Algebra Verständnisfragen < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:09 Mo 07.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
| Aufgabe | 1.) Wie viele Gruppenhomomorphismen gibt es von [mm] \IZ/7\IZ [/mm] -> [mm] \IZ/18\IZ [/mm] ? Kennt ihr allgemein ein "Verfahren" wie man die Anzahl der Homomorphismen von [mm] \IZ/m\IZ [/mm] -> [mm] \IZ/n\IZ [/mm] bestimmen kann?
2.) Warum gilt [K(a) : K] = deg [mm] (min_{a/K})?
[/mm]
3.) Warum gilt [M:K] = [M:L] * [L:K] (Beweis) ?
4.) Welchen Grad hat [mm] [\IQ [/mm] ( [mm] \wurzel{2}, \wurzel{3}) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] ?
Hier habe ich speziell die Frage, wie man den Grad einer Körpererweiterung bestimmen kann, wenn zwei oder mehr Elemente adjungiert werden. Bei einem Element ist es ja nicht schwer. Da schaut man sich einfach den Grad des Minimalpolynoms an. Aber wie kann ich den Grad bestimmen, wenn ich mehrere Elemente adjungiere? |
Hallo!
Wir lernen gerade auf die Zwischenprüfung und haben noch ein paar Fragen, die wir momentan nicht beantworten können. Wir hoffen, dass uns jemand helfen kann.
Liebe Grüße,
Michi
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:37 Mo 07.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> 1.) Wie viele Gruppenhomomorphismen gibt es von [mm]\IZ/7\IZ[/mm] ->
> [mm]\IZ/18\IZ[/mm] ? Kennt ihr allgemein ein "Verfahren" wie man die
> Anzahl der Homomorphismen von [mm]\IZ/m\IZ[/mm] -> [mm]\IZ/n\IZ[/mm]
> bestimmen kann?
[mm] $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ [/mm] ist zyklisch, also genügt es das bild eines erzeugers festzulegen. für gruppenhomomorphismen $f: G [mm] \longrightarrow [/mm] H$ gilt $o(f(g)) [mm] \mid [/mm] o(g)$ für jedes $g [mm] \in [/mm] G$. nun könnt ihr euch ja überlegen, welche elemente aus [mm] $\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}$ [/mm] als bilder eines erzeugers von [mm] $\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}$ [/mm] in frage kommen...
> 2.) Warum gilt [K(a) : K] = deg [mm](min_{a/K})?[/mm]
ist $a$ algebraisch über $K$, so ist $K(a) = K[a] [mm] \cong K[X]/(\textrm{min}_{a/K})$ [/mm] nach homomorphiesatz angwendet auf den homomorphismus $K[X] [mm] \longrightarrow [/mm] K[a]; f [mm] \longmapsto [/mm] f(a)$. sie $n = [mm] \textrm{deg} \, \textrm{min}_{a/K}$ [/mm] der grad des minimalpolynoms. nun kann man sich leicht überlegen, dass für den $K$-vektorraum auf der rechten seite die restklassen von $1, X, [mm] X^2, [/mm] ..., [mm] X^{n-1}$ [/mm] eine $K$-basis bilden.
> 3.) Warum gilt [M:K] = [M:L] * [L:K] (Beweis) ?
das ist genau die aussage des gradsatzes. den beweis solltet ihr in eurer vorlesungsmitschrift haben. dieser gibt auch einen guten einblick, warum das gilt: eine $K$-basis von $L$ und eine $L$-basis von $M$ ergeben durch multiplikation der basiselemente eine $K$-basis von $M$.
> 4.) Welchen Grad hat [mm][\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel{2}, \wurzel{3})[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
> ?
> Hier habe ich speziell die Frage, wie man den Grad einer
> Körpererweiterung bestimmen kann, wenn zwei oder mehr
> Elemente adjungiert werden. Bei einem Element ist es ja
> nicht schwer. Da schaut man sich einfach den Grad des
> Minimalpolynoms an. Aber wie kann ich den Grad bestimmen,
> wenn ich mehrere Elemente adjungiere?
Es ist [mm] $\mathbb{Q}[\sqrt{2}, \sqrt{3}] [/mm] = [mm] \left(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\right) [/mm] [ [mm] \sqrt{3}]$. [/mm] mithilfe des gradsatzes aus 3) lässt sich hier also auch leicht der grad bestimmen.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Di 08.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
Hallo Andreas!
Danke schon mal für deine Antwort. Ich habe jetzt nochmal ein paar Fragen dazu.
>
> > 1.) Wie viele Gruppenhomomorphismen gibt es von [mm]\IZ/7\IZ[/mm] ->
> > [mm]\IZ/18\IZ[/mm] ? Kennt ihr allgemein ein "Verfahren" wie man die
> > Anzahl der Homomorphismen von [mm]\IZ/m\IZ[/mm] -> [mm]\IZ/n\IZ[/mm]
> > bestimmen kann?
>
> [mm]\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}[/mm] ist zyklisch, also genügt es das
> bild eines erzeugers festzulegen. für gruppenhomomorphismen
> [mm]f: G \longrightarrow H[/mm] gilt [mm]o(f(g)) \mid o(g)[/mm] für jedes [mm]g \in G[/mm].
> nun könnt ihr euch ja überlegen, welche elemente aus
> [mm]\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}[/mm] als bilder eines erzeugers von
> [mm]\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}[/mm] in frage kommen...
>
Ah okay, heißt das dann, dass ich immer nur schauen muss, ob es in der "Zielgruppe" ein oder mehrere Elemente gibt, das bzw. die die gleiche Ordnung haben wie das erzeugende Element aus meiner "Anfangsgruppe"? Also auf unseren Fall bezogen: Gibt es in [mm] \IZ/18\IZ [/mm] ein Element, dass die gleiche Ordnung hat wie die 1 in [mm] \IZ/7\IZ? [/mm] Die Antwort wäre hier, dass es keines gibt (außer die Null). Also gibt es nur den trivialen Gruppenhomomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen, der alles auf die Null abbildet. Oder?
