Aleph-Null als Grenzwert < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo Leute,
ich habe mir mal ein paar Gedanken gemacht zum Thema, eine transfinite Kardinalzahl (genauer Aleph-Null) als Grenzwert einer Zahlenfolge aufzufassen (und bin dazu gekommen, dass dies möglich ist und interessante Implikationen hat). Was sagt ihr zu der Idee? Habt ihr davon schonmal gehört? Wenn ja, bin ich an weiterführender Literatur interessiert.
Nachtrag: Ich habe meine Gedanken in ![[]](/images/popup.gif) einem Aufsatz zusammengefasst.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:39 So 04.04.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Mr. Infinity,
es kommt nicht oft vor, dass eine Frage nach 13 Stunden hier noch so unbeantwortet herumsteht.
Vielleicht liegt es daran, dass das von Dir gewählte Beispiel allen so geläufig ist. Schon an der Schule untersucht man Folgen und Reihen, die gegen [mm] \aleph_0 [/mm] laufen, es heißt nur noch nicht so.
Insofern ist mir nicht klar, an welche interessanten Implikationen Du dabei denkst. Das könnte ja ein Licht auf Deine Frage werfen und sie damit beantwortbar machen.
Beim derzeitigen Stand würde ich Dich am ehesten auf Literatur zur Geschichte der Philosophie der Mathematik verweisen, wo Du etwas über Cantor, Bolzano, Hilbert und andere erfahren würdest, die über diese Frage nachgedacht haben. Ich bin aber nicht sicher, ob das wirklich das ist, was Du suchst.
Bitte erkläre also etwas genauer, was Dir eigentlich vorschwebt.
Mit freundlichem Gruß,
reverend
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> Hallo Mr. Infinity,
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> es kommt nicht oft vor, dass eine Frage nach 13 Stunden
> hier noch so unbeantwortet herumsteht.
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> Vielleicht liegt es daran, dass das von Dir gewählte
> Beispiel allen so geläufig ist. Schon an der Schule
> untersucht man Folgen und Reihen, die gegen [mm]\aleph_0[/mm]
> laufen, es heißt nur noch nicht so.
Nun ja, ganz weit hergeholt ist es sicherlich nicht. Aber in der Wikipedia habe ich andererseits nichts dazu gefunden. Dort werden lediglich die erweiterten reellen Zahlen vorgestellt, aber nicht die reellen Zahlen mit [mm]\aleph_0[/mm].
> Insofern ist mir nicht klar, an welche interessanten
> Implikationen Du dabei denkst. Das könnte ja ein Licht auf
> Deine Frage werfen und sie damit beantwortbar machen.
Es hätte zum Beispiel Folgen für die Grenzwertsätze. Außerdem wäre dann z.B. die Exponentialfunktion (zur Basis 2) unstetig - im Unendlichen - , was man vielleicht auch nicht unbedingt erwartet hätte.
> Beim derzeitigen Stand würde ich Dich am ehesten auf
> Literatur zur Geschichte der Philosophie der Mathematik
> verweisen, wo Du etwas über Cantor, Bolzano, Hilbert und
> andere erfahren würdest, die über diese Frage nachgedacht
> haben. Ich bin aber nicht sicher, ob das wirklich das ist,
> was Du suchst.
Ja, es ist genau das, was ich suche. Welche Internetseite oder welches Buch könntest du mir empfehlen?
> Bitte erkläre also etwas genauer, was Dir eigentlich
> vorschwebt.
>
> Mit freundlichem Gruß,
> reverend
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Wenn ich z.B. bei Google nach "unstetig", "exponentialfunktion" suche, bekomme ich keine entsprechenden Ergebnisse.
Literatur, in der dies vorkommt, oder z.B. Ausdrücke wie [mm] \limes_{n\rightarrow\ \aleph_0} [/mm] n = [mm] \aleph_0 [/mm] und [mm] \limes_{n\rightarrow\ \aleph_0} 2^{n} \not= 2^{\aleph_0} [/mm] würden mich schon interessieren.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 So 04.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Wenn ich z.B. bei Google nach "unstetig",
> "exponentialfunktion" suche, bekomme ich keine
> entsprechenden Ergebnisse.
Wundert mich jetzt nicht sonderlich. Wieso sollte es?
> Literatur, in der dies vorkommt, oder z.B. Ausdrücke wie
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ \aleph_0}[/mm] n = [mm]\aleph_0[/mm] und
> [mm]\limes_{n\rightarrow\ \aleph_0} 2^{n} \not= 2^{\aleph_0}[/mm]
> würden mich schon interessieren.
Die Expontential-Funktion ist stetig in der komplexen Zahlenkugel. Verwechselst du hier die Kardinalzahl [m]\aleph_0[/m] mit "Unendlich", also [m]\pm\infty,\infty[/m], wie man sie zu [m]\IR,\IC[/m] hinzufügt? Oder ist das [m]2^l[/m] jetzt die Potenzmengenbildung? Dann wäre die Limesordinalzahl der Potenzmengen der natürlichen Zahlen ungleich der Potenzmenege der natürliche Zahlen, ja.
SEcki
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Danke für deine Ausführungen. Scheinbar wird klar zwischen den Kardinalzahlen der Mengenlehre und Grenzwertprozessen gegen unendlich in der Analysis unterschieden.
Ich habe dazu mal ein paar Dinge in einem Artikel niedergeschrieben, den ich ins Netz stelle. Ich werde dann den Link dazu in nächster Zeit in diesem Diskussionsthema präsentieren.
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> > Literatur, in der dies vorkommt, oder z.B. Ausdrücke wie
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\ \aleph_0}[/mm] n = [mm]\aleph_0[/mm] und
> > [mm]\limes_{n\rightarrow\ \aleph_0} 2^{n} \not= 2^{\aleph_0}[/mm]
> > würden mich schon interessieren.
>
> Die Expontential-Funktion ist stetig in der komplexen
> Zahlenkugel.
Hallo SEcki
Da hast du recht und es ist schon eine feine Sache mit dieser Stetigkeit. Aber es bleibt natürlich der entscheidende Nachteil der komplexen Zahlenkugel: Das Element [mm] \infty [/mm] ist sowohl größer als auch kleiner als jede reelle Zahl. Denn es ist bekanntlich [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] n = [mm] \infty [/mm] als auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] -n = [mm] \infty [/mm] in der komplexen Zahlenkugel.
Ich bin auf der Suche nach einem Konzept, das diesen Umstand vermeidet.
Gruß Mr.Infinity
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 So 04.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Da hast du recht und es ist schon eine feine Sache mit
> dieser Stetigkeit.
Aber das war natürlich Unsinn, was ich geschrieben habe - die Exponentiafunktion lässt sich nicht auf die Zahlenkugel stetig fortsetzen. Sorry, das war einfach nur dämlich. Die Fortsetzung auf [m][-\infty,\infty[/m] ist dagegen eher leicht.
> Aber es bleibt natürlich der
> entscheidende Nachteil der komplexen Zahlenkugel: Das
> Element [mm]\infty[/mm] ist sowohl größer als auch kleiner als
> jede reelle Zahl. Denn es ist bekanntlich
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] n = [mm]\infty[/mm] als auch
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}[/mm] -n = [mm]\infty[/mm] in der komplexen
> Zahlenkugel.
Ja, und? Es gibt auf [m]\IC[/m] keine mit den Körperaxiomen verträgliche Ordnung.
> Ich bin auf der Suche nach einem Konzept, das diesen
> Umstand vermeidet.
Das wird im Komplexen nie gelingen - da gibt es keine Ordnung.
SEcki
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> Die Fortsetzung auf [m][-\infty,\infty[/m] ist dagegen
> eher leicht.
Gut, widmen wir uns den erweiterten reellen Zahlen. Die Exponentialfunktion wird dort folgendermaßen erweitert: Es ist [mm] e^{\infty}=\infty. [/mm] Doch wie kommt man daruaf? Nach gängiger Konstruktion der erweiterten reellen Zahlen wird [mm] \infty [/mm] einfach mit ein paar Eigenschaften versehen, wie z.B. der eben genannten. Aber das ist eben der Nachteil, [mm] \infty [/mm] wird einfach so zurechtdefiniert, dass die Exponentialfunktion stetig ist. Doch ist das zulässig; ist das zufriedenstellend? In meinen Augen nicht.
Mr.Infinity
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:52 So 04.04.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Thomas,
und wieder: gut gesehen.
In transfiniter Betrachtung gilt natürlich [mm] e^{\aleph_0}=\aleph_1
[/mm]
Interessant ist aber, dass nur der Cantorsche Ansatz überhaupt zu einem Widerspruch führt, wenn [mm] e^{\infty}=\infty [/mm] definiert wird; ansonsten lässt sich [mm] \IR [/mm] genau so schlüssig erweitern.
Du bist also auf der richtigen Spur.
lg
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:26 Mo 05.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> und wieder: gut gesehen.
Dem widerspreche ich.
> In transfiniter Betrachtung gilt natürlich
> [mm]e^{\aleph_0}=\aleph_1[/mm]
Nein, in transfiniter Betrachtung fragt sich jeder erstmal - was zur Hölle steht denn da? [m]2^x[/m] ist die Menge aller Abbildung von x in eine zweielementige Menge, was aber gleich (gut, isomoprh) der Menge der Indikatorfunktionen, was gleich (gut, isomorph) der Potenzmenge ist. Und was ist jetzt eine Menge mit e vielen Elementen? Die hab ich noch nie gesehn - die gibt es nicht. Wie genau e aussieht in unserer Mengenlehre-Welt sei auch dahin gestellt - der uneigentliche Limes setzt viel Hochleveliger an!
