Algebra: Tetraederberechnung < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Katha11 |
Hallo! Wär spitze, wenn mir jemand helfen könnte, ich scheitere nämlich völlig an dieser Aufgabe:
Es sei der Tetraeder PQRS mit den Ecken P (0/3/4), Q (2/1/1), R (3/3/-5), S (7/-2/3) gegeben.
Berechen sie
a)die Länge der Höhe h durch s
b)die Gleichung der Geraden g auf der die Höhe von S liegt
c)den Fußpunkt Fs
d)die Fläche A des Dreiecks PQR
e)aus A und h das Volumen des Tetraeders
Leider habe ich selber kein Plan von dieser Aufgabe!
Danke im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei der Tetraeder PQRS mit den Ecken P (0/3/4), Q
> (2/1/1), R (3/3/-5), S (7/-2/3) gegeben.
> Berechen sie
> a)die Länge der Höhe h durch s
> b)die Gleichung der Geraden g auf der die Höhe von S
> liegt
> c)den Fußpunkt Fs
> d)die Fläche A des Dreiecks PQR
> e)aus A und h das Volumen des Tetraeders
Hallo!
Vom Prinzip her ist die Aufgabe ganz einfach, nur beim Rechnen kann man sich vielleicht vertun. Deshalb sollte man sich als erstes mal eine Zeichung machen.
Du hast also quasi ein Dreieck PQR und einen Punkt S, sodass ein Tetraeder entsteht. Umd die Länge der Höhe h durch S zu berechnen, würde ich vorher die Gleichung der Geraden g aufstellen, also Aufgabenteil b vor a bearbeiten. Und davor müsstest du sowieso [mm] F_s [/mm] berechnen, ich finde, die Aufgabe ist ziemlich schlecht gestellt von der Reihenfolge her.
Also:
Sieh dir den Tetraeder mal an. Ich nehme an, er besteht aus gleichseitigen Dreiecken (ich bin mir nicht sicher, ob ein Tetraeder sogar so definiert ist, aber bei Schulaufgaben ist das sowieso meistens so). Da die Höhe senkrecht auf der Grundfläche steht, liegt der Fußpunkt [mm] F_s [/mm] also in der Mitte des Dreicks. Und wie berechnet man diesen Punkt? Du kannst ihn z. B. mit den Mittelsenkrechten oder den Winkelhalbierenden berechnen. Also da, wo sich alle Winkelhalbierenden bzw. Mittelsenkrechten schneide, ist der Fußpunkt. Ich denke, hier sind die Mittelsenkrechten einfacher. Du berechnest also die Länge jeder Strecke, halbierst sie und setzt genau durch den Mittelpunkt der Strecke eine Gerade. Wenn du das für jede Seite des Dreiecks gemacht hast, hast du drei Geraden, die sich alle im selben Punkt treffen, nämlich in [mm] F_s.
[/mm]
Wenn du diesen Punkt hast, ist es ganz einfach die Gerade g aufzustellen, du nimmst [mm] F_s [/mm] als Stützvektor und die Differenz von S zu [mm] F_s [/mm] als Richtungsvektor und schon bist du fertig.
Und die Länge der Höhe ist einfach die Differenz von S zu [mm] F_s, [/mm] die hast du ja gerade bereits ausgerechnet.
Nun zu d):
Die Fläche eines Dreiecks berechnet sich als Grundfläche mal Höhe, wobei hier die Grundfläche keine Fläche in dem Sinne ist, sondern nur eine Seite des Dreicks. Welche, das ist egal. Nun musst du hierzu die Höhe berechnen, also eine Senkrechte auf diese Seite, die durch den gegenüberliegenden Punkt geht. Da das Dreieck gleichseitig ist, geht die Höhe durch den Mittelpunkt der Seite, und du kannst eigentlich mit Pythagoras direkt die Höhe berechnen, da du die Länge der Seite schnell berechnen kannst.
Und das Volumen des Tetraeders ergibt sich aus: A*h - und fertig bist du.
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:24 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Katha11 |
Hallo! Vielen Dank für die Hilfe! Hab das soweit auch verstanden aber ich weiß nicht genau, wie ich die Strecke einer Mittelsenkrechten berechne. Welche Länge jeder Strecke meinst du?