>
> > 2.) Warum gilt [K(a) : K] = deg [mm](min_{a/K})?[/mm]
>
> ist [mm]a[/mm] algebraisch über [mm]K[/mm], so ist [mm]K(a) = K[a] \cong K[X]/(\textrm{min}_{a/K})[/mm]
> nach homomorphiesatz angwendet auf den homomorphismus [mm]K[X] \longrightarrow K[a]; f \longmapsto f(a)[/mm].
> sie [mm]n = \textrm{deg} \, \textrm{min}_{a/K}[/mm] der grad des
> minimalpolynoms. nun kann man sich leicht überlegen, dass
> für den [mm]K[/mm]-vektorraum auf der rechten seite die restklassen
> von [mm]1, X, X^2, ..., X^{n-1}[/mm] eine [mm]K[/mm]-basis bilden.
>
Ja, aber genau diese Überlegung verstehe ich ja nicht. Kannst du vielleicht versuchen, es mir nochmal zu erklären? Das wär echt super! Ich weiß gar nicht so recht, wie ich mir die Restklassen immer vorstellen soll.
> > 3.) Warum gilt [M:K] = [M:L] * [L:K] (Beweis) ?
>
> das ist genau die aussage des gradsatzes. den beweis
> solltet ihr in eurer vorlesungsmitschrift haben. dieser
> gibt auch einen guten einblick, warum das gilt: eine
> [mm]K[/mm]-basis von [mm]L[/mm] und eine [mm]L[/mm]-basis von [mm]M[/mm] ergeben durch
> multiplikation der basiselemente eine [mm]K[/mm]-basis von [mm]M[/mm].
>
Okay, ich schau mir den Beweis mal an, danke.
>
> > 4.) Welchen Grad hat [mm][\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel{2}, \wurzel{3})[/mm] : [mm]\IQ][/mm]
> > ?
> > Hier habe ich speziell die Frage, wie man den Grad
> einer
> > Körpererweiterung bestimmen kann, wenn zwei oder mehr
> > Elemente adjungiert werden. Bei einem Element ist es ja
> > nicht schwer. Da schaut man sich einfach den Grad des
> > Minimalpolynoms an. Aber wie kann ich den Grad bestimmen,
> > wenn ich mehrere Elemente adjungiere?
>
> Es ist [mm]\mathbb{Q}[\sqrt{2}, \sqrt{3}] = \left(\mathbb{Q}[\sqrt{2}]\right) [ \sqrt{3}][/mm].
> mithilfe des gradsatzes aus 3) lässt sich hier also auch
> leicht der grad bestimmen.
Ja, ich weiß schon, dass dieser Multiplikationssatz (von Aufg. 3 gilt). Aber wenn ich jetzt die zweite Wurzel adjungiere, dann könnte es ja theoretisch sein, dass ich in [mm] \IQ [/mm] ( [mm] \wurzel{2}) [/mm] ein "kleineres" Minimalpolynom für [mm] \wurzel{3} [/mm] finden würde, also eines mit kleinerem Grad wie ich es über [mm] \IQ [/mm] finden würde. Verstehst du mein Problem? Ansonsten versuch ichs nochmal anders zu erklären.
Liebe Grüße!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:24 Di 08.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi Michael!
> Ja, ich weiß schon, dass dieser Multiplikationssatz (von
> Aufg. 3 gilt). Aber wenn ich jetzt die zweite Wurzel
> adjungiere, dann könnte es ja theoretisch sein, dass ich in
> [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel{2})[/mm] ein "kleineres" Minimalpolynom für
> [mm]\wurzel{3}[/mm] finden würde, also eines mit kleinerem Grad wie
> ich es über [mm]\IQ[/mm] finden würde. Verstehst du mein Problem?
Das versteh ich sehr gut, weil diese Überlegung zunächst einmal auch ganz richtig ist. Aber in diesem Fall ist das MP vom Grad 2, und noch kleiner hieße vom Grad 1, also linear. Es muß jetzt ein Beweis her, daß das nicht sein kann.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:01 Di 08.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
Hallo statler!
>
> > Ja, ich weiß schon, dass dieser Multiplikationssatz (von
> > Aufg. 3 gilt). Aber wenn ich jetzt die zweite Wurzel
> > adjungiere, dann könnte es ja theoretisch sein, dass ich in
> > [mm]\IQ[/mm] ( [mm]\wurzel{2})[/mm] ein "kleineres" Minimalpolynom für
> > [mm]\wurzel{3}[/mm] finden würde, also eines mit kleinerem Grad wie
> > ich es über [mm]\IQ[/mm] finden würde. Verstehst du mein Problem?
>
> Das versteh ich sehr gut, weil diese Überlegung zunächst
> einmal auch ganz richtig ist. Aber in diesem Fall ist das
> MP vom Grad 2, und noch kleiner hieße vom Grad 1, also
> linear. Es muß jetzt ein Beweis her, daß das nicht sein
> kann.
>
Hhm, okay, aber kann ich aber davon ausgehen, dass in den "meisten" Fällen die Körpererweiterung [mm] \IQ(\wurzel{n}, \wurzel{m}) [/mm] / [mm] \IQ (\wurzel{m}) [/mm] den gleichen Grad hat wie [mm] \IQ(\wurzel{n}) [/mm] / [mm] \IQ [/mm] ??
Und wie sieht es zum Beispiel im Falle [mm] \IQ(\wurzel[3]{2}, \wurzel{5}) [/mm] / [mm] \IQ [/mm] aus? Hat Grad 6 wegen 2*3 oder?
Aber es gibt hier keine einheitliche Regelung, wie man schauen kann, ob (im Falle K [mm] \subseteq [/mm] L [mm] \subseteq [/mm] M) der Grad M/L der gleiche ist wie M/K oder??
Danke schonmal!
LG!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:34 Di 08.04.2008 | | Autor: | statler |
Hi!
> Hhm, okay, aber kann ich aber davon ausgehen, dass in den
> "meisten" Fällen die Körpererweiterung [mm]\IQ(\wurzel{n}, \wurzel{m})[/mm]
> / [mm]\IQ (\wurzel{m})[/mm] den gleichen Grad hat wie
> [mm]\IQ(\wurzel{n})[/mm] / [mm]\IQ[/mm] ??