> Interessant ist aber, dass nur der Cantorsche Ansatz
> überhaupt zu einem Widerspruch führt, wenn
> [mm]e^{\infty}=\infty[/mm] definiert wird;
Siehe meine andere Antwort. Alles Durcheinanderschmeißen hilft nicht.
> ansonsten lässt sich [mm]\IR[/mm]
> genau so schlüssig erweitern.
Um was und in wie fern?
> Du bist also auf der richtigen Spur.
Auf was für einer Spur?
SEcki
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> > In transfiniter Betrachtung gilt natürlich
> > [mm]e^{\aleph_0}=\aleph_1[/mm]
>
> Nein, in transfiniter Betrachtung fragt sich jeder erstmal
> - was zur Hölle steht denn da?
Habe ich in der neuen Version meines Aufsatzes definiert.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 Mi 07.04.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo nochmal,
> > > In transfiniter Betrachtung gilt natürlich
> > > [mm]e^{\aleph_0}=\aleph_1[/mm]
> >
> > Nein, in transfiniter Betrachtung fragt sich jeder erstmal
> > - was zur Hölle steht denn da?
>
> Habe ich in der neuen Version meines Aufsatzes definiert.
Ja?
Was war doch gleich [mm] 2^{\aleph_0} [/mm] ?
Und wie ist die Relation (im Sinne von Größenvergleich, Mächtigkeit oder was auch immer in dieser Richtung) von [mm] 2^{\aleph_0} [/mm] und [mm] e^{\aleph_0} [/mm] ?
Grüße
reverend
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> Hallo nochmal,
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> > > > In transfiniter Betrachtung gilt natürlich
> > > > [mm]e^{\aleph_0}=\aleph_1[/mm]
> > >
> > > Nein, in transfiniter Betrachtung fragt sich jeder erstmal
> > > - was zur Hölle steht denn da?
> >
> > Habe ich in der neuen Version meines Aufsatzes definiert.
>
> Ja?
> Was war doch gleich [mm]2^{\aleph_0}[/mm] ?
[mm] 2^{\aleph_0} [/mm] = C := [mm] \left| \mathcal{P}(\IN) \right| [/mm] = [mm] \left| \IR \right|
[/mm]
> Und wie ist die Relation (im Sinne von Größenvergleich,
> Mächtigkeit oder was auch immer in dieser Richtung) von
> [mm]2^{\aleph_0}[/mm] und [mm]e^{\aleph_0}[/mm] ?
[mm] a^{\aleph_0} [/mm] = [mm] 2^{\aleph_0 * ld(a)} [/mm] = [mm] 2^{\aleph_0} [/mm] = C für alle a [mm] \in \IR_{+}^{\*}
[/mm]
Mr.Infinity
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:00 Do 08.04.2010 | | Autor: | reverend |
Hey, langsam!
Wolltest Du echt das Kontinuumsproblem schon heute Abend lösen?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 02:20 Mo 05.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Gut, widmen wir uns den erweiterten reellen Zahlen. Die
> Exponentialfunktion wird dort folgendermaßen erweitert: Es
> ist [mm]e^{\infty}=\infty.[/mm] Doch wie kommt man daruaf? Nach
> gängiger Konstruktion der erweiterten reellen Zahlen wird
> [mm]\infty[/mm] einfach mit ein paar Eigenschaften versehen, wie
> z.B. der eben genannten.
Welcher? [m]e^{\infty}=\infty[/m]? Nein, das folgt - das definiert man so nicht. Definition von [m][-\infty,\infty][/m]: Man nehme [m]\IR[/m] und füge zwei Punkte hinzu, und erweitere die Ordnung so dass gilt [m]-\infty \le a \le \infty[/m] (wohldef. checken), und erweitere die Topologie in dem man zusaätzlich als offene Umgebungen von [m]\infty[/m] die Mengen [m]\{x|x\ge\}[/m] einfügt. Es gibt da sicherliche viele wege, und auch etwas präzisere, ich mach das gerad Pi mal Daumen aus dem Kopf (zB in dem man zu der Metrik vermittels Arcustangens übergeht, oder aber dieses Konstrukt vermittel tangens/Arctangens über eine passende Fortsetzung auf [0,1] definiert). Die Stetigkeit der E-Funktion ist dann nichts anderes als eine Fortsetzung einer stetigen Funktion auf einem Unterraum auf den ganzen Raum, der bei genauem Hinsehen eben genau mit den uneigentlichen Limiten zusammenfällt.
> Aber das ist eben der Nachteil,
> [mm]\infty[/mm] wird einfach so zurechtdefiniert, dass die
> Exponentialfunktion stetig ist.
Wenn du den uneigentlichen Limes akzeptierst, dann ist es eine natürliche Fragestellung was passiert, wenn man dieses uneigentliche Konstrukt hinzunimmt. Das ist qie die vervollständigung eines metrischen Raumes - der ist ja genau durch die Cauchfolgen definiert.
> Doch ist das zulässig; ist
> das zufriedenstellend? In meinen Augen nicht.
In meinen Augen schon - alles perfekt hier. Natürlich darf und kann man sich fragen, wie man es aus den Axiomen der Mengenlehre herleitet.
SEcki
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> > Gut, widmen wir uns den erweiterten reellen Zahlen. Die
> > Exponentialfunktion wird dort folgendermaßen erweitert: Es
> > ist [mm]e^{\infty}=\infty.[/mm] Doch wie kommt man daruaf? Nach
> > gängiger Konstruktion der erweiterten reellen Zahlen wird
> > [mm]\infty[/mm] einfach mit ein paar Eigenschaften versehen, wie
> > z.B. der eben genannten.
>
> Welcher? [m]e^{\infty}=\infty[/m]?
Ja, aber auch z.B. [mm] \infty [/mm] + [mm] \infty [/mm] = [mm] \infty [/mm] oder [mm] \infty [/mm] + x = [mm] \infty [/mm] für x [mm] \in \IR.
[/mm]
> Nein, das folgt - das definiert man so nicht.
Du hast in gewisser Hinsicht recht. Es folgt aus den Grenzwertsätzen. Aber es wird auch definiert. Wo sollen diese Eigenschaften sonst herkommen? Die Definition richtet sich halt einfach nach dem Grenzwertprozessverhalten aus.
> Definition von [m][-\infty,\infty][/m]: Man nehme
> [m]\IR[/m] und füge zwei Punkte hinzu, und erweitere die Ordnung
> so dass gilt [m]-\infty \le a \le \infty[/m] (wohldef. checken),
> und erweitere die Topologie in dem man zusaätzlich als
> offene Umgebungen von [m]\infty[/m] die Mengen [m]\{x|x\ge\}[/m]
> einfügt. Es gibt da sicherliche viele wege, und auch etwas
> präzisere, ich mach das gerad Pi mal Daumen aus dem Kopf
> (zB in dem man zu der Metrik vermittels Arcustangens
> übergeht, oder aber dieses Konstrukt vermittel
> tangens/Arctangens über eine passende Fortsetzung auf
> [0,1] definiert). Die Stetigkeit der E-Funktion ist dann
> nichts anderes als eine Fortsetzung einer stetigen Funktion
> auf einem Unterraum auf den ganzen Raum, der bei genauem
> Hinsehen eben genau mit den uneigentlichen Limiten
> zusammenfällt.
Ich erkenne schon, auf welche Definition du hinauswillst. Das Problem an der Sache ist, dass du damit nur die Ordnungsrelation für [mm] \infty [/mm] definiert hast, aber keine Addition oder Multipolitkation (oder Exponentiation). Diese müsssen nachträglich auf [mm] \infty [/mm] draufdefiniert werden, wie z.B. bei diesem Skript (Def. 6.3.7, Seite 42). Und dies erfolgt eben so, dass gewisse Funktionen per Definition im Unendlichen immer stetig sind. Und das stört mich etwas. Ich habe es lieber, wenn die Rechengesetze für Unendlich aus einem anderen Konzept, wie z.B. Mengenoperationen, hervorgehen. Dass dann gewisse Fuktionen nicht mehr stetig sind, damit muss man halt leben. Aber die Exponentialfunktion z.B. ist ja, wie du schon sagteset, ohnehin nicht stetig im Unendlichen (in der komplexen Zahlenkugel, guter Tipp!). Du sagtest, man fügt einfach 2 neue Punkte zu den reellen Zahlen hinzu. Ich frage mich halt, was das für Punkte sein sollen. Cantor hat ja das Unendliche genauer untersucht. Wenn wir also schreiben, [mm] x\rightarrow\infty, [/mm] warum sollen wir [mm] \infty [/mm] nicht etwas konkreter machen und stattdessen [mm] x\rightarrow\aleph_0 [/mm] schreiben?
> > Aber das ist eben der Nachteil,
> > [mm]\infty[/mm] wird einfach so zurechtdefiniert, dass die
> > Exponentialfunktion stetig ist.
>
> Wenn du den uneigentlichen Limes akzeptierst, dann ist es
> eine natürliche Fragestellung was passiert, wenn man
> dieses uneigentliche Konstrukt hinzunimmt. Das ist qie die
> vervollständigung eines metrischen Raumes - der ist ja
> genau durch die Cauchfolgen definiert.
