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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:10 Fr 07.06.2013 | | Autor: | DrRiese |
| Aufgabe | a) Beweisen Sie: Sei V [mm] \subset \IR^{n} [/mm] ein affiner Unterraum der Dimension m und f: [mm] \IR^{n} \to \IR^{n} [/mm] eine Affinität, dann ist auch f(V) ein affiner Unterraum der Dimension m.
b) Wir betrachten die Menge [mm] \mathcal{U} [/mm] aller affinen Unterräume des [mm] \IR^{n} [/mm] und die Gruppe G aller Affinitäten auf [mm] \IR^{n}. [/mm] Wie viele Bahnen gibt es in [mm] \mathcal{U} [/mm] bezüglich der Wirkung von G? Beweisen Sie Ihre Behautpung. |
Hallo Zusammen 
Habe mal was zusammengestellt, weiss aber nicht, ob das so richtig ist:
a)
V habe die Dimension m. Dann gilt: Da f eine Affinität ist, folgt Bijektivität. Somit ist die Dimension von f(V) = dim V = m.
b)
Ja, da steh ich ein bisschen auf dem Schlauch. Mein Bauchgefühl würde mir jetzt "unendlich viele" sagen, könnte dies aber nicht beweisen...
LG,
DrRiese
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:47 Fr 07.06.2013 | | Autor: | hippias |
> a) Beweisen Sie: Sei V [mm]\subset \IR^{n}[/mm] ein affiner
> Unterraum der Dimension m und f: [mm]\IR^{n} \to \IR^{n}[/mm] eine
> Affinität, dann ist auch f(V) ein affiner Unterraum der
> Dimension m.
>
> b) Wir betrachten die Menge [mm]\mathcal{U}[/mm] aller affinen
> Unterräume des [mm]\IR^{n}[/mm] und die Gruppe G aller Affinitäten
> auf [mm]\IR^{n}.[/mm] Wie viele Bahnen gibt es in [mm]\mathcal{U}[/mm]
> bezüglich der Wirkung von G? Beweisen Sie Ihre
> Behautpung.
>
> Hallo Zusammen
> Habe mal was zusammengestellt, weiss aber nicht, ob das so
> richtig ist:
>
> a)
> V habe die Dimension m. Dann gilt: Da f eine Affinität
> ist, folgt Bijektivität. Somit ist die Dimension von f(V)
> = dim V = m.
Moechtest Du damit sagen, dass $f(V)$ ein affiner Unterraum fuer alle Bijektionen ist?! Also: $f(V)$ ist eine Teilmenge des [mm] $\IR^{n}$. [/mm] Weise die Eigenschaften fuer $f(V)$ nach, die ein affiner Unterraum erfuellen muss.
>
> b)
> Ja, da steh ich ein bisschen auf dem Schlauch. Mein
> Bauchgefühl würde mir jetzt "unendlich viele" sagen,
> könnte dies aber nicht beweisen...
Hier taeuscht Dich Dein Bauchgefuehl. Du hast ja schon eine Invariante der Wirkung kennengelernt: die Dimension. Vielleicht gilt ja auch die Umkehrung: Sind $U, V$ affine Unterraeume gleicher Dimension, dann gibt es eine Affinitaet $f$ mit $f(U)= V$. Was wuerde das ueber die Bahnen sagen?
>
> LG,
> DrRiese
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:31 Sa 08.06.2013 | | Autor: | DrRiese |
Danke für deine Antwort
Ok, habe versucht, mit den Gleichungen ein bisschen rumzuspielen, komme dann aber mit der Dimensionsfrage nicht so richtig weiter...
a) Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner Unterraum, wenn es einen Vektor v [mm] \in [/mm] V und einen Untervektorraum [mm] U_{A} [/mm] von V gibt, so dass
A = [mm] v+U_{A}=\{v+u|u \in U_{A}\}.
[/mm]
V affiner Unterraum [mm] \Rightarrow V=a+U_{B}=\{v+u|u \in U_{B}\}.
[/mm]
f Affinität [mm] \Rightarrow [/mm] f(v)=F(v)+w, [mm] \forall [/mm] v [mm] \in \IR^{n}, [/mm] F(v) linear.
dim V = m
f(V) = F(V)+w = [mm] F(a+U_{B})+w [/mm] = [mm] F(a)+F(U_{B})+w=F(a)+w+\underbrace{ F(U_{B})}_{Untervektorraum}
[/mm]
Also affiner Unterraum. Nur wie könnte man jetzt mit der Dimension argumentieren?
Joa, steht irgendwie so ein bisschen auf wackligen Beinen finde ich :-D
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:55 Sa 08.06.2013 | | Autor: | hippias |
> Danke für deine Antwort
> Ok, habe versucht, mit den Gleichungen ein bisschen
> rumzuspielen, komme dann aber mit der Dimensionsfrage
> nicht so richtig weiter...
>
> a) Eine Teilmenge A eines Vektorraums V heißt affiner
> Unterraum, wenn es einen Vektor v [mm]\in[/mm] V und einen
> Untervektorraum [mm]U_{A}[/mm] von V gibt, so dass
> A = [mm]v+U_{A}=\{v+u|u \in U_{A}\}.[/mm]
>
> V affiner Unterraum [mm]\Rightarrow V=a+U_{B}=\{v+u|u \in U_{B}\}.[/mm]
>
> f Affinität [mm]\Rightarrow[/mm] f(v)=F(v)+w, [mm]\forall[/mm] v [mm]\in \IR^{n},[/mm]
> F(v) linear.
> dim V = m
> f(V) = F(V)+w = [mm]F(a+U_{B})+w[/mm] =
> [mm]F(a)+F(U_{B})+w=F(a)+w+\underbrace{ F(U_{B})}_{Untervektorraum}[/mm]
>
> Also affiner Unterraum. Nur wie könnte man jetzt mit der
> Dimension argumentieren?
> Joa, steht irgendwie so ein bisschen auf wackligen Beinen
> finde ich :-D
Finde ich ganz und gar nicht! $F$ ist linear, bildet also Vektorraeume auf Vektorraeume ab. Wie ist denn die Dimension eines affinen Raumes definiert? $F$ ist ja sogar bijektiv, wie Du glaube ich schon erwaehnt hast. Da koennte man doch eine Aussage ueber die Dimension von [mm] $F(U_{B})$ [/mm] treffen...
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:26 So 09.06.2013 | | Autor: | DrRiese |
Also die Dimension von V wäre die Dimension vom Untervektorraum [mm] U_{B}. [/mm] Da f als Affinität bijektiv ist, folgt dass die Dimension von [mm] f(U_{B}) [/mm] = Dimension [mm] U_{B} [/mm] = m.
Aber zu b) hätte ich irgendwie gar keinen Anhaltspunkt... Mit der Frage: "Wieviele Äquivalenzklassen von affinen Unterräumen gibt es?" Ich konnte nirgendswo finden, wie so etwas überhaupt definiert ist. In der Vorlesung hatten wir das alles (Äquivalenzklassen, affine Unterräume,..) nicht gehabt... :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Fr 14.06.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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