Das ist natürlich in dieser Form eine etwas unmathematische Aussage. Viellleicht sollte man sie mal so fassen, daß man sagt, wenn n und m voneinander verschiedene Primzahlen sind, dann ist das jedenfalls so.
> Und wie sieht es zum Beispiel im Falle [mm]\IQ(\wurzel[3]{2}, \wurzel{5})[/mm]
> / [mm]\IQ[/mm] aus? Hat Grad 6 wegen 2*3 oder?
Ja, aber eine Begründung wäre trotzdem nicht schlecht.
> Aber es gibt hier keine einheitliche Regelung, wie man
> schauen kann, ob (im Falle K [mm]\subseteq[/mm] L [mm]\subseteq[/mm] M) der
> Grad M/L der gleiche ist wie M/K oder??
Das ist wohl ein Schreibfehler, denn es wäre nur richtig für K = L wegen des Gradsatzes.
Gruß
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:39 Di 08.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> > > 1.) Wie viele Gruppenhomomorphismen gibt es von [mm]\IZ/7\IZ[/mm] ->
> > > [mm]\IZ/18\IZ[/mm] ? Kennt ihr allgemein ein "Verfahren" wie man die
> > > Anzahl der Homomorphismen von [mm]\IZ/m\IZ[/mm] -> [mm]\IZ/n\IZ[/mm]
> > > bestimmen kann?
> >
> > [mm]\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}[/mm] ist zyklisch, also genügt es das
> > bild eines erzeugers festzulegen. für gruppenhomomorphismen
> > [mm]f: G \longrightarrow H[/mm] gilt [mm]o(f(g)) \mid o(g)[/mm] für jedes [mm]g \in G[/mm].
> > nun könnt ihr euch ja überlegen, welche elemente aus
> > [mm]\mathbb{Z}/18\mathbb{Z}[/mm] als bilder eines erzeugers von
> > [mm]\mathbb{Z}/7\mathbb{Z}[/mm] in frage kommen...
> >
>
> Ah okay, heißt das dann, dass ich immer nur schauen muss,
> ob es in der "Zielgruppe" ein oder mehrere Elemente gibt,
> das bzw. die die gleiche Ordnung haben wie das erzeugende
> Element aus meiner "Anfangsgruppe"?
im zyklischen fall im prinzip ja, wobei du gleiche ordnung durch die angegeben teilbarkeitsrelation ersetzen musst (beachte etwa homomrphismen [mm] $\mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \longrightarrow \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$).
[/mm]
> Also auf unseren Fall
> bezogen: Gibt es in [mm]\IZ/18\IZ[/mm] ein Element, dass die gleiche
> Ordnung hat wie die 1 in [mm]\IZ/7\IZ?[/mm] Die Antwort wäre hier,
> dass es keines gibt (außer die Null). Also gibt es nur den
> trivialen Gruppenhomomorphismus zwischen diesen beiden
> Gruppen, der alles auf die Null abbildet. Oder?
genau.
> > > 2.) Warum gilt [K(a) : K] = deg [mm](min_{a/K})?[/mm]
> >
> > ist [mm]a[/mm] algebraisch über [mm]K[/mm], so ist [mm]K(a) = K[a] \cong K[X]/(\textrm{min}_{a/K})[/mm]
> > nach homomorphiesatz angwendet auf den homomorphismus [mm]K[X] \longrightarrow K[a]; f \longmapsto f(a)[/mm].
> > sie [mm]n = \textrm{deg} \, \textrm{min}_{a/K}[/mm] der grad des
> > minimalpolynoms. nun kann man sich leicht überlegen, dass
> > für den [mm]K[/mm]-vektorraum auf der rechten seite die restklassen
> > von [mm]1, X, X^2, ..., X^{n-1}[/mm] eine [mm]K[/mm]-basis bilden.
> >
> Ja, aber genau diese Überlegung verstehe ich ja nicht.
> Kannst du vielleicht versuchen, es mir nochmal zu erklären?
> Das wär echt super! Ich weiß gar nicht so recht, wie ich
> mir die Restklassen immer vorstellen soll.
die erste gleichheit ist dir klar? die isomorphie auch?
den faktorring kannst du dir einfach als polynomring vorstellen mit der zusätzlichen relation [mm] $\textrm{min}_{a/K} [/mm] = [mm] X^n [/mm] + [mm] a_{n-1}X^{n-1} [/mm] + ... + a_1X + [mm] a_0 [/mm] = 0$. somit ist in diesem ring also [mm] $\overline{X}^n [/mm] = - [mm] a_{n-1}\overline{X}^{n-1} [/mm] - ... - [mm] a_1\overline{X} [/mm] - [mm] a_0$ [/mm] und du kannst somit jedes auftreten von $n$-ten oder höheren potenzen von [mm] $\overline{X}$ [/mm] sukzessive durch diese relation bearbeiten und erhälst am ende nur noch einen term in dem nur noch potenzen von [mm] $\overline{X}$ [/mm] vom grad $n-1$ oder kleiner vorkommen und die kannst du durch die angegeben basiselemete $K$-linear kombinieren.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Di 08.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
Hallo,
>
>
> > > > 2.) Warum gilt [K(a) : K] = deg [mm](min_{a/K})?[/mm]
> > >
> > > ist [mm]a[/mm] algebraisch über [mm]K[/mm], so ist [mm]K(a) = K[a] \cong K[X]/(\textrm{min}_{a/K})[/mm]
> > > nach homomorphiesatz angwendet auf den homomorphismus [mm]K[X] \longrightarrow K[a]; f \longmapsto f(a)[/mm].
> > > sie [mm]n = \textrm{deg} \, \textrm{min}_{a/K}[/mm] der grad des
> > > minimalpolynoms. nun kann man sich leicht überlegen, dass
> > > für den [mm]K[/mm]-vektorraum auf der rechten seite die restklassen
> > > von [mm]1, X, X^2, ..., X^{n-1}[/mm] eine [mm]K[/mm]-basis bilden.