Die erweiterten reellen Zahlen bilden meines Wissens keinen metrischen Raum, denn es ist schwierig, die Metrik [mm] \left| a-b \right| [/mm] auf [mm] \infty [/mm] zu erweitern.
> > Doch ist das zulässig; ist
> > das zufriedenstellend? In meinen Augen nicht.
>
> In meinen Augen schon - alles perfekt hier. Natürlich darf
> und kann man sich fragen, wie man es aus den Axiomen der
> Mengenlehre herleitet.
>
> SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mo 05.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ja, aber auch z.B. [mm]\infty[/mm] + [mm]\infty[/mm] = [mm]\infty[/mm] oder [mm]\infty[/mm] + x
> = [mm]\infty[/mm] für x [mm]\in \IR.[/mm]
Du willst also auch rechnen? Das wieder was anderes, dass man ein paar Rechenregeln der Bequemlichkeit hinzufügt. Die Frage, in weit sich Funktionen stetig auf ihre Kompaktifizierung fortsetzen lassen, tangiert dies - ist aber für die Frage an sich ohne Belang.
> > Nein, das folgt - das definiert man so nicht.
>
> Du hast in gewisser Hinsicht recht. Es folgt aus den
> Grenzwertsätzen. Aber es wird auch definiert. Wo sollen
> diese Eigenschaften sonst herkommen? Die Definition richtet
> sich halt einfach nach dem Grenzwertprozessverhalten aus.
Ja - und? Das ist doch ein natürlicher Prozess.
> Ich erkenne schon, auf welche Definition du hinauswillst.
> Das Problem an der Sache ist, dass du damit nur die
> Ordnungsrelation für [mm]\infty[/mm] definiert hast, aber keine
> Addition oder Multipolitkation (oder Exponentiation).
Die brauche ich auch nicht, um exp fortzusetzen.
> Diese
> müsssen nachträglich auf [mm]\infty[/mm] draufdefiniert werden,
> wie z.B. bei
> diesem Skript
> (Def. 6.3.7, Seite 42).
Kann man machen - habe ich nicht und brauche ich nicht für die Def. von exp.
> Und dies erfolgt eben so, dass
> gewisse Funktionen per Definition im Unendlichen immer
> stetig sind.
Das verstehe ich nicht.
> Und das stört mich etwas. Ich habe es lieber,
> wenn die Rechengesetze für Unendlich aus einem anderen
> Konzept, wie z.B. Mengenoperationen, hervorgehen.
Das tun sie "under the hook", wenn man davon ausgeht, dass alles in der Mathematik aus ZFC herleitbar ist. Wir sind aber in einem anderen, etwas höher leveligen Kontext. Auch beim Programmieren wird letztlich alles in 0en und 1en umgesetzt - hält die Menschen nicht davon ab, erfolgreich darauf aufbauende Konmzepte zu verwenden.
> Dass dann
> gewisse Fuktionen nicht mehr stetig sind, damit muss man
> halt leben. Aber die Exponentialfunktion z.B. ist ja, wie
> du schon sagteset, ohnehin nicht stetig im Unendlichen (in
> der komplexen Zahlenkugel, guter Tipp!).
Ja, hängt eben davon ab, wie man [m]\IR[/m] kompaktifiziert - wenn ich nur ein Unendlich hinzufüge, das gleich sein soll, erhalte ich eine [m]S^1[/m] und kann exp nicht mehr fortsetzen.
> Du sagtest, man
> fügt einfach 2 neue Punkte zu den reellen Zahlen hinzu.
> Ich frage mich halt, was das für Punkte sein sollen.
Punkt A und B ... diese Punkte sind durch ihre Eigenschaften hinlänglich definiert.
> Cantor hat ja das Unendliche genauer untersucht. Wenn wir
> also schreiben, [mm]x\rightarrow\infty,[/mm] warum sollen wir [mm]\infty[/mm]
> nicht etwas konkreter machen und stattdessen
> [mm]x\rightarrow\aleph_0[/mm] schreiben?
Weil es nicht konkreter ist, sondern verwirrend - weil du Sachen durcheinander schmeisst! Wie sieht denn bitte [m]\sqrt{2}[/m] aus als Menge? Wenn das ein Dedekindscher Schnitt ist, hast du eine Äquivalenzklasse von Teilmengen, die diese Zahl definieren - also ist [m]\sqrt{2}[/m] in geeigneten Modellen als Menge schon überazählbar. Für die Analysis ist das nicht sehr hilfreich ...
Und [m]\aleph_0[/m] ist eine Kardinalzahl - wie sieht die denn genau als Menge aus? Konkreter als [m]\infty[/m] hast du sie nicht beschrieben. [m]\infty[/m] ist durch seine Ordnungseigenschaften/topologische Eigenschaften hinreichend gut charaktisiert. Das hat, ich wiederhole mich, nichts mit [m]\aleph_0[/m] zu tun.
> Die erweiterten reellen Zahlen bilden meines Wissens keinen
> metrischen Raum,
Von was redest du jetzt? Für alle von mir vorgetragenden Konstrukte ist deine Aussage einfach falsch.
> denn es ist schwierig, die Metrik [mm]\left| a-b \right|[/mm]
> auf [mm]\infty[/mm] zu erweitern.
Das macht keine Aussage über die Metrisierbarkeit. Hier fragtrs du eher, ob man den Zahlbereich erweitern kann - nicht die MEtrik geht schief, sondern das -.
SEcki
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> > Ja, aber auch z.B. [mm]\infty[/mm] + [mm]\infty[/mm] = [mm]\infty[/mm] oder [mm]\infty[/mm] + x
> > = [mm]\infty[/mm] für x [mm]\in \IR.[/mm]
>
> Du willst also auch rechnen? Das wieder was anderes, dass
> man ein paar Rechenregeln der Bequemlichkeit hinzufügt.
> Die Frage, in weit sich Funktionen stetig auf ihre
> Kompaktifizierung fortsetzen lassen, tangiert dies - ist
> aber für die Frage an sich ohne Belang.
>
> > > Nein, das folgt - das definiert man so nicht.
> >
> > Du hast in gewisser Hinsicht recht. Es folgt aus den
> > Grenzwertsätzen. Aber es wird auch definiert. Wo sollen
> > diese Eigenschaften sonst herkommen? Die Definition richtet
> > sich halt einfach nach dem Grenzwertprozessverhalten aus.
>
> Ja - und? Das ist doch ein natürlicher Prozess.
>
> > Ich erkenne schon, auf welche Definition du hinauswillst.
> > Das Problem an der Sache ist, dass du damit nur die
> > Ordnungsrelation für [mm]\infty[/mm] definiert hast, aber keine
> > Addition oder Multipolitkation (oder Exponentiation).
>
> Die brauche ich auch nicht, um exp fortzusetzen.
Ohne die Exponentiation für [mm] \infty [/mm] kannst du die Exponentialfunktion nicht auf [mm] \infty [/mm] erweitern. Das ist doch logisch, oder?
> > Diese
> > müsssen nachträglich auf [mm]\infty[/mm] draufdefiniert werden,
> > wie z.B. bei
> >
> diesem Skript
> > (Def. 6.3.7, Seite 42).
>
> Kann man machen - habe ich nicht und brauche ich nicht für
> die Def. von exp.
>
> > Und dies erfolgt eben so, dass
> > gewisse Funktionen per Definition im Unendlichen immer
> > stetig sind.
>
> Das verstehe ich nicht.
>
> > Und das stört mich etwas. Ich habe es lieber,
> > wenn die Rechengesetze für Unendlich aus einem anderen
> > Konzept, wie z.B. Mengenoperationen, hervorgehen.
>
> Das tun sie "under the hook", wenn man davon ausgeht, dass
> alles in der Mathematik aus ZFC herleitbar ist. Wir sind
> aber in einem anderen, etwas höher leveligen Kontext. Auch
> beim Programmieren wird letztlich alles in 0en und 1en
> umgesetzt - hält die Menschen nicht davon ab, erfolgreich
> darauf aufbauende Konmzepte zu verwenden.
>
> > Dass dann
> > gewisse Fuktionen nicht mehr stetig sind, damit muss man
> > halt leben. Aber die Exponentialfunktion z.B. ist ja, wie
> > du schon sagteset, ohnehin nicht stetig im Unendlichen (in
> > der komplexen Zahlenkugel, guter Tipp!).
>
> Ja, hängt eben davon ab, wie man [m]\IR[/m] kompaktifiziert -
> wenn ich nur ein Unendlich hinzufüge, das gleich sein
> soll, erhalte ich eine [m]S^1[/m] und kann exp nicht mehr
> fortsetzen.
>
> > Du sagtest, man
> > fügt einfach 2 neue Punkte zu den reellen Zahlen hinzu.
> > Ich frage mich halt, was das für Punkte sein sollen.
>
> Punkt A und B ... diese Punkte sind durch ihre
> Eigenschaften hinlänglich definiert.
>
> > Cantor hat ja das Unendliche genauer untersucht. Wenn wir
> > also schreiben, [mm]x\rightarrow\infty,[/mm] warum sollen wir [mm]\infty[/mm]
> > nicht etwas konkreter machen und stattdessen
> > [mm]x\rightarrow\aleph_0[/mm] schreiben?
