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| Aufgabe | Hey,
Ich bin beim lernen für meine MAthe Klausur auf folgende Aussage gekommen und ich weis einfach nicht was gemeint ist
Zitat:
Im affinen kann ich keine Längen messen, was kann ich jedoch messen? (Mit Erklärung)
mfg |
Ich tippe mal darauf, dass es sich um den Abstand handen muss, aber das ist doch auch eine Länge oder?
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Hallo,
> Ich bin beim lernen für meine MAthe Klausur auf folgende
> Aussage gekommen und ich weis einfach nicht was gemeint
> ist
>
> Zitat:
> Im affinen kann ich keine Längen messen, was kann ich
> jedoch messen? (Mit Erklärung)
>
> mfg
> Ich tippe mal darauf, dass es sich um den Abstand handen
> muss
Ja.
aber das ist doch auch eine Länge oder?
Ja, die Länge des Verbindungsvektors. Das ist etwas anderes.
Der Ausgangspunkt ist, dass Skalarprodukte und Normen zunächst nur für Vektorräume definiert werden können.
Ein Affiner Raum in z.B. [mm] $\IR^{n}$ [/mm] jedoch ist ein Raum der Form $W := a + V$ mit $V [mm] \subset \IR^{n}$ [/mm] ein Untervektorraum und $a [mm] \in \IR^{n}$.
[/mm]
(Zum Beispiel eine Ebene mit Stützvektor $a$, ganz konkret $W [mm] =\left\{ \begin{pmatrix}100 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} + \lambda\cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1\\ 0\end{pmatrix} + \mu\cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}: \mu, \lambda \in \IR\right\}$).
[/mm]
Man kann also auf dem affinen Raum evtl. gar keine Norm und somit keine Länge definieren, weil es kein Vektorraum ist.
---
Dahingegen ist für zwei Punkte $p,q [mm] \in [/mm] W$: $p = a + [mm] v_1, [/mm] q = a + [mm] v_2$ [/mm] der Differenzvektor gegeben durch
$p - q = [mm] v_1 [/mm] - [mm] v_2 \in [/mm] V$,
das heißt, der Differenzvektor ist ein Element eines Vektorraums. Auf dem Vektorraum $V$ kann man (evtl.) eine Norm und ein Skalarprodukt definieren, und deswegen kann man zumindest dort die Länge des Differenzvektors (d.h. den Abstand von p und q) bestimmen.
Viele Grüße,
Stefan
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