> > >
> > Ja, aber genau diese Überlegung verstehe ich ja nicht.
> > Kannst du vielleicht versuchen, es mir nochmal zu erklären?
> > Das wär echt super! Ich weiß gar nicht so recht, wie ich
> > mir die Restklassen immer vorstellen soll.
>
> die erste gleichheit ist dir klar? die isomorphie auch?
> den faktorring kannst du dir einfach als polynomring
> vorstellen mit der zusätzlichen relation [mm]\textrm{min}_{a/K} = X^n + a_{n-1}X^{n-1} + ... + a_1X + a_0 = 0[/mm].
> somit ist in diesem ring also [mm]\overline{X}^n = - a_{n-1}\overline{X}^{n-1} - ... - a_1\overline{X} - a_0[/mm]
> und du kannst somit jedes auftreten von [mm]n[/mm]-ten oder höheren
> potenzen von [mm]\overline{X}[/mm] sukzessive durch diese relation
> bearbeiten und erhälst am ende nur noch einen term in dem
> nur noch potenzen von [mm]\overline{X}[/mm] vom grad [mm]n-1[/mm] oder
> kleiner vorkommen und die kannst du durch die angegeben
> basiselemete [mm]K[/mm]-linear kombinieren.
Ja, also die erste Gleichung und die Isomorphie verstehe ich. Folgt aus dem Homomorphiesatz, oder? Nur versteh ich nicht so ganz, wieso das Minimalpolynom jetzt null sein muss?
Ich hab jetzt noch eine weitere Frage. Wär cool, wenn mir da vielleicht auch noch jemand weiterhelfen könnte:
Wie genau kann ich die Galois-Gruppe bestimmen? Also wenn ich den Grad der Körpererweiterung kenne, weiß ich ja schon mal die Anzahl der Elemente in der Galois-Gruppe. Aber woher weiß ich zum Beispiel, ob diese abelsch, zyklisch... ist oder nicht? Oder woher weiß ich z.B. im Falle einer Galois-Gruppe mit 4 Elementen, ob es sich um die [mm] \IZ/4\IZ [/mm] oder die [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] handelt?
LG!!
LG!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 08.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ja, also die erste Gleichung und die Isomorphie verstehe
> ich. Folgt aus dem Homomorphiesatz, oder?
genau.
> Nur versteh ich
> nicht so ganz, wieso das Minimalpolynom jetzt null sein
> muss?
sei $R$ ein ring, $I [mm] \trianglelefteq [/mm] R$ ein ideal. dann gilt in dem faktorring $R/I$ für $a, b [mm] \in [/mm] R: a + I = b + I [mm] \; \Longleftrightarrow \; [/mm] a - b [mm] \in [/mm] I$.
> Wie genau kann ich die Galois-Gruppe bestimmen? Also wenn
> ich den Grad der Körpererweiterung kenne, weiß ich ja schon
> mal die Anzahl der Elemente in der Galois-Gruppe.
sofern die körpererweiterung galoisch ist, ja.
> Aber
> woher weiß ich zum Beispiel, ob diese abelsch, zyklisch...
> ist oder nicht? Oder woher weiß ich z.B. im Falle einer
> Galois-Gruppe mit 4 Elementen, ob es sich um die [mm]\IZ/4\IZ[/mm]
> oder die [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] handelt?
da muss man sich in der regel die entsprechenden automorphismen anschauen. wenn man dabei beachtet, dass nullstellen eines irreduziblen polynoms auf nullstellen desselben polynoms abgebildet werden, kann man recht schnell bestimmte eigenschaften von gruppen feststellen, die diese bis auf isomorphie festlegen (zyklisch, nicht-abelsch, ...). mal ein beispiel zu deiner oben genannten unterscheidung: sei [mm] $f_1 [/mm] = [mm] X^4 [/mm] - [mm] X^2 [/mm] - 2 [mm] \in \mathbb{Q}[X]$ [/mm] und [mm] $f_2 [/mm] = [mm] X^5 [/mm] - 1 [mm] \in \mathbb{Q}[X]$ [/mm] und [mm] $L_i$ [/mm] der zerfällungskörper von [mm] $f_i$ [/mm] über [mm] $\mathbb{Q}$. [/mm] berechne dann mal die galoisgruppe von [mm] $L_1/\mathbb{Q}$ [/mm] und [mm] $L_2/\mathbb{Q}$ [/mm] (wie sehen die nullstellen der polynome aus? welche können durch galoisautomorphismen aufeinander abgebildet werden?).
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Di 08.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
> hi
>
> > Ja, also die erste Gleichung und die Isomorphie verstehe
> > ich. Folgt aus dem Homomorphiesatz, oder?
>
> genau.
>
> > Nur versteh ich
> > nicht so ganz, wieso das Minimalpolynom jetzt null sein
> > muss?
>
> sei [mm]R[/mm] ein ring, [mm]I \trianglelefteq R[/mm] ein ideal. dann gilt in
> dem faktorring [mm]R/I[/mm] für [mm]a, b \in R: a + I = b + I \; \Longleftrightarrow \; a - b \in I[/mm].
Hhmm, ja das ist mir bekannt. Aber was genau hat das jetzt mit dem Minimalpolynom zu tun. Ich steig im Moment noch nicht so ganz dahinter....
>
>
> > Wie genau kann ich die Galois-Gruppe bestimmen? Also wenn
> > ich den Grad der Körpererweiterung kenne, weiß ich ja schon
> > mal die Anzahl der Elemente in der Galois-Gruppe.
>
> sofern die körpererweiterung galoisch ist, ja.
>
> > Aber
> > woher weiß ich zum Beispiel, ob diese abelsch, zyklisch...
> > ist oder nicht? Oder woher weiß ich z.B. im Falle einer
> > Galois-Gruppe mit 4 Elementen, ob es sich um die [mm]\IZ/4\IZ[/mm]
> > oder die [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x [mm]\IZ/2\IZ[/mm] handelt?