>
> Weil es nicht konkreter ist, sondern verwirrend - weil du
> Sachen durcheinander schmeisst! Wie sieht denn bitte
> [m]\sqrt{2}[/m] aus als Menge? Wenn das ein Dedekindscher Schnitt
> ist, hast du eine Äquivalenzklasse von Teilmengen, die
> diese Zahl definieren - also ist [m]\sqrt{2}[/m] in geeigneten
> Modellen als Menge schon überazählbar. Für die Analysis
> ist das nicht sehr hilfreich ...
>
> Und [m]\aleph_0[/m] ist eine Kardinalzahl - wie sieht die denn
> genau als Menge aus? Konkreter als [m]\infty[/m] hast du sie nicht
> beschrieben. [m]\infty[/m] ist durch seine
> Ordnungseigenschaften/topologische Eigenschaften
> hinreichend gut charaktisiert. Das hat, ich wiederhole
> mich, nichts mit [m]\aleph_0[/m] zu tun.
[mm] \aleph_0 [/mm] ist eine Kardinalzahl, also eine Zahl und keine Menge. Du scheinst ein starker Anhänger von Mengen zu sein. Es ist ein Ansatz, die Mathematik auf Mengen zurückzuführen. Man kann ihn gehen, muss es aber nicht. [mm] \aleph_0 [/mm] ist definiert als [mm] \left| \IN \right|. [/mm] Man erhält für diese Kardinalzahl Ordnungsrelation, Addition, Multiplikation und Exponentiation als Rechengesetze.
> > Die erweiterten reellen Zahlen bilden meines Wissens keinen
> > metrischen Raum,
>
> Von was redest du jetzt? Für alle von mir vorgetragenden
> Konstrukte ist deine Aussage einfach falsch.
>
> > denn es ist schwierig, die Metrik [mm]\left| a-b \right|[/mm]
> > auf [mm]\infty[/mm] zu erweitern.
>
> Das macht keine Aussage über die Metrisierbarkeit. Hier
> fragtrs du eher, ob man den Zahlbereich erweitern kann -
> nicht die MEtrik geht schief, sondern das -.
>
> SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:39 Mo 05.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Die brauche ich auch nicht, um exp fortzusetzen.
>
> Ohne die Exponentiation für [mm]\infty[/mm] kannst du die
> Exponentialfunktion nicht auf [mm]\infty[/mm] erweitern. Das ist
> doch logisch, oder?
Nein, es ist einfach falsch. Ich setze stetige Funktionen eines Raumes U auf einen Abschluss fort, und freue mich, wenn es geht.
> [mm]\aleph_0[/mm] ist eine Kardinalzahl, also eine Zahl und keine
> Menge.
Ah ja. Na dann macht es überhaupt keinen Sinn, diese benutzen zu wollen, wenn man "alles ist Menge" über Bord wirft. [m]\infty[/m] kann man nicht so einführen, dass alle Rechen-Regeln weitergelten. Es hat mehr was mit Grenzprozessen zu tun als mit der "Zahl" [mm]\aleph_0[/mm].
> Du scheinst ein starker Anhänger von Mengen zu
> sein. Es ist ein Ansatz, die Mathematik auf Mengen
> zurückzuführen. Man kann ihn gehen, muss es aber nicht.
Bin ich überhaupt nicht - es ist bloß der einzige Grund, warum man das, was du vorhast, überhaupt wollen möchte. Ansonsten macht es keinen Sinn bzw. ist müßig. Dann habe ich die Sachen durch ihre Eigenschaften defineirt, und das reicht dann.
> [mm]\aleph_0[/mm] ist definiert als [mm]\left| \IN \right|.[/mm] Man erhält
> für diese Kardinalzahl Ordnungsrelation, Addition,
> Multiplikation und Exponentiation als Rechengesetze.
Man definiert sie und betreibt Kardinalzahlarithmetik, die sich deutlich von der gewohnten Arithmetik unterscheidet - was ist denn [m]\aleph_0 + \aleph_0[/m]?
Du willst Kardinalzahlarithmetik auf die Analysis stülpen - wobei beide nur die Regeln für natürliche Zahlen gemin haben (da sind sie nach Isomorphismen gleich). Kann dies sein? Das du ganz naiv annimmst, die Analysis/Topologie müsste hier dieser Arithmetik folgen (was sie aber nicht tut)?
SEcki
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> Du willst Kardinalzahlarithmetik auf die Analysis stülpen
> - wobei beide nur die Regeln für natürliche Zahlen gemin
> haben (da sind sie nach Isomorphismen gleich). Kann dies
> sein? Das du ganz naiv annimmst, die Analysis/Topologie
> müsste hier dieser Arithmetik folgen (was sie aber nicht
> tut)?
Nein, ich möchte gerade auf diese Unterschiede hinweisen. Also ich erkläre meine Absicht noch einmal im großen Zusammenhang. In der Analysis/Topologie können Zahlenfolgen über jede Schranke anwachsen. Dies hat man (zu recht) mit Unendlichkeit in Zusammenhang gebracht. Nun hat Georg Cantor die Unendlichkeit genauer unterscucht und dort Abstufungen gefunden. Er hat konkret definierbare Zahlen wie [mm] \aleph_0 [/mm] eingeführt, für die er Rechenregeln entdeckt hat. Grenzwete gegen Unendlich unterliegen auch Rechenregeln, aber es ist halt eine Sache, diese auf ein nicht weiter konkret definiertes Symbol wie [mm] \infty [/mm] zu übertragen. [mm] \infty [/mm] ist definiert als etwas, was größer als alle reellen Zahlen sein soll. Das macht Unendlichkeit halt auch aus. Aber daraus allein folgen eben noch keine Rechenregeln. Für [mm] \infty [/mm] wird nur definiert, wo es liegt, nicht, was es sein soll. Für [mm] \aleph_0 [/mm] hingegen schon (naämlich := [mm] \left| \IN \right|), [/mm] und daraus resultieren eben auch Rechenregeln. Cantor hat also neue Zahlen entdeckt. Wie immer, wenn neue Zahlen entdeckt werden, versucht man, diese in die bestehenden Zahlenmengen (z.B. [mm] \IR) [/mm] einzuordnen. Dann stößt man auf die Ergebnisse, die ich in meinem Aufsatz beschrieben habe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:16 Mo 05.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Nein, ich möchte gerade auf diese Unterschiede hinweisen.
Es sind ganza andere Bereiche der Mathematik. Das sie überhaupt gleich sein könnten oder Ähnlichkeit haben hätte ich vor deinen Posts nicht vermutet - oder mir darüber Gedanken gemacht.
> Also ich erkläre meine Absicht noch einmal im großen
> Zusammenhang. In der Analysis/Topologie können
> Zahlenfolgen über jede Schranke anwachsen. Dies hat man
> (zu recht) mit Unendlichkeit in Zusammenhang gebracht.
Naja, Unbeschränktheit. Wie viele zahlen sind denn im Intervall [m][0,1][/m]? Etwas überabzählbar unendlich viele? Wir brauchen kein [m]\infty[/m] um uns diese Fragen zu stellen.
> Nun
> hat Georg Cantor die Unendlichkeit genauer unterscucht und
> dort Abstufungen gefunden. Er hat konkret definierbare
> Zahlen wie [mm]\aleph_0[/mm] eingeführt, für die er Rechenregeln
> entdeckt hat.
Was sind Zahlen für dich?
> Grenzwete gegen Unendlich unterliegen auch
> Rechenregeln, aber es ist halt eine Sache, diese auf ein
> nicht weiter konkret definiertes Symbol wie [mm]\infty[/mm] zu
> übertragen.
Dies ist im Kontext immer genau definiert, bzw. kann man genau definieren. Ich habe das in Ansätzen getan, aber nicht sehr präzise oder ausführlich, das geb ich zu. Zu behaupten, dies wäre nicht der Fall, ist einfach falsch.
> [mm]\infty[/mm] ist definiert als etwas, was größer
> als alle reellen Zahlen sein soll.
Ja, ist doch sauber. Oder wie defineirst du [m]\sqrt{2}[/m]?
> Das macht Unendlichkeit
> halt auch aus.
Für mich nicht. Endlichkeit impliziert Beschränktheit. Die Umkehrung gilt aber nicht.
> Aber daraus allein folgen eben noch keine
> Rechenregeln.
Nein. Wieso auch?
> Für [mm]\infty[/mm] wird nur definiert, wo es liegt,
> nicht, was es sein soll.
Doch, das wird gemacht. Wenn dir Mengenlehre nicht wichtig ist, dann kannst du halt die neuen Elemente mit diesen Eigenschaften hinzunehmen. Fertig.
> Für [mm]\aleph_0[/mm] hingegen schon
> (naämlich := [mm]\left| \IN \right|),[/mm]
So einfach ist's dann doch nicht - was sollen denn die Betragsstriche heissen?
> und daraus resultieren
> eben auch Rechenregeln.
Die definiert man halt.
> Cantor hat also neue Zahlen
> entdeckt. Wie immer, wenn neue Zahlen entdeckt werden,
> versucht man, diese in die bestehenden Zahlenmengen (z.B.
> [mm]\IR)[/mm] einzuordnen.
Was sind für dich Zahlen? Es gibt Ringe, Körper, Algebren in denen überall so etwas wie Zahlen gibt - jedenfalls gibt es in Körpern eine 1, in Körpern mit Charakteristik 0 sogar ein Abbild der natürlichen Zahlen. Aber niemand versucht, jeden solchen Körper nach [m]\IR[/m] zu verfrachten.
