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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
Guten Tag!
Vorweg: Ich habe nicht viel Ahnung von Algebra, komplizierte Begriffe helfen mir daher nicht so sehr.
So wie ich die Algebraischen Zahlen eingeführt kenne ist: [mm] \IN [/mm] zu [mm] \IZ [/mm] oder [mm] \IQ_+ [/mm] erweitern, zu [mm] \IQ [/mm] erweitern - dies auf algebraischem Wege - zu [mm] \IR [/mm] erweitern, auf topologischem Wege, zu [mm] \IC [/mm] erweitern. Dann sagen, [mm] \mathbb{A} [/mm] ist die Menge der Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten.
Ich habe mich gefragt, ob es eine Möglichkeit gibt, solange man nur [mm] \IZ [/mm] oder höchstens [mm] \IQ [/mm] zur Verfügung hat, daraus die algebraischen Zahlen zu konstruieren. Ich habe wirklich lange darüber gegrübelt, aber ich sehe keinen Weg und auch Recherche im Internet hat mich nicht weitergebracht. Gibt es da einen Weg, oder habe ich keinen gefunden, weil keiner existiert?
Beste Grüße,
Labrinth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 Sa 20.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Guten Tag!
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> Vorweg: Ich habe nicht viel Ahnung von Algebra,
> komplizierte Begriffe helfen mir daher nicht so sehr.
>
> So wie ich die Algebraischen Zahlen eingeführt kenne ist:
> [mm]\IN[/mm] zu [mm]\IZ[/mm] oder [mm]\IQ_+[/mm] erweitern, zu [mm]\IQ[/mm] erweitern - dies
> auf algebraischem Wege - zu [mm]\IR[/mm] erweitern, auf
> topologischem Wege, zu [mm]\IC[/mm] erweitern. Dann sagen,
> [mm]\mathbb{A}[/mm] ist die Menge der Nullstellen von Polynomen mit
> ganzzahligen Koeffizienten.
> Ich habe mich gefragt, ob es eine Möglichkeit gibt,
> solange man nur [mm]\IZ[/mm] oder höchstens [mm]\IQ[/mm] zur Verfügung hat,
> daraus die algebraischen Zahlen zu konstruieren. Ich habe
> wirklich lange darüber gegrübelt, aber ich sehe keinen
> Weg und auch Recherche im Internet hat mich nicht
> weitergebracht. Gibt es da einen Weg, oder habe ich keinen
> gefunden, weil keiner existiert?
Ist [mm] \mathbb{A} [/mm] die Menge der algebraischen Zahlen, so gilt: [mm] \IQ\subsetneq \mathbb A\subsetneq \IC.
[/mm]
Ist damit Deine FRage beantwortet ?
FRED
>
> Beste Grüße,
> Labrinth
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moin,
ja, es gibt durchaus Möglichkeiten, die Menge der algebraischen Zahlen (zumindest theoretisch) zu erhalten, ohne [mm] $\IC$ [/mm] zu kennen. Anders als die Definition [mm] $\mathbb{A} [/mm] = [mm] \{\alpha \in \IC \mid \exists p \in \IZ[x],\, p(\alpha) = 0\}$ [/mm] sind diese aber nicht konstruktiv und benötigen einiges an Theorie (zB über Zerfällungskörper).
In kleinem Rahmen kann man das Problem umgehen, indem man nicht ganz [mm] $\mathbb{A} [/mm] $ betrachtet sondern nur geeignete Teilkörper. Ein paar davon hast du vielleicht schonmal gesehen, zum Beispiel [mm] $\IQ(\sqrt{2})$. [/mm] Diesen kann man sich - auch ohne zu wissen was [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] ist - konsturieren, indem man zu [mm] $\IQ$ [/mm] ein Element [mm] $\alpha$ [/mm] hinzunimmt, dass [mm] $\alpha^2-2=0$ [/mm] erfüllt und das ganze dann bezüglich Addition und Multiplikation abschließt.
Die Konstruktion von [mm] $\mathbb{A}$ [/mm] sieht ähnlich aus, nur dass es halt ohne die Obermenge der komplexen Zahlen absolut unkonstruktiv ist, von unendlich vielen Polynomen die Nullstellen hinzuzunehmen. Es ist also wie gesagt möglich die Existenz von [mm] $\mathbb{A}$ [/mm] und ein paar grundlegende Eigenschaften zu zeigen, aber möchte man wirklich damit arbeiten oder es halbwegs konstruktiv erfassen, so ist ein wenig Wissen über [mm] $\IC$ [/mm] schon sehr praktisch.
lg
Schadow
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:35 Sa 20.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
> moin,
>
> ja, es gibt durchaus Möglichkeiten, die Menge der
> algebraischen Zahlen (zumindest theoretisch) zu erhalten,
> ohne [mm]\IC[/mm] zu kennen. Anders als die Definition [mm]\mathbb{A} = \{\alpha \in \IC \mid \exists p \in \IZ[x],\, p(\alpha) = 0\}[/mm]
> sind diese aber nicht konstruktiv und benötigen einiges an
> Theorie (zB über Zerfällungskörper).
> In kleinem Rahmen kann man das Problem umgehen, indem man
> nicht ganz [mm]\mathbb{A}[/mm] betrachtet sondern nur geeignete
> Teilkörper. Ein paar davon hast du vielleicht schonmal
> gesehen, zum Beispiel [mm]\IQ(\sqrt{2})[/mm]. Diesen kann man sich -
> auch ohne zu wissen was [mm]\sqrt{2}[/mm] ist - konsturieren, indem
> man zu [mm]\IQ[/mm] ein Element [mm]\alpha[/mm] hinzunimmt, dass [mm]\alpha^2-2=0[/mm]
> erfüllt und das ganze dann bezüglich Addition und
> Multiplikation abschließt.
>
> Die Konstruktion von [mm]\mathbb{A}[/mm] sieht ähnlich aus, nur
> dass es halt ohne die Obermenge der komplexen Zahlen
> absolut unkonstruktiv ist, von unendlich vielen Polynomen
> die Nullstellen hinzuzunehmen. Es ist also wie gesagt
> möglich die Existenz von [mm]\mathbb{A}[/mm] und ein paar
> grundlegende Eigenschaften zu zeigen, aber möchte man
> wirklich damit arbeiten oder es halbwegs konstruktiv
> erfassen, so ist ein wenig Wissen über [mm]\IC[/mm] schon sehr
> praktisch.
>
>
> lg
>
>
> Schadow
HGallo,
Das beantwortet meine Frage. Vielen Dank.
P.S.: Zu den Gruppen - da hast du mir auch geantwortet - melde ich mich noch. Ich bin bis jetzt noch nicht dazu gekommen.
Beste Grüße,
Labrinth
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:02 So 21.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
um noch das richtige Stichwort zu liefern: man konstruiert den algebraischen Abschluss von [mm] $\IQ$. [/mm] Dieser ist genau [mm] $\mathbb{A}$. [/mm] Wie man das rein algebraisch machen kann, steht z.B. im Algebra-Buch von Bosch. Aber wie Schadowmaster schreibt: fuer alles praktische reichen endliche Erweiterungen von [mm] $\IQ$ [/mm] (die man uebrigens alle durch jeweils ein passendes irreduzibles Polynom beschreiben kann).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:11 Mi 24.04.2013 | | Autor: | Labrinth |
Vielen Dank. Vielleicht sehe ich mir das Buch mal an. Beste Grüße.
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