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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:32 Sa 04.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Sei X eine Menge und [mm] A \subseteq P(X) [/mm] eine [mm] \sigma-Algebra.
[/mm]
Zeigen Sie, dass A endlich oder überabzählbar ist. |
Ich habe mir überlegt, dass man das vielleicht per Widerspruch beweisen könnte:
Sei [mm] \xi [/mm] abzählbar unendliche [mm] \sigma-Algebra [/mm] auf X.
Dann ist X unendlich.
Setze [mm] F_x:=\cap_{x\in \V, V\in \xi}V
[/mm]
Dann ist [mm] F_x [/mm] abzählbar (oder??).
[So, wie [mm] \xi [/mm] definiert wurde, kann [mm] F_x [/mm] nicht überabzählbar sein und ebenso kann [mm] F_x [/mm] auch nicht endlich sein, sonst wäre P(X) endlich.]
D.h. man kann auf [mm] F_x [/mm] für [mm] (x_1,x_2,...) [/mm] abzählen:
Sei [mm] g:\xi \to \{0,1\}^{\IN}
[/mm]
[mm] g(V)=(v_1,v_2,...) [/mm] mit
[mm] v_i:=1, [/mm] falls [mm] v_i\in [/mm] V
[mm] v_i:=0, [/mm] sonst
g ist dann bijektiv und d.h.
[mm] \xi \cong \{g(V):V\in \xi\}\cong \{0,1\}^{\IN}\cong \IR
[/mm]
Widerspruch
Das ist vermutlich stark verbesserungswürdig, wer kann mir helfen oder eine ganz andere Beweisidee vorschlagen, die meinen Fähigkeiten vllt. mehr entspricht?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 04:03 So 05.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei X eine Menge und [mm]A \subseteq P(X)[/mm] eine [mm]\sigma-Algebra.[/mm]
>
> Zeigen Sie, dass A endlich oder überabzählbar ist.
>
> Ich habe mir überlegt, dass man das vielleicht per
> Widerspruch beweisen könnte:
>
> Sei [mm]\xi[/mm] abzählbar unendliche [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf X.
> Dann ist X unendlich.
>
> Setze [mm]F_x:=\cap_{x\in V, V\in \xi}V[/mm]
Das ist ein guter Anfang!
> Dann ist [mm]F_x[/mm] abzählbar (oder??).
Warum sollte es sein? Aber das ist doch auch voellig egal, das hat nichts mit der Aufgabe zu tun. Wichtig ist: [mm] $F_x \in \xi$. [/mm] Weisst du, warum das gilt?
Jetzt schau dir die Menge $B := [mm] \{ F_x \mid x \in X \} \subseteq \xi$ [/mm] an.
Zeige:
(i) fuer alle $x, y [mm] \in [/mm] X$ gilt: [mm] $F_x [/mm] = [mm] F_y$ [/mm] oder [mm] $F_x \cap F_y [/mm] = [mm] \emptyset$.
[/mm]
(ii) $A [mm] \subseteq [/mm] X$ liegt in [mm] $\xi$ [/mm] genau dann, wenn fuer alle $x [mm] \in [/mm] A$ gilt: [mm] $F_x \subseteq [/mm] A$.
(iii) die Abbildung [mm] $\mathcal{P}(B) \to \xi$, [/mm] $A [mm] \mapsto \bigcup_{V \in A} [/mm] V$ ist eine Bijektion.
(Dabei ist [mm] $\mathcal{P}(B)$ [/mm] die Potenzmenge von $B$.)
Schliesslich benutzt du:
a) ist $B$ endlich, so auch [mm] $\mathcal{P}(B)$ [/mm] und somit [mm] $\xi$;
[/mm]
b) ist $B$ unendlich, so ist [mm] $\mathcal{P}(B)$ [/mm] ueberabzaehlbar und somit auch [mm] $\xi$.
[/mm]
Was ein Widerspruch dazu ist, dass [mm] $\xi$ [/mm] abzaehlbar unendlich ist.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:07 So 05.12.2010 | | Autor: | dennis2 |
> > Sei [mm]\xi[/mm] abzählbar unendliche [mm]\sigma-Algebra[/mm] auf X.
> > Dann ist X unendlich.
> >
> > Setze [mm]F_x:=\cap_{x\in V, V\in \xi}V[/mm]
>
> Das ist ein guter Anfang!
>
Wichtig ist: [mm]F_x \in \xi[/mm].
> Weisst du, warum das gilt?
[mm] F_x \in \xi, [/mm] da [mm] \xi [/mm] nach Annahme [mm] \sigma-Algebra [/mm] ist und für eine solche Algebra gilt doch: [mm] A_j\in\xi \Rightarrow \cap A_j\in \xi [/mm] für j=1,2,...
>
> Jetzt schau dir die Menge [mm]B := \{ F_x \mid x \in X \} \subseteq \xi[/mm]
> an.
>
> Zeige:
> (i) fuer alle [mm]x, y \in X[/mm] gilt: [mm]F_x = F_y[/mm] oder [mm]F_x \cap F_y = \emptyset[/mm].
1. Fall:
[mm] x\in A_j, [/mm] j=1,2,...
[mm] y\in A_j [/mm] j=1,2,...
[mm] \Rightarrow F_x=F_y
[/mm]
2.Fall: [mm] x\in A_j [/mm] j=1,...,n
[mm] y\in A_j [/mm] j=n+1,...
[mm] \Rightarrow F_x\cap F_y=\emptyset [/mm]
>
> (ii) [mm]A \subseteq X[/mm] liegt in [mm]\xi[/mm] genau dann, wenn fuer alle
> [mm]x \in A[/mm] gilt: [mm]F_x \subseteq A[/mm].
[mm] "\Rightarrow" [/mm] Sei [mm] A\in \xi, [/mm] dann gilt [mm] \cap A_j\in \xi [/mm] für j=1,2,... und damit [mm] F_x\subseteq [/mm] A
[mm] "\Leftarrow" [/mm] Für alle [mm] x\in [/mm] X gelte [mm] F_x\subseteq [/mm] A. Dann folgt n. Definition einer [mm] \sigma-Algebra, [/mm] dass [mm] A\in \xi. [/mm]
> (iii) die Abbildung
> [mm]\mathcal{P}(B) \to \xi[/mm], [mm]A \mapsto \bigcup_{V \in A} V[/mm] ist
> eine Bijektion.
surjektiv, da [mm] B\subseteq \xi
[/mm]
injektiv:
[mm] \phi(A)=\phi(C)=\cup [/mm] V
[mm] \Rightarrow [/mm] A=C.
>
> (Dabei ist [mm]\mathcal{P}(B)[/mm] die Potenzmenge von [mm]B[/mm].)
>
> Schliesslich benutzt du:
>
> a) ist [mm]B[/mm] endlich, so auch [mm]\mathcal{P}(B)[/mm] und somit [mm]\xi[/mm];
>
> b) ist [mm]B[/mm] unendlich, so ist [mm]\mathcal{P}(B)[/mm] ueberabzaehlbar
> und somit auch [mm]\xi[/mm].
>
> Was ein Widerspruch dazu ist, dass [mm]\xi[/mm] abzaehlbar unendlich
> ist.
>
> LG Felix
>
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