Du ordnest die Kardinalzahlarithmetik doch wieder heir in die Analysis ein! Entweder sie sind unterschiedlich, dann braucht man sich nicht wundern, dass man von dem einen Konzeot nicht auf das andere kommt, oder man vergleicht sie - obwohl man weiß, dass es nicht bringt, da sie unterschiedlich sind.
> Dann stößt man auf die Ergebnisse, die
> ich in meinem Aufsatz beschrieben habe.
Könntest du ein Ergebnis kurz zusammenfassen? Die 6 Seiten sind doch recht lang - und ich glaub du verrennst dich einfach in etwas. Jede Übertragung der Exponentialfunktion der Analysis auf dei Kardinalzahlarithmetik ignoriere ich jedenfalls - wir haben festgestellt, dass sie nicht das gleiche sind, sondern lediglich die gleiche Notation haben, da sie auf den natürlichen Zahlen koinzidieren (wobei man noch arbeiten muss und das richtige Modell der natürlichen Zahlen nehmen sollte).
EDIT: ich hab deinen Aufsatz überflogen. Ich bleibe bei meinem Standpunkt: du verwirbelst Dinge! [m]\sqrt{2}[/m] ist auch keine Kardinalzahl, und man kann wunderbar gegen sie konvergieren ... du zwingst einem Begriff einen anderen auf. Kardinalzahlen hängen unweigerlich mit der Mächtigkeit von Mengen zusammen. Die Grenzprozesse der Analysis haben nicht direkt mit der Mächtgkeit von Mengen zu tun. Aber die beharrst wohl auf deinem Standpunkt ... wir drehen uns also im Kreis.
SEcki
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> > Nein, ich möchte gerade auf diese Unterschiede hinweisen.
>
> Es sind ganza andere Bereiche der Mathematik. Das sie
> überhaupt gleich sein könnten oder Ähnlichkeit haben
> hätte ich vor deinen Posts nicht vermutet - oder mir
> darüber Gedanken gemacht.
Freut mich, dass ich neue Denkanstöße geben konnte. Ich habe meine Ideen präsentieren können und es war eine interessante Diskussion, auch wenn ich dich nicht überzeugen konnte.
Gruß Mr.Infinity
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> > Die erweiterten reellen Zahlen bilden meines Wissens keinen
> > metrischen Raum,
>
> Von was redest du jetzt? Für alle von mir vorgetragenden
> Konstrukte ist deine Aussage einfach falsch.
>
> > denn es ist schwierig, die Metrik [mm]\left| a-b \right|[/mm]
> > auf [mm]\infty[/mm] zu erweitern.
>
> Das macht keine Aussage über die Metrisierbarkeit. Hier
> fragtrs du eher, ob man den Zahlbereich erweitern kann ...
Man erweitert die reellen Zahlen zu den erweiterten reellen Zahlen. Versucht man, letztere als metrischen Raum aufzufassen, geht dies schief.
> nicht die MEtrik geht schief, sondern das -.
Wenn das Minus schiefgeht, dann geht auch die Metrik schief, denn die gängige Metrik auf [mm] \IR [/mm] enthält das Minus oder was meinst du jetzt?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:26 Mo 05.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > Das macht keine Aussage über die Metrisierbarkeit. Hier
> > fragtrs du eher, ob man den Zahlbereich erweitern kann ...
>
> Man erweitert die reellen Zahlen zu den erweiterten reellen
> Zahlen.
Was soll das sein? Das, was im Skript steht?
> Versucht man, letztere als metrischen Raum
> aufzufassen, geht dies schief.
Nur wenn du willst, das die eingeschränkte Metrik immer noch genau die selbe ist - aber das muss man nicht wollen.
> > nicht die MEtrik geht schief, sondern das -.
>
> Wenn das Minus schiefgeht, dann geht auch die Metrik
> schief,
Nur die Definition, die direkt davon induziert würde. Aber man muss das "-" ja eh mit Vorsicht genießen, denn die alten Rechenregheln gelten nicht mehr.
> denn die gängige Metrik auf [mm]\IR[/mm] enthält das Minus
> oder was meinst du jetzt?
Was heißt gängig? Ich kann meine Metrik vermittels Arctan (bzw. einer Erweiterung davon) defineiren. Ich kann nicht den Abstan, der mir durch die Rechengesetze gegeben ist, retten. Aber davon rede ich gar nicht - ich gehe zu einer topolgisch äquivalenten Metrik über.
SEcki
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> Beim derzeitigen Stand würde ich Dich am ehesten auf
> Literatur zur Geschichte der Philosophie der Mathematik
> verweisen, wo Du etwas über Cantor, Bolzano, Hilbert und
> andere erfahren würdest, die über diese Frage nachgedacht
> haben.
Klingt schon interessant. Ich hatte das Problem, dass das Thema ja mehreren mathematischen Gebieten (Mengenlehre, Analysis) zugeordnet werden kann und wusste nicht genau, wo ich nach Literatur suchen soll. Mathematische Philosophie klingt schon gut. Danke für den Tipp. Ich hatte Google bemüht und ein Buch gefunden, in dem, zumindest im Ansatz, das vorkam, wonach ich suche. Dieses Buch ist Bertrand Russells "Einführung in die mathematische Philosophie" von 1919. Dort heißt es:
"Die Kardinalzahl [mm] \aleph_0 [/mm] ist der Limes (der Größe nach) der Kardinalzahlen 1, 2, 3, ... n, ... , obwohl der numerische Unterschied zwischen [mm] \aleph_0 [/mm] und einer endlichen Kardinalzahl konstant unendlich ist: Vom quantitativen Gesichtspunkt aus streben die endlichen Zahlen nicht gegen [mm] \aleph_0. [/mm] Die Zahl [mm] \aleph_0 [/mm] ist deshalb der Limes der endlichen Zahlen, weil sie in der Zahlenfolge unmittelbar nach ihnen kommt; dies ist eine Ordnungs- und nicht eine Größenbeziehung."
Leider entwickelt er seinen Gedanken nicht weiter, aber das Buch erschien ja auch 1919. In der Zwischenzeit kann ja noch etwas passiert sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 So 04.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich habe mir mal ein paar Gedanken gemacht zum Thema, eine
> transfinite Kardinalzahl (genauer Aleph-Null) als Grenzwert
> einer Zahlenfolge aufzufassen
Als Folge der endlichen KArdinalzahlen - sicher. Als Folger natürlichen Zahlen in [m]\IR[/m] - nein.
> (und bin dazu gekommen, dass
> dies möglich ist und interessante Implikationen hat). Was
> sagt ihr zu der Idee?
Das du die Idee nicht präsentiert hast und bisher lediglich Mengenlehre und Analysis durcheinander zu werfen scheinst.
>Habt ihr davon schonmal gehört?
Nein.
SEcki
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> > ich habe mir mal ein paar Gedanken gemacht zum Thema, eine
> > transfinite Kardinalzahl (genauer Aleph-Null) als Grenzwert
> > einer Zahlenfolge aufzufassen
>
> Als Folge der endlichen KArdinalzahlen - sicher. Als Folger
> natürlichen Zahlen in [m]\IR[/m] - nein.
Soweit ich wei'ß, stimmen die endlichen Kardinalzahlen mit den natürlichen Zahlen überien.
> > (und bin dazu gekommen, dass
> > dies möglich ist und interessante Implikationen hat). Was
> > sagt ihr zu der Idee?
>
> Das du die Idee nicht präsentiert hast ...
Hab ich nachgelholt. Für den Link dazu: Siehe den ersten Artikel dieser Diskussion.
> und bisher
> lediglich Mengenlehre und Analysis durcheinander zu werfen
> scheinst.
Ich versuche eine Brücke zu schlagen zweichen zwei Gebieten der Mathematik. Cantore hat Unendlichkeit untersicht und nun finde ich, ligt es nahe, seine Konzepte konsequent anzuwenden und auf anderer Gebiete zu pbertragen. Das ist eder Grundgedanke meiner Arbeit.
> >Habt ihr davon schonmal gehört?
>
> Nein.
>
> SEcki
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:47 So 04.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> > > ich habe mir mal ein paar Gedanken gemacht zum Thema, eine
> > > transfinite Kardinalzahl (genauer Aleph-Null) als Grenzwert
> > > einer Zahlenfolge aufzufassen
> >
> > Als Folge der endlichen KArdinalzahlen - sicher. Als Folger
> > natürlichen Zahlen in [m]\IR[/m] - nein.
>
> Soweit ich wei'ß, stimmen die endlichen Kardinalzahlen mit
> den natürlichen Zahlen überien.
Nur bei Modellen, in denen für die Menge n gilt [m]|n|=n'[/m], wobei [m]n'[/m] hier n als "normale" natürliche Zahl sein soll. Also die Zahl 3 besteht genau aus 3 Elementen.
Du kommst auch mit der Begrifflichkeit [m]2^x[/m] durcheinander - in der Mengenlehre geht es hier um die Menge von Abbildungen von 2 nach x (wobei 2 hier eine 2 elemntige Menge ist), in der Analysis um die E-Funktion. Die Werte kooinzieren nach gewissen Isos auf den natürlichen Zahlen, sind aber natürlich unterschieldich für die verschiedenen Unendlichkeiten. [m]\infty[/m] ist ein einzelner Punkt. Für die Konvergenz ist zB egal ob man sich [m]\IR[/m] oder aber das homöomorphe [m](0,1)[/m] anschaut. Nimmt man [m]\pm\infty[/m] hinzu, so ist das Ergebnis homöomoprh zu [m][0,1][/m]. Und so weiter und so fort - die Zahlenkugel ist eine [m]S^2[/m].