Tschüs!
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Hallo Katha11!
> Hallo! Vielen Dank für die Hilfe! Hab das soweit auch
> verstanden aber ich weiß nicht genau, wie ich die Strecke
> einer Mittelsenkrechten berechne. Welche Länge jeder
> Strecke meinst du?
Was meinst du mit Strecke der Mittelsenkrechten? Ich glaube, die Strecke davon brauchst du gar nicht. Um die Geradengleichung der Mittelsenkrechten zu berechnen (mehr brauchst du ja nicht, du suchst ja den Schnittpunkten von den drei Mittelsenkrechten, also den Geraden davon), berechnest du zuerst die Differenz von zwei Punkten des Dreiecks, also die Strecke (Länge) zwischen beiden Punkten. Dann halbierst du das, und wenn du nun von dem einen Punkt aus genau die Hälfte der Strecke drauf addierst, landest du auf der Mitte der Seite. Nehmen wir zur Veranschaulichung mal den Zahlenstrahl:
Du hast die Punkte 5 und 8 und suchst den Mittelpunkt davon. Also rechnest du 8-5=3 und dann 3/2=1,5. Jetzt weißt du erst, dass der Mittelpunkt von 5 und von 8 genau 1,5 entfernt liegt. Nun kannst du rechnen 5+1,5=6,5 oder auch 8-1,5=6,5 und hast den Mittelpunkt.
Bei den Vektoren im [mm] \IR^3 [/mm] musst du ein bisschen aufpassen, dass du dann nicht aus Versehen 5-1,5 oder 8+1,5 rechnest. Zur Not kannst du das aber immer überprüfen, indem du eben mit beiden Punkten rechnest und guckst, ob das Gleiche rauskommt. Also im unserem kleinen Beispiel hier 6,5.
Der Punkt, den du dann berechnet hast, ist der Stützvektor, als Richtungsvektor nimmst du die Differenz von diesem Punkt zum gegenüberliegenden Punkt des Dreiecks.
Soweit alles klar?
Ansonsten musst du bitte deine Frage genauer stellen, ich wusste hier leider nicht so genau, was du wissen wolltest.
Viele Grüße
Bastiane
![[breakdance]](/images/smileys/breakdance.gif "[breakdance]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:11 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Katha11 |
Hi!
Alles klar, jetzt habe ich es verstanden! Danke schön, warst mir echt ne große Hilfe!!
Tschau
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo miteinander,
bevor ihr euch zu sehr verheddert mit Mittelsenkrechten und so, und die ganze Reihenfolge der Teilaufgabe umkrempelt, will ich doch einen anderen Plan skizzieren, der die Reihenfolge der Teilaufgaben schön einhält und auch nicht so viel Rechenaufwand erfordert.
> Hallo! Wär spitze, wenn mir jemand helfen könnte, ich
> scheitere nämlich völlig an dieser Aufgabe:
> Es sei der Tetraeder PQRS mit den Ecken P (0/3/4), Q
> (2/1/1), R (3/3/-5), S (7/-2/3) gegeben.
> Berechen sie
> a)die Länge der Höhe h durch s
Hier würde ich das so machen:
Die Höhe ist nichts Anderes als der Absand eines Punktes (hier S) von einer Ebene (Hier mit P; Q und R auf dieser Ebene).
Wenn ich mich richtig entsinne, berechnet sich der Abstand eines Punktes von einer Ebene am einfachsten mit Hilfe der Hesseschen Normalform.
Deshalb mein Plan:
1) Aufstellen der Ebenengleichung, die durch P,Q und R geht.
2) Davon die Hessesche Normalform erzeugen.
> b)die Gleichung der Geraden g auf der die Höhe von S
> liegt
Und dann hat man diese Aufgabe auch schon fast gelöst: Die Hessesche Normalform (na ja, auch schon die Ebenengleichung ohne Hesse) liefert ja praktisch ohne Aufwand einen Vektor, der senkrecht zur Ebene steht (Normalenvektor). Den kann man doch benutzen, weil ja g genau in diese Richtung zeigen muss. Muss einfach noch durch S gehen!
