[mm] f(x)=f(p+\lambda [/mm] r ) =...

Zur Erinnerung: wir hatten [mm] f(x)=F(x)+x_0, [/mm] wobei F eine lineare Abbildung ist.

Du setzt nun oben statt x erstmal [mm] p+\lambda [/mm] r ein, und dann nutze die Linearität von F.

> Und wieso liegen dann wieder alle Pkte.
> auf einer Geraden?

Wenn f(x) dasteht, zupfen wir's ein bißchen zurecht, und dann sieht man's.
Erstmal brauchn wir f(x).

Gruß v. Angela

>  
> Würde mich freuen, wenn Du mir nochmal helfen würdest.
>  
> Danke.


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Affine Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:29 Fr 17.07.2009
Autor: FrediB

f (x) = f (p+ [mm] \lambda [/mm] r) = F (p) + [mm] \lambda [/mm] F (r) + [mm] x_{0} [/mm]

Kann ich jetzt F(p) und  [mm] x_{0} [/mm] zusammenfassen zu einem Aufhängepunkt und [mm] \lambda [/mm] F (r) als Richtungsvektor benutzen, sodass ich dann eine Gerade habe?

Ok. Aber warum gilt dies dann nur, wenn f bijektiv ist?

Und: Heißt, dass wenn f bijektiv ist, dass auch F bijektiv ist?

Bezug
                                                                        
Bezug
Affine Abbildungen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:00 Fr 17.07.2009
Autor: angela.h.b.


> f (x) = f (p+ [mm]\lambda[/mm] r) = F (p) + [mm]\lambda[/mm] F (r) + [mm]x_{0}[/mm]
>  
> Kann ich jetzt F(p) und  [mm]x_{0}[/mm] zusammenfassen zu einem
> Aufhängepunkt

Ja, genau.

und [mm]\lambda[/mm] F (r) als Richtungsvektor

> benutzen,

Ja, F(r) ist der Richtungsvektor.

>  sodass ich dann eine Gerade habe?

Genau.


> Ok. Aber warum gilt dies dann nur, wenn f bijektiv ist?

Das stimmt auch, wenn f bloß injektiv ist.

Es kommt darauf an, daß sichergestellt ist, daß nicht die gerade bloß auf einen Punkt abgebildet wird.

>  
> Und: Heißt, dass wenn f bijektiv ist, dass auch F bijektiv
> ist?

Ja.

Gruß v. Angela


Bezug
                                                                                
Bezug
Affine Abbildungen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:47 Fr 17.07.2009
Autor: FrediB

Was wäre jetzt, wenn f nicht bijektiv wäre?

Was würde sich dann an folgender Gleichung ändern bzw. was würde dazu führen, dass es keine Gerade mehr wäre?

f (x) = f (p+ $ [mm] \lambda [/mm] $ r) = F (p) + $ [mm] \lambda [/mm] $ F (r) + $ [mm] x_{0} [/mm] $

Danke.



Bezug
                                                                                        
Bezug
Affine Abbildungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:30 Fr 17.07.2009
Autor: angela.h.b.


> Was wäre jetzt, wenn f nicht bijektiv wäre?
>  
> Was würde sich dann an folgender Gleichung ändern bzw.
> was würde dazu führen, dass es keine Gerade mehr wäre?
>  
> f (x) = f (p+ [mm]\lambda[/mm] r) = F (p) + [mm]\lambda[/mm] F (r) + [mm]x_{0}[/mm]

Hallo,

wenn F(r)=0 wäre, ware es keine Gerade mehr.

Gruß v. Angela

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