Alg. Abschl., Zerfälllungskörp < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:38 Di 07.09.2010 | | Autor: | cantor |
Hallo zusammen,
über Korrektur bzw. Feedback zu meinem Lösungsansatz würde ich mich sehr freuen.
es geht um folgenden Satz:
[mm]k \subseteq K[/mm] seien Körper. Dann gilt
[mm]K[/mm] ist Zerfällungskörper von [mm]k[x][/mm] [mm]\Leftrightarrow [/mm]
[mm]K[/mm] ist algebraischer Abschluss von [mm]k[/mm]
Definition von Zerfällungskörper lautet für diesen Fall
(1) Jedes Polynom in [mm]k[x][/mm] zerfällt in Linearfaktoren
(2) [mm]K = k(W)[/mm], wobei [mm]W[/mm] eine geeignete Menge von Nullstellen von Elementen von [mm]k[x][/mm] ist.
Definition von Algebraischer Abschluss:
(1) [mm]K[/mm] Algebraische Erweiterung von [mm]k[/mm]
(2) [mm]K[/mm] Algebraisch Abgeschlossen
Die Richtung "[mm]\Rightarrow [/mm]" ist mir klar. Es geht um "[mm]\Leftarrow [/mm]"
Zu (1). Ist offensichtlich: [mm]K[/mm] ist algebraisch abgeschlossen, also besitzt jedes Polynom in [mm]K[x][/mm] eine Nullstelle in [mm]K[/mm]. Demnach besitzt insbesondere jedes Polynom in [mm]k[x][/mm] eine Nullstelle in [mm]K[/mm] und zerfällt deshalb in Linearfaktoren.
zu (2). Wie soll ich [mm]W[/mm] definieren?
Vielleicht könnte man simplerweise
[mm]W :=[/mm] alle Nullstellen in [mm]K[/mm] von allen Polynomen in [mm]k[x][/mm]
definieren.
[mm]K[/mm] ist algebraisch über [mm]k[/mm], also gibt es für jedes Element [mm]u[/mm] in [mm]K[/mm] ein Polynom [mm]f[/mm], so dass [mm]u[/mm] Nullstelle von [mm]f[/mm] ist.
[mm]\Rightarrow [/mm] [mm]K \subseteq [/mm] W [mm]\subseteq [/mm] k(W)
[mm]k(W)[/mm] ist nach Definition algebraisch erzeugt über [mm]k[/mm]. Nach einem Satz gilt dann, dass [mm]k(W)[/mm] algebraisch über [mm]k [/mm] ist. Also ist [mm]k(W)[/mm] auch algebraisch über [mm]K[/mm].
[mm] \Rightarrow [/mm][mm]k(W)[/mm] ist algebraische Erweiterung von [mm]K[/mm].
Weil [mm]K[/mm] algebraisch abgeschlossen ist, muss [mm]K = k(W)[/mm]
gelten.
Das kommt mir ein bißchen zu einfach vor??
Vielen Dank!
cantor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:19 Mi 08.09.2010 | | Autor: | felixf |
Moin cantor!
> über Korrektur bzw. Feedback zu meinem Lösungsansatz
> würde ich mich sehr freuen.
>
> es geht um folgenden Satz:
> [mm]k \subseteq K[/mm] seien Körper. Dann gilt
> [mm]K[/mm] ist Zerfällungskörper von [mm]k[x][/mm] [mm]\Leftrightarrow[/mm]
> [mm]K[/mm] ist algebraischer Abschluss von [mm]k[/mm]
>
> Definition von Zerfällungskörper lautet für diesen Fall
> (1) Jedes Polynom in [mm]k[x][/mm] zerfällt in Linearfaktoren
> (2) [mm]K = k(W)[/mm], wobei [mm]W[/mm] eine geeignete Menge von Nullstellen
> von Elementen von [mm]k[x][/mm] ist.
>
> Definition von Algebraischer Abschluss:
> (1) [mm]K[/mm] Algebraische Erweiterung von [mm]k[/mm]
> (2) [mm]K[/mm] Algebraisch Abgeschlossen
>
> Die Richtung "[mm]\Rightarrow [/mm]" ist mir klar. Es geht um
> "[mm]\Leftarrow [/mm]"
>
> Zu (1). Ist offensichtlich: [mm]K[/mm] ist algebraisch
> abgeschlossen, also besitzt jedes Polynom in [mm]K[x][/mm] eine
> Nullstelle in [mm]K[/mm]. Demnach besitzt insbesondere jedes Polynom
> in [mm]k[x][/mm] eine Nullstelle in [mm]K[/mm] und zerfällt deshalb in
> Linearfaktoren.
Genau.
> zu (2). Wie soll ich [mm]W[/mm] definieren?
>
> Vielleicht könnte man simplerweise
> [mm]W :=[/mm] alle Nullstellen in [mm]K[/mm] von allen Polynomen in [mm]k[x][/mm]
> definieren.
Nun, dann ist $W = K$. Aber $W := K$ ist eh ein guter Anfang. Beachte dazu, dass jedes Element in $K$ ein Minimalpolynom ueber $k$ hat. Aber das hast du auch schon gesehen:
> [mm]K[/mm] ist algebraisch über [mm]k[/mm], also gibt es für jedes Element
> [mm]u[/mm] in [mm]K[/mm] ein Polynom [mm]f[/mm], so dass [mm]u[/mm] Nullstelle von [mm]f[/mm] ist.
Genau.
> [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]K \subseteq[/mm] W [mm]\subseteq[/mm] k(W)
> [mm]k(W)[/mm] ist nach Definition algebraisch erzeugt über [mm]k[/mm]. Nach
> einem Satz gilt dann, dass [mm]k(W)[/mm] algebraisch über [mm]k[/mm] ist.
> Also ist [mm]k(W)[/mm] auch algebraisch über [mm]K[/mm].
> [mm]\Rightarrow [/mm][mm]k(W)[/mm] ist algebraische Erweiterung von [mm]K[/mm].
> Weil [mm]K[/mm] algebraisch abgeschlossen ist, muss [mm]K = k(W)[/mm]
> gelten.
Genau.
> Das kommt mir ein bißchen zu einfach vor??
Ist es aber nicht, es ist genau das was du zeigen musst 
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:59 Mi 08.09.2010 | | Autor: | cantor |
bestens. Vielen Dank!
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