> c)den Fußpunkt Fs
Und wenn man die Geradengleichung hat (das ist mit Sicherheit eine Parameterdarstellung), kann man einfach den Durchstosspunkt mit der Ebene berechnen. Einfach den Parameter der Geradengleichung mit Hilfe der Ebenengleichung eliminieren.
> d)die Fläche A des Dreiecks PQR
Gut, das kann man so machen, wie es Bastiane vorgeschlagen hat. Evtl. könnte man aber einfach diese Gleichung verwenden:
Die Fläche eines Dreiecks mit den Seiten a, b und c berechnet sich so:
[mm] $A=\wurzel{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
[/mm]
wobei s der halbe Umfang des Dreiecks ist (Also [mm] $s=\bruch{a+b+c}{2}$)
[/mm]
> e)aus A und h das Volumen des Tetraeders
>
Nun , ein Tetraeder ist ja nichts Anderes als eine Pyramide (mit einem Dreieck als Grundfläche)
Kennst du die Volumenformel für eine Pyramide?
Ich würde vorschlagen, wenn du nicht doch eher so weiterfahren willst, wie du schon begonnen hast, dass du zuerst Teilaufgabe a) nach meinem Schema rechnest. Dann einfach eins nach dem anderen. Wenn du Probleme hast: einfach fragen!
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Paul!
> > Es sei der Tetraeder PQRS mit den Ecken P (0/3/4), Q
>
> > (2/1/1), R (3/3/-5), S (7/-2/3) gegeben.
> > Berechen sie
> > a)die Länge der Höhe h durch s
>
> Hier würde ich das so machen:
>
> Die Höhe ist nichts Anderes als der Absand eines Punktes
> (hier S) von einer Ebene (Hier mit P; Q und R auf dieser
> Ebene).
>
> Wenn ich mich richtig entsinne, berechnet sich der Abstand
> eines Punktes von einer Ebene am einfachsten mit Hilfe der
> Hesseschen Normalform.
Ja, du hast vollkommen Recht! Die Hessesche Normalform hatten wir damals nur kurz im Unterricht, jedenfalls kann ich damit nicht ganz so einfach rechnen. Oder wenigstens nicht, ohne nochmal genau nachzugucken, wie das überhaupt ging. Aber so muss es wohl wirklich viel einfacher gehen. 
> > e)aus A und h das Volumen des Tetraeders
> >
> Nun , ein Tetraeder ist ja nichts Anderes als eine
> Pyramide (mit einem Dreieck als Grundfläche)
>
> Kennst du die Volumenformel für eine Pyramide?
Ich glaub', hier hatte ich Mist geredet, oder? Natürlich fehlt da noch ein Faktor, ich glaube, [mm] \bruch{1}{3}?
[/mm]
Schön, auch noch ne Alternative zu haben.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:42 Mo 20.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Liebe Christiane
> > Kennst du die Volumenformel für eine Pyramide?
> Ich glaub', hier hatte ich Mist geredet, oder? Natürlich
> fehlt da noch ein Faktor, ich glaube, [mm]\bruch{1}{3}?
[/mm]
>
Ja, einfach durch die Dimensionszahl der Pyramide. Ein Dreieck wäre eine 2-dimensionale Pyramide. Beim Dreieck müsste man also durch 2 dividieren. Kommt dir das nicht irgendwie bekannt vor? 
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:07 Di 21.12.2004 | | Autor: | dominik |
Hallo Bastiane
Deine Formel stellt den Spzialfall dar, in dem alle Kanten des Tetraeders gleich lang sind. In dieser Aufgabe hat das Tetraeder jedoch verschiedene Kanten, zum Beispiel:
[mm] \overrightarrow{PQ}= \vektor{2\\-2\\-3} \Rightarrow [/mm] PQ= [mm] \wurzel{2^{2}+2^{2}+3^{2}}= \wurzel{17}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{PS}=\vektor{7\\-5\\-1} \Rightarrow PS=\wurzel{7^{2}+5^{2}+1^{2}}= \wurzel{75}
[/mm]
Viele Grüsse aus Sonne und Schnee
dominik
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