>
> da muss man sich in der regel die entsprechenden
> automorphismen anschauen. wenn man dabei beachtet, dass
> nullstellen eines irreduziblen polynoms auf nullstellen
> desselben polynoms abgebildet werden, kann man recht
> schnell bestimmte eigenschaften von gruppen feststellen,
> die diese bis auf isomorphie festlegen (zyklisch,
> nicht-abelsch, ...). mal ein beispiel zu deiner oben
> genannten unterscheidung: sei [mm]f_1 = X^4 - X^2 - 2 \in \mathbb{Q}[X][/mm]
> und [mm]f_2 = X^5 - 1 \in \mathbb{Q}[X][/mm] und [mm]L_i[/mm] der
> zerfällungskörper von [mm]f_i[/mm] über [mm]\mathbb{Q}[/mm]. berechne dann
> mal die galoisgruppe von [mm]L_1/\mathbb{Q}[/mm] und [mm]L_2/\mathbb{Q}[/mm]
> (wie sehen die nullstellen der polynome aus? welche können
> durch galoisautomorphismen aufeinander abgebildet werden?).
>
Also zum ersten Polynom:
[mm] f_{1}= X^{4}-X^{2}-2
[/mm]
Dieses Polynom hat keine rationale Nullstelle. In [mm] \IQ(\wurzel{2}) [/mm] hat das Polynom die Nullstellen [mm] X_{1}= \wurzel{2} [/mm] und [mm] X_{2} [/mm] = [mm] -\wurzel{2}. [/mm] Das Polynom zerfällt jedoch noch nicht vollständig in [mm] \IQ(\wurzel{2}). [/mm] Wenn ich jetzt noch i adjungiere, hat das Polynom die weiteren Nullstellen [mm] X_{3}=i [/mm] und [mm] X_{4}=-i. [/mm] Dann ist [mm] \IQ(\wurzel{2}, [/mm] i)) der Zerfällungskörper des Polynoms und die Körpererweiterung [mm] [\IQ(\wurzel{2}, [/mm] i) : [mm] \IQ] [/mm] hat Grad 4. Somit gilt für die Galois-Gruppe, dass sie 4 Elemente besitzt.
Nur jetzt weiß ich eben nicht, wie ich an den Nullstellen erkennen kann, zu was die Galois-Gruppe isomorph ist. Es ist auf jeden Fall so, dass die Galois-Gruppe keine Nullstelle festhält, weil keine rational ist, oder? Aber kann ich jetzt die Nullstellen beliebig untereinander vertauschen???
Das zweiten Polynom [mm] f_{2}= X^{5}-1 [/mm] zerfällt ja schon in [mm] \IQ [/mm] vollständig in Linearfaktoren, oder? (X=1 ist 5-fache Nullstelle). Dann bleibt für die Galois-Gruppe nur die Identiät?
Kann auch sein, dass alles Unfug ist, was ich hier schreib. Wie gesagt, ich hab das irgendwie noch nicht so ganz verstanden.
Aber danke für eure Hilfe!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:59 Di 08.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> > sei [mm]R[/mm] ein ring, [mm]I \trianglelefteq R[/mm] ein ideal. dann gilt in
> > dem faktorring [mm]R/I[/mm] für [mm]a, b \in R: a + I = b + I \; \Longleftrightarrow \; a - b \in I[/mm].
>
> Hhmm, ja das ist mir bekannt. Aber was genau hat das jetzt
> mit dem Minimalpolynom zu tun. Ich steig im Moment noch
> nicht so ganz dahinter....
hier ist doch $I = [mm] (\textrm{min}_{a/K}) \trianglelefteq [/mm] R = K[X]$. setze nun $a = [mm] \textrm{min}_{a/K} \in [/mm] R$ und $b = 0 [mm] \in [/mm] R$. was lässt sich nun über die beziehung von $a + I$ und $b + I$ aussagen?
> Also zum ersten Polynom:
>
> [mm]f_{1}= X^{4}-X^{2}-2[/mm]
>
> Dieses Polynom hat keine rationale Nullstelle. In
> [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] hat das Polynom die Nullstellen [mm]X_{1}= \wurzel{2}[/mm]
> und [mm]X_{2}[/mm] = [mm]-\wurzel{2}.[/mm] Das Polynom zerfällt jedoch noch
> nicht vollständig in [mm]\IQ(\wurzel{2}).[/mm] Wenn ich jetzt noch i
> adjungiere, hat das Polynom die weiteren Nullstellen
> [mm]X_{3}=i[/mm] und [mm]X_{4}=-i.[/mm] Dann ist [mm]\IQ(\wurzel{2},[/mm] i)) der
> Zerfällungskörper des Polynoms und die Körpererweiterung
> [mm][\IQ(\wurzel{2},[/mm] i) : [mm]\IQ][/mm] hat Grad 4. Somit gilt für die
> Galois-Gruppe, dass sie 4 Elemente besitzt.
bis hier richtig.
> Nur jetzt weiß ich eben nicht, wie ich an den Nullstellen
> erkennen kann, zu was die Galois-Gruppe isomorph ist. Es
> ist auf jeden Fall so, dass die Galois-Gruppe keine
> Nullstelle festhält, weil keine rational ist, oder? Aber
> kann ich jetzt die Nullstellen beliebig untereinander
> vertauschen???
nein. sei $K = [mm] \mathbb{Q}, \; L_1 [/mm] = [mm] \mathbb{Q}(\sqrt{2}, [/mm] i)$, [mm] $\varphi \in \textrm{Gal}(L_1/K)$ [/mm] und sei $w = [mm] \varphi(i) \in L_1$. [/mm] dann gilt doch [mm] $w^2 [/mm] = [mm] (\varphi(i))^2 [/mm] = [mm] \varphi(i^2) [/mm] = [mm] \varphi(-1) [/mm] = -1$, wobei die letzte gleichheit gilt, da [mm] $\varphi|_K [/mm] = [mm] \textrm{id}_K$. [/mm] folglich gilt [mm] $w^2 [/mm] + 1 = 0$ und $w$ erfüllt die polynomielle gleichung [mm] $X^2 [/mm] + 1 = 0$. welche elemente aus [mm] $L_1$ [/mm] kommen also für $w$ in frage? genauso kann man für [mm] $\sqrt{2}$ [/mm] argumentieren (das ist im prinzip der grund für das vorhin von mir angesprochene: nullstellen eines irreduziblen polynoms werden auf nullstellen des selben polynoms abgebildet). welche abbildungen lassen sich nun daraus konstruieren? wie sieht folglich [mm] $\textrm{Gal}(L_1/K)$ [/mm] aus?