> Ich versuche eine Brücke zu schlagen zweichen zwei
> Gebieten der Mathematik. Cantore hat Unendlichkeit
> untersicht und nun finde ich, ligt es nahe, seine Konzepte
> konsequent anzuwenden und auf anderer Gebiete zu
> pbertragen. Das ist eder Grundgedanke meiner Arbeit.
Allerdings musst du erstmal sehen, wie aus den Axiomen und den Logikregeln ein Modell der rellen Zahlen folgt bzw. man eines bauen kann. Es gibt Notationsähnlichkeiten, die suggestiv sein sollen - ob sie in dem fall helfen bezweifel ich.
SEcki
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So, ich melde mich wieder zurück mit dem Link zu meinem Aufsatz.
Dort habe ich meine Idee detailliert beschrieben. Vielleicht interessiert sich ja jemand dafür und liest es sich durch. Der Text ist allerdings etwas länger (6 Seiten). Und sagt mir mal, was ihr davon haltet.
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Hallo Thomas,
gut gebrüllt, Löwe. Das Problem der Einordnung transfiniter Unendlichkeiten ergibt sich allerdings nicht bei der Betrachtung von [mm] \IR. [/mm] Daher wird Dein Ergebnis definitionsgemäß [mm] \aleph_0 [/mm] lauten müssen, denn nichts anderes betrachtest Du. Leih Dir mal Bernard Bolzanos "Paradoxien der Unendlichkeit" (vor der [mm] \aleph_i-Kategorisierung [/mm] entstanden!), dann wird Dir wahrscheinlich schon klar, warum Du hier nicht auf einem neuen, zielführenden Weg bist.
Dabei ist die Frage an sich ausnehmend interessant. Sie war in der Geschichte der Mathematik ausnehmend produktiv, so für Cantor, Zermelo/Fraenkel, Russell/Whitehead, Hilbert, Gödel, Minkowski und andere.
Wenn Du hier Neues beitragen willst, müsstest Du einen Grenzwert formulieren, der sich ausschließlich in [mm] \IR [/mm] bewegt (also in seiner Definition [mm] \aleph_0 [/mm] umgeht!), aber dennoch [mm] >\aleph_0 [/mm] ist. Das könnte zugleich einen Lösungsweg zum Kontinuumsproblem weisen.
Niemand wird daher zur Zeit sagen können, dass das unmöglich ist, denn diese Aussage wäre bereits eine Lösung des Kontinuumsproblems. Ich zweifle aber daran, dass eine solche Lösung so einfach daherkäme, wie Du es darstellst. Das muss nicht heißen, dass sie mehr als 6 Seiten benötigte, aber vom dargelegten Gedankengut finde ich nichts hinreichend überraschend Neues.
Außer dem Original von Bolzano meine ich mich zu erinnern, dass Philip J. Davis und Reuben Hersh in "The Mathematical Experience" ganz hübsch zum Thema geschrieben haben. Ich schaue gern Ende der Woche noch mal nach; im Moment lebt die Mathematikgeschichte in Kartons auf meinem Dachboden, weil ich vor dem Aufbau neuer Regale das sie enthaltende Zimmer ein wenig renovieren will. Das sollte aber in den nächsten Tagen geschehen, so groß ist das Vorhaben nicht.
Lass Dich aber nicht entmutigen: im Nachdenken über die Unendlichkeit haben sich schon viele allzu schnell von voreiligen Einwänden abhalten lassen. Andererseits haben aber auch nur sehr wenige wirklich Neues oder gar Bahnbrechendes gefunden. Dabei ist es weder für die Mathematik noch für Dich wirklich wichtig, ob Du im Moment einen Fortschritt erzieltst. Selbst, wenn dem nicht so ist, ist viel gewonnen, wenn Du verstehst, warum Du eine Sackgasse beschritten hast. Und da bin ich nicht so sicher, wie es klingen mag.
Also: viel Erfolg!
Deine beiden Einwände beantworte ich übrigens nicht "extra" und einzeln. Dennoch haben sie m.E. keinen Bestand.
lg,
reverend
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> Außer dem Original von Bolzano meine ich mich zu erinnern,
> dass Philip J. Davis und Reuben Hersh in "The Mathematical
> Experience" ganz hübsch zum Thema geschrieben haben.
Das Buch ist auf Google-Books verfügbar. Ich hab mal eben das Kapitel "Infinity, or the Miraculous Jar of Mathematics" überflogen. Es wird ein hübscher Überblick über das Thema Unendlichkeit gegeben. Aber etwas, was meiner Arbeit entsprechen würde, habe ich nicht gefunden.
Gut, ich melde mich wahrscheinlich morgen wieder. Danke erstmal für die nützlichen Hinweise und Meinungen, reverend und SEcki. Ich wünsche eine gute Nacht.
Mr.Infinity
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> Wenn Du hier Neues beitragen willst, müsstest Du einen
> Grenzwert formulieren, der sich ausschließlich in [mm]\IR[/mm]
> bewegt (also in seiner Definition [mm]\aleph_0[/mm] umgeht!), aber
> dennoch [mm]>\aleph_0[/mm] ist.
Es scheint mir, dass das nicht geht. In meinem Aufsatz lege ich zweifelsfrei dar, dass jede Folge nur gegen [mm] \aleph_0 [/mm] konvergieren kann und gegen keine größere Kardinalzahl. Es bestand halt gerade die Frage, ob die Exponentialfunktion vielleicht gegen [mm] C=\left| \IR \right| [/mm] konvergiert, aber diese Frage muss verneint werden.
> Das könnte zugleich einen
> Lösungsweg zum Kontinuumsproblem weisen.
>
> Niemand wird daher zur Zeit sagen können, dass das
> unmöglich ist, denn diese Aussage wäre bereits eine
> Lösung des Kontinuumsproblems. Ich zweifle aber daran,
> dass eine solche Lösung so einfach daherkäme, wie Du es
> darstellst. Das muss nicht heißen, dass sie mehr als 6
> Seiten benötigte, aber vom dargelegten Gedankengut finde
> ich nichts hinreichend überraschend Neues.
Es wird vielleicht nicht jeden überrachen, aber manch einer hat doch erhebliche Vorbehalte gegen meine Ideen. Worum es also vor allem geht, ist eine schlüssige und saubere mathematische Darstellung des Gedankenguts. Und die, meine ich, erbracht zu haben.
Gruß Mr.Infinity
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 06.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> In meinem Aufsatz lege
> ich zweifelsfrei dar, dass jede Folge nur gegen [mm]\aleph_0[/mm]
> konvergieren kann und gegen keine größere Kardinalzahl.
Was du machst ist folgendes: du nimmst [m]\IR[/m], vereingst es mit einem Kardinalzahlabschnitt [m][\alpeh_o;c][/m] erweiterst doe Ordnungstopologie entsprechend und erhälst dein Ergebnis. wenn man deine Konstruktion mit [m][\alpeh_1;c][/m] machen würde, wäre der uneigentliche GW [m]\aleph_1[/m]. Das ist bloß nicht verwunderlich. Vielleicht interssiert dich aber ja die lange Gerade.
> Es bestand halt gerade die Frage, ob die
> Exponentialfunktion vielleicht gegen [mm]C=\left| \IR \right|[/mm]
> konvergiert, aber diese Frage muss verneint werden.
Da es für [m]2^x[/m] sowohl in den Kardinalzahlen, als auch in der Analysis, eine Def. gibt, benutzt du für die einen Zahlen die erstere, für die anderen die zweitere. Das dies dann nicht mehr gelten muss ist keine Überraschung (mal abgesehen von der Wohldef. von [m]2^x[/m] auf deiner Konstruktion im Kardinalzahlabschnitt)
Dass du Begriffe vermischt, sieht man daran, dass du [m]\kappa+x,x\in\IR,\kappa[/m] ist Kardinalzahl rechnest - ohne nur ansatzweise dieses + zu definieren. Du vermischt alles - und es wird mir um so klarer, je länger ich deinen Aufsatz lese. Du bemühst dich nicht um klare Definitionen, was man wohin abbildet, oder wie die Kardinalzahlen genau defineirt sind. Du addierst Äpfel mit Birnen - wobei die natürlichen Zahlen hier die Stengel sind, die sowohl Äpfel als auch Birnen haben.
> Es wird vielleicht nicht jeden überrachen, aber manch
> einer hat doch erhebliche Vorbehalte gegen meine Ideen.
Vorbehalte ist eine leichte Untertreibung - ich sehe da nichts substantielles. Du machst schon einige Sachen richtig, aber dann vermengst du zwei Sachen einfach deswegen, weil sie sich der gleichen, suggestiven Notation bedienen.
> Worum es also vor allem geht, ist eine schlüssige und
> saubere mathematische Darstellung des Gedankenguts. Und
> die, meine ich, erbracht zu haben.
Ich fand den Artiekl alles andere als schlüssig - du bleibst Definitionen für deinen Mix schuldig.
SEcki
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> > In meinem Aufsatz lege
> > ich zweifelsfrei dar, dass jede Folge nur gegen [mm]\aleph_0[/mm]
> > konvergieren kann und gegen keine größere Kardinalzahl.
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> Was du machst ist folgendes: du nimmst [m]\IR[/m], vereingst es
> mit einem Kardinalzahlabschnitt [m][\alpeh_o;c][/m] erweiterst doe
> Ordnungstopologie entsprechend und erhälst dein Ergebnis.