> Das zweiten Polynom [mm]f_{2}= X^{5}-1[/mm] zerfällt ja schon in [mm]\IQ[/mm]
> vollständig in Linearfaktoren, oder? (X=1 ist 5-fache
> Nullstelle). Dann bleibt für die Galois-Gruppe nur die
> Identiät?
das würde stimmen, sofern dein argument stimmt, dass [mm] $f_2$ [/mm] über $K$ vollständig in linearfaktoren zerfällt. hast du denn schon mal die polynomdivision [mm] $(X^5 [/mm] - 1):(X - 1)$ ausgefüht? was ergibt sich? alternativ: verwende $1 = [mm] \exp(2k \pi [/mm] i), [mm] \; [/mm] k [mm] \in \mathbb{Z}$ [/mm] damit kann man direkt alle nullstellen bestimmen.
> Kann auch sein, dass alles Unfug ist, was ich hier schreib.
> Wie gesagt, ich hab das irgendwie noch nicht so ganz
> verstanden.
im großen und ganzen sieht das schon recht vernünftig aus, bis auf das was ich angemerkt habe. schau mal, dass du diese lücken noch stopfst.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:24 Di 08.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
> hi
>
> > > sei [mm]R[/mm] ein ring, [mm]I \trianglelefteq R[/mm] ein ideal. dann gilt in
> > > dem faktorring [mm]R/I[/mm] für [mm]a, b \in R: a + I = b + I \; \Longleftrightarrow \; a - b \in I[/mm].
>
> >
> > Hhmm, ja das ist mir bekannt. Aber was genau hat das jetzt
> > mit dem Minimalpolynom zu tun. Ich steig im Moment noch
> > nicht so ganz dahinter....
>
> hier ist doch [mm]I = (\textrm{min}_{a/K}) \trianglelefteq R = K[X][/mm].
> setze nun [mm]a = \textrm{min}_{a/K} \in R[/mm] und [mm]b = 0 \in R[/mm]. was
> lässt sich nun über die beziehung von [mm]a + I[/mm] und [mm]b + I[/mm]
> aussagen?
>
Ja, also wenn [mm] min_{a/K} \in [/mm] I, dann also auch [mm] min_{a/K}-0 \in [/mm] I und das genau dann wenn [mm] min_{a/K} [/mm] + I = 0 + I. Kann ich hier dann einfach umformen und sagen [mm] min_{a/K} [/mm] +I = I und somit [mm] min_{a/K} [/mm] = 0 ???
>
> > Also zum ersten Polynom:
> >
> > [mm]f_{1}= X^{4}-X^{2}-2[/mm]
> >
> > Dieses Polynom hat keine rationale Nullstelle. In
> > [mm]\IQ(\wurzel{2})[/mm] hat das Polynom die Nullstellen [mm]X_{1}= \wurzel{2}[/mm]
> > und [mm]X_{2}[/mm] = [mm]-\wurzel{2}.[/mm] Das Polynom zerfällt jedoch noch
> > nicht vollständig in [mm]\IQ(\wurzel{2}).[/mm] Wenn ich jetzt noch i
> > adjungiere, hat das Polynom die weiteren Nullstellen
> > [mm]X_{3}=i[/mm] und [mm]X_{4}=-i.[/mm] Dann ist [mm]\IQ(\wurzel{2},[/mm] i)) der
> > Zerfällungskörper des Polynoms und die Körpererweiterung
> > [mm][\IQ(\wurzel{2},[/mm] i) : [mm]\IQ][/mm] hat Grad 4. Somit gilt für die
> > Galois-Gruppe, dass sie 4 Elemente besitzt.
>
> bis hier richtig.
>
>
> > Nur jetzt weiß ich eben nicht, wie ich an den Nullstellen
> > erkennen kann, zu was die Galois-Gruppe isomorph ist. Es
> > ist auf jeden Fall so, dass die Galois-Gruppe keine
> > Nullstelle festhält, weil keine rational ist, oder? Aber
> > kann ich jetzt die Nullstellen beliebig untereinander
> > vertauschen???
>
> nein. sei [mm]K = \mathbb{Q}, \; L_1 = \mathbb{Q}(\sqrt{2}, i)[/mm],
> [mm]\varphi \in \textrm{Gal}(L_1/K)[/mm] und sei [mm]w = \varphi(i) \in L_1[/mm].
> dann gilt doch [mm]w^2 = (\varphi(i))^2 = \varphi(i^2) = \varphi(-1) = -1[/mm],
> wobei die letzte gleichheit gilt, da [mm]\varphi|_K = \textrm{id}_K[/mm].
> folglich gilt [mm]w^2 + 1 = 0[/mm] und [mm]w[/mm] erfüllt die polynomielle
> gleichung [mm]X^2 + 1 = 0[/mm]. welche elemente aus [mm]L_1[/mm] kommen also
> für [mm]w[/mm] in frage? genauso kann man für [mm]\sqrt{2}[/mm] argumentieren
> (das ist im prinzip der grund für das vorhin von mir
> angesprochene: nullstellen eines irreduziblen polynoms
> werden auf nullstellen des selben polynoms abgebildet).
> welche abbildungen lassen sich nun daraus konstruieren? wie
> sieht folglich [mm]\textrm{Gal}(L_1/K)[/mm] aus?
Ah okay, jetzt hab ichs glaub verstanden. Es kann also nur sein, dass i auf i oder auf -i abgebildet wird und [mm] \wurzel{2} [/mm] nur auf [mm] \wurzel{2} [/mm] oder auf - [mm] \wurzel{2}. [/mm] Und damit muss die Galois-Gruppe isomorph zur [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ [/mm] sein oder?
Was wäre wenn zum Beispiel jede Nullstelle auf eine andere abgebildet werden könnte? Dann könnte es isomorph zur [mm] \IZ/4\IZ [/mm] sein?
>
>
> > Das zweiten Polynom [mm]f_{2}= X^{5}-1[/mm] zerfällt ja schon in [mm]\IQ[/mm]
> > vollständig in Linearfaktoren, oder? (X=1 ist 5-fache
> > Nullstelle). Dann bleibt für die Galois-Gruppe nur die
> > Identiät?
>
> das würde stimmen, sofern dein argument stimmt, dass [mm]f_2[/mm]
> über [mm]K[/mm] vollständig in linearfaktoren zerfällt. hast du denn
> schon mal die polynomdivision [mm](X^5 - 1):(X - 1)[/mm] ausgefüht?
> was ergibt sich? alternativ: verwende [mm]1 = \exp(2k \pi i), \; k \in \mathbb{Z}[/mm]
> damit kann man direkt alle nullstellen bestimmen.
>
Achso, okay, die Nullstellen sind also die n-ten Einheitswurzeln. Wenn x jetzt eine primitive n-te Einheitswurzel ist, dann ist [mm] \IQ [/mm] (x) bereits Zerfällungskörper von [mm] X^{5}-1, [/mm] da die primitiven immer die Erzeuger sind. Also brauch ich den Grad der Körpererweiterung [mm] \IQ(x)/\IQ. [/mm] Das Minimalpolynom von x ist das 5te Kreisteilungspolynom, also [mm] X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1. [/mm] Dieses hat Grad 4 und somit hat die Körpererweiterung auch Grad 4. Somit gilt auch, dass [mm] Aut(\IQ(x)/\IQ) [/mm] 4 Elemente hat. Die Automorphismen müssen wieder Nullstellen auf Nullstellen und somit Einheitswurzeln auf Einheitswurzeln abbilden. Aber es reicht schon primitive auf primitive abzubilden, da sie die Erzeuger sind, oder? Jetzt fragt es sich nur, wie viele primitive es hier gibt. Hier steh ich dann irgendwie auf dem Schlauch.....
LG!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:20 Mi 09.04.2008 | | Autor: | statler |
Mahlzeit!
> Ja, also wenn [mm]min_{a/K} \in[/mm] I, dann also auch [mm]min_{a/K}-0 \in[/mm]
> I und das genau dann wenn [mm]min_{a/K}[/mm] + I = 0 + I. Kann ich
> hier dann einfach umformen und sagen [mm]min_{a/K}[/mm] +I = I und
> somit [mm]min_{a/K}[/mm] = 0 ???
Hier kenne ich den Vorlauf nicht in vollem Umfang, aber es gilt in präziser Schreibweise
[mm]min_{a/K} \in[/mm] I [mm] \gdw \overline{min_{a/K}} [/mm] = [mm] \overline{0}
[/mm]
> Ah okay, jetzt hab ichs glaub verstanden. Es kann also nur
> sein, dass i auf i oder auf -i abgebildet wird und
> [mm]\wurzel{2}[/mm] nur auf [mm]\wurzel{2}[/mm] oder auf - [mm]\wurzel{2}.[/mm] Und
> damit muss die Galois-Gruppe isomorph zur [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x
> [mm]\IZ/2\IZ[/mm] sein oder?
So isset!
> Was wäre wenn zum Beispiel jede Nullstelle auf eine andere
> abgebildet werden könnte? Dann könnte es isomorph zur
> [mm]\IZ/4\IZ[/mm] sein?
Nee, wenn jede Nullstelle auf jede andere abgebildet werden könnte, hätte man die [mm] S_{4} [/mm] als Galois-Gruppe. Dann hätte man allerdings auch keine Erweiterung vom Grad 4.
> Achso, okay, die Nullstellen sind also die n-ten
> Einheitswurzeln. Wenn x jetzt eine primitive n-te
> Einheitswurzel ist, dann ist [mm]\IQ[/mm] (x) bereits
> Zerfällungskörper von [mm]X^{5}-1,[/mm] da die primitiven immer die
> Erzeuger sind. Also brauch ich den Grad der
> Körpererweiterung [mm]\IQ(x)/\IQ.[/mm] Das Minimalpolynom von x ist
> das 5te Kreisteilungspolynom, also [mm]X^{4}+X^{3}+X^{2}+X+1.[/mm]
> Dieses hat Grad 4 und somit hat die Körpererweiterung auch
> Grad 4. Somit gilt auch, dass [mm]Aut(\IQ(x)/\IQ)[/mm] 4 Elemente
> hat. Die Automorphismen müssen wieder Nullstellen auf
> Nullstellen und somit Einheitswurzeln auf Einheitswurzeln
> abbilden. Aber es reicht schon primitive auf primitive
> abzubilden, da sie die Erzeuger sind, oder? Jetzt fragt es
> sich nur, wie viele primitive es hier gibt. Hier steh ich
> dann irgendwie auf dem Schlauch.....
Aber das ist doch nun wirklich babyeierleicht. Wenn [mm] \zeta [/mm] eine solche primitive 5te Einheitswurzel ist, dann sind die Potenzen von [mm] \zeta [/mm] die anderen. Das ergibt sich aus den Rechenregeln für Potenzen und der Tatsache, daß du im Exponenten mod 5 rechnest. Du untersuchst sozusagen die teilerfremden Restklassen mod 5 bei Multiplikation. Das Ding ist isomorph zu Z/4Z. So etwas hast du ja oben gesucht.
Gruß aus HH-Harburg
Dieter
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mi 09.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
Hhm, ich versteh leider immer noch nicht ganz wie ich dann jetzt rausfinden kann zu was die Galois-Gruppe isomorph ist, wenn ich die Anzahl der Elemente in der Galois-Gruppe kenne. Bei 4 Elementen ist es zum Beispiel die [mm] \IZ/2\IZ [/mm] x [mm] \IZ/2\IZ, [/mm] wenn immer nur 2 Nullstellen aufeinander abgebildet werden können. Aber wann wäre es genau die [mm] \IZ/4\IZ? [/mm] Auf was müssten dann die Nullstellen abgebildet werden??