Hey, du fängst an, es zu verstehen! Toll!
> wenn man deine Konstruktion mit [m][\alpeh_1;c][/m] machen würde,
> wäre der uneigentliche GW [m]\aleph_1[/m]. Das ist bloß nicht
> verwunderlich.
Ich sehe, du machst dir so deine Gedanken. Der Einwand ist aber glaube ich nicht haltbar, ich werde später noch erklären, warum.
> Vielleicht interssiert dich aber ja die
> lange Gerade.
Ist wohl auch ne Möglichkeit, die reelle Zahlengerade ins Unendliche zu erweitern.
> > Es bestand halt gerade die Frage, ob die
> > Exponentialfunktion vielleicht gegen [mm]C=\left| \IR \right|[/mm]
> > konvergiert, aber diese Frage muss verneint werden.
>
> Da es für [m]2^x[/m] sowohl in den Kardinalzahlen, als auch in
> der Analysis, eine Def. gibt, benutzt du für die einen
> Zahlen die erstere, für die anderen die zweitere. Das dies
> dann nicht mehr gelten muss ist keine Überraschung (mal
> abgesehen von der Wohldef. von [m]2^x[/m] auf deiner Konstruktion
> im Kardinalzahlabschnitt)
Die Def. der Exponentialfunktion (zur Basis 2) ist für die natürlichen Zahlen und die transfiniten Kardinalzahlen dieselbe (die aus der Mengenlehre), denn die natürlichen Zahlen kann man hja als die endlichen Kardinalzahlen auffassen. Und man kann bereits auf den natürlichen Zahlen den Grenzwert einer Zahlenfolge gegen unendlich definieren. Als Grenzwerte kommen dann natürliche Zahlen oder [mm] \aleph_0 [/mm] infrage. Die Def. der Exp-funktion auf den reellen Zahlen ist ja nur eine Verallgemeinerung der Def. auf denn natürlichen Zahlen. Insofern sehe ich kein Problem, dies zusammenzufassen.
> Dass du Begriffe vermischt, sieht man daran, dass du
> [m]\kappa+x,x\in\IR,\kappa[/m] ist Kardinalzahl rechnest - ohne
> nur ansatzweise dieses + zu definieren. Du vermischt alles
> - und es wird mir um so klarer, je länger ich deinen
> Aufsatz lese. Du bemühst dich nicht um klare Definitionen,
> was man wohin abbildet, oder wie die Kardinalzahlen genau
> defineirt sind. Du addierst Äpfel mit Birnen - wobei die
> natürlichen Zahlen hier die Stengel sind, die sowohl
> Äpfel als auch Birnen haben.
Ich gebe zu, die Definition für [m]\kappa+x[/m] fehlt noch. So weit war ich halt noch nicht. Aber ich arbeite bereits daran. Ich wollte den Aufsatz ohnehin noch etwas übersichtlicher gestalten. Vielleicht lad ich heute noch ne neue Version hoch, mit der Definition. Die ist aber nicht so schwer, weshalb ich erstmal darauf verzichtet hatte.
> > Es wird vielleicht nicht jeden überrachen, aber manch
> > einer hat doch erhebliche Vorbehalte gegen meine Ideen.
>
> Vorbehalte ist eine leichte Untertreibung - ich sehe da
> nichts substantielles. Du machst schon einige Sachen
> richtig,
Na, das ist doch schonmal was.
> aber dann vermengst du zwei Sachen einfach
> deswegen, weil sie sich der gleichen, suggestiven Notation
> bedienen.
Ja mei, wer ist auch soböse, und nutzt soche suggestiven, gleichlautenden Notationen. Da kann ich gar nichts für für meine Ansichten. 
> > Worum es also vor allem geht, ist eine schlüssige und
> > saubere mathematische Darstellung des Gedankenguts. Und
> > die, meine ich, erbracht zu haben.
>
> Ich fand den Artiekl alles andere als schlüssig - du
> bleibst Definitionen für deinen Mix schuldig.
>
> SEcki
Hol ich nach.
Gruß Mr.Infinity
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:35 Di 06.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Hey, du fängst an, es zu verstehen! Toll!
Mich schaudert's.
> > wenn man deine Konstruktion mit [m][\alpeh_1;c][/m] machen würde,
> > wäre der uneigentliche GW [m]\aleph_1[/m]. Das ist bloß nicht
> > verwunderlich.
>
> Ich sehe, du machst dir so deine Gedanken. Der Einwand ist
> aber glaube ich nicht haltbar, ich werde später noch
> erklären, warum.
Da bin ich gespannt ...
> Die Def. der Exponentialfunktion (zur Basis 2) ist für die
> natürlichen Zahlen und die transfiniten Kardinalzahlen
> dieselbe (die aus der Mengenlehre), denn die natürlichen
> Zahlen kann man hja als die endlichen Kardinalzahlen
> auffassen.
Und dort sind sie dasselbe - hab nie etwas anderes behauptet.
> Und man kann bereits auf den natürlichen Zahlen
> den Grenzwert einer Zahlenfolge gegen unendlich definieren.
Von mir aus.
> Als Grenzwerte kommen dann natürliche Zahlen oder [mm]\aleph_0[/mm]
> infrage.
Wie du halt eben die natürlichen Zahlen erweiterst. Dass dies eben nicht kanonisch [m]\aleph_0[/m] mit den Eigenschaften als Kardinalzahl sein muss, scheint's du nicht einsehen zu wollen.
> Die Def. der Exp-funktion auf den reellen Zahlen
> ist ja nur eine Verallgemeinerung der Def. auf denn
> natürlichen Zahlen.
Wie man's nimmt - exp ist wunderbar als Reihe darstellbar und es kommtder Rest erst durchs Hintertürchen.
> Insofern sehe ich kein Problem, dies
> zusammenzufassen.
Natürlich nciht, wenn man von Unstetigkeit der Expontentation im Unendlichen so wie du es machst reden will. Da ist nichts kanonisch - und die kanonische Erweiterung aus der Analysis hat andere Eigenschaften. Scheint dir egal zu sein.
> Ich gebe zu, die Definition für [m]\kappa+x[/m] fehlt noch. So
> weit war ich halt noch nicht. Aber ich arbeite bereits
> daran. Ich wollte den Aufsatz ohnehin noch etwas
> übersichtlicher gestalten. Vielleicht lad ich heute noch
> ne neue Version hoch, mit der Definition. Die ist aber
> nicht so schwer, weshalb ich erstmal darauf verzichtet
> hatte.
Nun, mit deiner Def. ist dann die Multiplikation nicht mehr stetig auf dem erweiterten Raum. Wenn die es schon nicht mehr ist, ist mir die Exponentation auch egal.
> > aber dann vermengst du zwei Sachen einfach
> > deswegen, weil sie sich der gleichen, suggestiven Notation
> > bedienen.
>
> Ja mei, wer ist auch soböse, und nutzt soche suggestiven,
> gleichlautenden Notationen. Da kann ich gar nichts für
> für meine Ansichten.
Doch, natürlich. Du könntest nachforschen, was die Begriffe denn genau bedeuten soll und woher die Notation kommt. In der Analysis betrachter man [m]a^x, e^x, exp(x)[/m] - und bei den Kardinalzahlen allgemein [m]A^B[/m] mit Mengen.
> Hol ich nach.
Jetzt wo ich den Mix sehe - das bringt mir überhaupt keinen Mehrwert! Die sinnvollen Konzepte, die ich mittels einer nroamlen Erweiterung herüberhiefe gehen mehr verloren. Man gewinnt nichts - es bringt nichts. Ich lasse mich gerne überzeugen - aber bitte nicht mit "Aber Cantor hat die Kardinalzhalen eingeführt und ich will sie unterbringen!". Du hast eine topologische Erweiterung (die Hausdorffsch ist) der rellen Zahlen gebastelt und betrachtest Funktionen darauf, von denen manche stetig, manche nicht stetig sind. Schöne Fingerübung. Und nun?
SEcki
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> Jetzt wo ich den Mix sehe - das bringt mir überhaupt
> keinen Mehrwert! Die sinnvollen Konzepte, die ich mittels
> einer nroamlen Erweiterung herüberhiefe gehen mehr
> verloren. Man gewinnt nichts - es bringt nichts. Ich lasse
> mich gerne überzeugen - aber bitte nicht mit "Aber Cantor
> hat die Kardinalzhalen eingeführt und ich will sie
> unterbringen!". Du hast eine topologische Erweiterung (die
> Hausdorffsch ist) der rellen Zahlen gebastelt und
> betrachtest Funktionen darauf, von denen manche stetig,
> manche nicht stetig sind. Schöne Fingerübung. Und nun?
Ich habe eine neue Version meines Artikels hochgeladen (siehe Eingangspost). Dort findet sich am Ende ein zusätzlicher Abschnitt, wo die Beweggründe und Ziele meiner Arbeit deutlich werden.
Gruß Mr.Infinity
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:14 Mi 07.04.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Mr.Infinity,
ich habe in den nächsten zwei Wochen nicht genug Zeit, mich ausführlicher mit Deiner Idee zu beschäftigen. Hoffentlich danach. Mir fehlt auch noch der von SEcki geforderte Mehrwert, aber ich sehe, dass Du außerkanonisch denken kannst. Das finde ich einen Vorteil. Fertig scheinst Du aber noch nicht zu sein, jedenfalls sehe ich beim Überfliegen (und mehr nicht) der aktuellen Version Deines Artikels noch nicht, dass Du Dein Ziel erreichst.