Dann hab ich nochmal ne Frage: Wieviele Homomorphismen gibt es von der [mm] \IZ/7\IZ [/mm] -> [mm] \IZ/14\IZ [/mm] ?? Muss ich da schauen, wieviele Elemente es in der [mm] \IZ/14\IZ [/mm] gibt, die Ordnung 7 haben wie also die 1 in [mm] \IZ/7\IZ? [/mm] Das wären ja dann die 2, 4, 6, 8, 10 und 12. Also 6 Elemente und somit 6 Homomorphismen. Kann man das so machen oder ist so was ganz falsch  ?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:24 Mi 09.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Hhm, ich versteh leider immer noch nicht ganz wie ich dann
> jetzt rausfinden kann zu was die Galois-Gruppe isomorph
> ist, wenn ich die Anzahl der Elemente in der Galois-Gruppe
> kenne. Bei 4 Elementen ist es zum Beispiel die [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x
> [mm]\IZ/2\IZ,[/mm] wenn immer nur 2 Nullstellen aufeinander
> abgebildet werden können. Aber wann wäre es genau die
> [mm]\IZ/4\IZ?[/mm] Auf was müssten dann die Nullstellen abgebildet
> werden??
hast du denn das andere beispiel mal zu ende gerechnet?
> Dann hab ich nochmal ne Frage: Wieviele Homomorphismen gibt
> es von der [mm]\IZ/7\IZ[/mm] -> [mm]\IZ/14\IZ[/mm] ?? Muss ich da schauen,
> wieviele Elemente es in der [mm]\IZ/14\IZ[/mm] gibt, die Ordnung 7
> haben wie also die 1 in [mm]\IZ/7\IZ?[/mm] Das wären ja dann die 2,
> 4, 6, 8, 10 und 12. Also 6 Elemente und somit 6
> Homomorphismen. Kann man das so machen oder ist so was ganz
> falsch ?
der triviale homomorphismus fehlt noch, aber ansonsten stimmt's.
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Do 10.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
> hi
>
> > Hhm, ich versteh leider immer noch nicht ganz wie ich dann
> > jetzt rausfinden kann zu was die Galois-Gruppe isomorph
> > ist, wenn ich die Anzahl der Elemente in der Galois-Gruppe
> > kenne. Bei 4 Elementen ist es zum Beispiel die [mm]\IZ/2\IZ[/mm] x
> > [mm]\IZ/2\IZ,[/mm] wenn immer nur 2 Nullstellen aufeinander
> > abgebildet werden können. Aber wann wäre es genau die
> > [mm]\IZ/4\IZ?[/mm] Auf was müssten dann die Nullstellen abgebildet
> > werden??
>
> hast du denn das andere beispiel mal zu ende gerechnet?
Ja, also bei dem zweiten Polynom [mm] (X^{5}-1) [/mm] war [mm] \IQ(x) [/mm] mit x= primitive 5te Einheitswurzel der Zerfällungskörper. Somit gilt [mm] |Aut(\IQ(x)/\IQ)| [/mm] = [mm] [\IQ(x) [/mm] : [mm] \IQ] [/mm] = 4 (da das 4te Kreisteilungspolynom Grad 4 hat).
Okay, und wie kann ich jetzt sehen dass es die [mm] \IZ/4\IZ [/mm] sein muss? Weil alle Nullstellen sozusagen von der einen erzeugt werden??
Weiß vielleicht jemand dann noch ein Beispiel, wann die Automorphismengruppe keine abelsche Gruppe ist? Also [mm] S_{3}, S_{4} [/mm] oder so?? Das wär toll. Dann hätt ich zu jedem Fall ein Beispiel und könnts mir vielleicht besser vorstellen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:54 Do 10.04.2008 | | Autor: | andreas |
hi
> Ja, also bei dem zweiten Polynom [mm](X^{5}-1)[/mm] war [mm]\IQ(x)[/mm] mit
> x= primitive 5te Einheitswurzel der Zerfällungskörper.
> Somit gilt [mm]|Aut(\IQ(x)/\IQ)|[/mm] = [mm][\IQ(x)[/mm] : [mm]\IQ][/mm] = 4 (da das
> 4te Kreisteilungspolynom Grad 4 hat).
> Okay, und wie kann ich jetzt sehen dass es die [mm]\IZ/4\IZ[/mm]
> sein muss? Weil alle Nullstellen sozusagen von der einen
> erzeugt werden??
ja, so in etwa. überlege dir, dass der automorphismus [mm] $\varphi$ [/mm] durch die festlegung [mm] $\varphi(x) [/mm] = [mm] x^2$ [/mm] vollständig festgelegt ist (was muss zum beispiel [mm] $\varphi(x^3)$ [/mm] sein?) und [mm] $\{ \varphi, \varphi^2, \varphi^3, \varphi^4 = \mathrm{id}_{\mathbb{Q}(x)} \} [/mm] = [mm] \left< \varphi \right> \cong \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ [/mm] die vollständige galoisgruppe ist.
> Weiß vielleicht jemand dann noch ein Beispiel, wann die
> Automorphismengruppe keine abelsche Gruppe ist? Also [mm]S_{3}, S_{4}[/mm]
> oder so?? Das wär toll. Dann hätt ich zu jedem Fall ein
> Beispiel und könnts mir vielleicht besser vorstellen.
such mal hier im forum nach "galoisgruppe", da solltest du genügend beispiele mit ausführlichem lösungsweg finden. einer der ersten treffer ist auch gleich ein beispiel für eine erweiterung mit galoisgruppe [mm] $S_3$.
[/mm]
grüße
andreas
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:51 Fr 11.04.2008 | | Autor: | MichiNes |
Ok, vielen Dank mal für all die Bemühungen und Antworten!
|
|
|
|