Die Fragestellung finde ich aber immer noch produktiv und mathematikphilosophisch höchst interessant. Man sollte den "Kanon" besser kennen als ich, um dabei hilfreich zu sein, aber ich würde gern weiter wissen, wohin Deine Frage und Dein Ansatz Dich führen.
Ob aber jeder definierbare Grenzwert [mm] \aleph_0 [/mm] ist, würde ich spontan bezweifeln. Damit wäre auch gesagt, dass mit den Mitteln der Analysis die Cantorsche Hierarchie der Unendlichkeiten nicht erreichbar wäre. Und damit müsste dann auch dein Ansatz scheitern - was natürlich im Endeffekt so sein kann. Mich würde es dann reizen, den Ansatz zu überdenken, denn im Grundsatz glaube ich an die Einheitlichkeit der Mathematik. Insofern teile ich SEckis Kritik daran, dass Du Analysis und mengentheoretische Betrachtung vermischst, überhaupt nicht. Das ist kanonisch gedacht (und in dieser Hinsicht vollkommen wahr und richtig!), aber damit auch in meinen Augen unnötig konservativ. Dann ist nur korrekt, was der Konvention folgt. So kann Mathematik funktionieren, aber nur sehr marginal wachsen.
Darum möchte ich Dich ermutigen, an der Frage zu bleiben. Selbst wenn es Dir gelingt, Dich zu widerlegen, bist Du (zumindest in der Sicht der Geschichts- und Wissenschaftsphilosophie Hegels) deutlich weitergekommen. Falls Du dann nicht derjenige bist, der mit einer neuen Idee (Hegel: These) die Diskussion auf eine nächste Stufe hebst, hast Du dem Wissensfortschritt doch erheblich gedient.
SEcki hat für mich darin Recht, dass auch eine neue These "sauber" sein muss, und vor allem ihre Herleitung - in allen Axiomen, Folgerungen, Lemmata, Korollaren, Beweisen... Dazu mag es nötig sein, neue Begriffe zu definieren, aber nur dann, wenn sie tatsächlich einen neuen Weg eröffnen. Nach der Vereinigung von Analysis, Topologie und Mengenlehre suchen wir mindestens seit Poincaré. Die (durchaus zahlreichen) Ergebnisse sind aber Stückwerk, der echte Durchbruch fehlt m.E. noch. Aber vielleicht habe ich nur Perelman in dieser Hinsicht noch nicht verstanden. Was nicht unwahrscheinlich ist, da ich ihn überhaupt nicht verstanden habe... Dennoch verlasse ich mich auf die genaue Prüfung seiner Ergebnisse durch Fachleute.
Eine Folgerung für den Begriff der Unendlichkeit allerdings habe ich in allen Berichten über die Lösung der Poincaréschen Vermutung nicht gefunden.
So, damit hast Du nun zwei Seiten - SEcki beharrt auf der Verträglichkeit mit der Konvention und der sauberen Definition, mir gefällt dagegen der unorthodoxe Gedanke, der mit dem Überkommenen bricht. Doch Du musst beide Seiten befriedigen, und das ist harte Arbeit. Es heißt, dass Fortschritt/Erfolg etc. 10% Inspiration und 90% Transpiration sei (oder 5/95, 1/99...), aber verschwiegen wird, dass es keine Garantie dafür gibt, dass mit genügendem Arbeitseinsatz auch ein Erfolg erzielt wird. Darum zählt auch die Zahlenangabe nicht, sondern nur der Gedanke, dass die geniale Idee nicht reicht. Ob sie genial ist, zeigt erst die schweißtreibende Überprüfung, und die führt in den meisten Fällen zur Widerlegung der Idee. 1/99 ist darum wahrscheinlich noch viel zu optimistisch dimensioniert.
Na denn: eine Idee hast Du, und die Arbeit werden nicht wir machen. Du hast noch einiges vor Dir.
Viel Erfolg!
reverend
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:42 Fr 09.04.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ob aber jeder definierbare Grenzwert [mm]\aleph_0[/mm] ist, würde
> ich spontan bezweifeln. Damit wäre auch gesagt, dass mit
> den Mitteln der Analysis die Cantorsche Hierarchie der
> Unendlichkeiten nicht erreichbar wäre. Und damit müsste
> dann auch dein Ansatz scheitern - was natürlich im
> Endeffekt so sein kann. Mich würde es dann reizen, den
> Ansatz zu überdenken, denn im Grundsatz glaube ich an die
> Einheitlichkeit der Mathematik. Insofern teile ich SEckis
> Kritik daran, dass Du Analysis und mengentheoretische
> Betrachtung vermischst, überhaupt nicht.
Nicht Betrachtung - sondern Notation! Es geht nicht um das Wechselspiel zwischen Analysis und Mengenlehre. Es geht darum, dass es zwei Notationen gibt, die nicht (a priori) das gleiche bedeuten. Eine Bank und eine Bank sind zwei unterschiedliche Sachen, mögen sie gleich heissen. Es geht nicht darum, dass die Mengenlehre die Analysis (oder vice versa) bereichert, sondern das man Äpfel mit Birnen vergleicht. Da liegen Welten dazwischen - beim letzten weiß man nämlich einfach nicht, wovon man redet.
> Das ist kanonisch
> gedacht (und in dieser Hinsicht vollkommen wahr und
> richtig!), aber damit auch in meinen Augen unnötig
> konservativ. Dann ist nur korrekt, was der Konvention
> folgt. So kann Mathematik funktionieren, aber nur sehr
> marginal wachsen.
Das ist Unsinn - Konvention bedeutet einen Sprachgebrauch, so dass man sich mit anderen austauschen kann. Wer diesen verletzt, bereichert gar nichts. Die meisten Probleme entstehen organisch aus vorherigen Betrachtungen - und nicht gekünstelt. Wenn ich alle Dinge in der deutschen Sprache umbenenne, versteht mich keiner - toll!
> SEcki hat für mich darin Recht, dass auch eine neue These
> "sauber" sein muss, und vor allem ihre Herleitung - in
Um es mal anders zu sagen: ich sehe im Aufsatz entweder sehr leichte Sachen (die ich schon kannte), oder aber nichts neues, oder aber nichts brauchbares. Keine organische Fragestellung aus der Mathematik heraus - ein Argument mit "Cantor" ist eben ein schlechtes, eine Fragestellung über n-Sphären besser - das letztere entspringt aus der Mathematik, nicht der Erfurcht vor jemand anderem.
Summs surmarum: ich sehe noch nicht einmal eine neue These.
> allen Axiomen, Folgerungen, Lemmata, Korollaren,
> Beweisen... Dazu mag es nötig sein, neue Begriffe zu
> definieren, aber nur dann, wenn sie tatsächlich einen
> neuen Weg eröffnen. Nach der Vereinigung von Analysis,
> Topologie und Mengenlehre suchen wir mindestens seit
> Poincaré.
Bitte was? Bist du dir sicher, dass du die Grundlagen der algebraischen Topologie und Differentialgeometrie kennst? Was soll Mengenlehre denn für die Fragestellungen?!
> Die (durchaus zahlreichen) Ergebnisse sind aber
> Stückwerk, der echte Durchbruch fehlt m.E. noch. Aber
> vielleicht habe ich nur Perelman in dieser Hinsicht noch
> nicht verstanden.
Hast du die Papers denn gelesen? Ich finde auch nicht, dass eine leichte, verständliche Vereinigung gibt. Aber ich nagel das persönlich an den PDEs fest. ;)
> Was nicht unwahrscheinlich ist, da ich
> ihn überhaupt nicht verstanden habe... Dennoch verlasse
> ich mich auf die genaue Prüfung seiner Ergebnisse durch
> Fachleute.
> Eine Folgerung für den Begriff der Unendlichkeit
> allerdings habe ich in allen Berichten über die Lösung
> der Poincaréschen Vermutung nicht gefunden.
Kein Wunder. Was sollte das denn? Es gibt auch keine Folgerung für die Zahl 1.
> So, damit hast Du nun zwei Seiten - SEcki beharrt auf der
> Verträglichkeit mit der Konvention und der sauberen
> Definition, mir gefällt dagegen der unorthodoxe Gedanke,
> der mit dem Überkommenen bricht.
Fol Forbozo fummt fer Gono gerro lobo daro dil!
Konvention ist kein Selbstzweck - ich habe nichts gegen unorthodoxe Gedanken. Aber ich empfinde das hier mehr als "ich hab die Notation nicht verstanden"/"ich benutze die Notation wie ich will" und nicht "Ich hab da folgende Fragestellung / Problem:".
SEcki
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So, ich habe jetzt die neue Version meines Artikels hochgeladen und werde die Links darauf in dieser Diskussion entsprechend anpassen. Es war doch schwieriger als gedacht. Die Zahl 0 macht mal wieder Probleme. Aber man kann sie umgehen, indem man die Reellen Zahlen nur im irrationalen Falle als Äquivalenzklasse von Cauchy-Folgen auffasst (und im rationalen Falle schlicht als rationale Zahlen). Die Operationen Addition und Multiplikation von [mm] \aleph_0 [/mm] mit rationalen und reellen Zahlen sind damit definiert. Dann hab ich noch ein paar Kleinigkeiten verbessert. Hoffe die Sache wird damit klarer.
Mr.Infinity
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