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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:02 Mi 03.10.2012 | | Autor: | MattiJo |
| Aufgabe | | [mm] \sigma_P [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{\sigma_2^4 \sigma_1^2}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} + \sigma_2^2 - \bruch{2\sigma_2^4}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} + \bruch{\sigma_2^6}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} } [/mm] |
Hallo zusammen,
vereinfacht man obige Formel, so kommt laut meiner vorgegebenen Lösung heraus:
[mm] \sigma_P [/mm] = [mm] \bruch{\sigma_1 \sigma_2}{\wurzel{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}
[/mm]
Ich habe die Gleichung auch von MAPLE vereinfachen lassen und das hat mir die korrekte Lösung bestätigt.
Aber ich komm nicht drauf!
Ich habe versucht, den ganzen Term unter der Wurzel auf den gemeinsamen Nenner [mm] (\sigma_1^2 [/mm] + [mm] \sigma_2^2)^2 [/mm] zu bringen. Das hilft mir jedoch nicht weiter! Ich bleibe immer bei einem großen Term stehen.
Hat mir jemand einen Tipp, wie ich zur Lösung kommen kann?
Ich bedanke mich schon mal im Voraus, denn ich möchte die Aufgabe endlich abschließen und nicht noch weitere Tage darüber nachdenken müssen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 Mi 03.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\sigma_P[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{\sigma_2^4 \sigma_1^2}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} + \sigma_2^2 - \bruch{2\sigma_2^4}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} + \bruch{\sigma_2^6}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} }[/mm]
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> Hallo zusammen,
>
> vereinfacht man obige Formel, so kommt laut meiner
> vorgegebenen Lösung heraus:
>
> [mm]\sigma_P[/mm] = [mm]\bruch{\sigma_1 \sigma_2}{\wurzel{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}[/mm]
>
> Ich habe die Gleichung auch von MAPLE vereinfachen lassen
> und das hat mir die korrekte Lösung bestätigt.
> Aber ich komm nicht drauf!
>
> Ich habe versucht, den ganzen Term unter der Wurzel auf den
> gemeinsamen Nenner [mm](\sigma_1^2[/mm] + [mm]\sigma_2^2)^2[/mm] zu bringen.
> Das hilft mir jedoch nicht weiter! Ich bleibe immer bei
> einem großen Term stehen.
Ich auch. ist das
$ [mm] \sigma_P [/mm] $ = $ [mm] \wurzel{\bruch{\sigma_2^4 \sigma_1^2}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} + \sigma_2^2 - \bruch{2\sigma_2^4}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} + \bruch{\sigma_2^6}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} } [/mm] $
wirklich so gegeben ?
FRED
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> Hat mir jemand einen Tipp, wie ich zur Lösung kommen kann?
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> Ich bedanke mich schon mal im Voraus, denn ich möchte die
> Aufgabe endlich abschließen und nicht noch weitere Tage
> darüber nachdenken müssen.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:26 Mi 03.10.2012 | | Autor: | MattiJo |
Nein, das ist nicht so gegeben, aber genau so habe ich es in MAPLE eingegeben! (mit dem Befehl simplify).
Ursprünglich war vorgegeben, das Minimum der Gleichung
[mm] \sigma [/mm] = [mm] \sqrt{a^2 \sigma_1^2 + (1-a)^2 \sigma_2^2}
[/mm]
zu finden. (Es geht um die Minimierung der Standardabweichung (Risiko) für ein Portfolio, bestehend aus zwei unabhängigen Wertpapieren 1 und 2 (deshalb die unbeachtete Kovarianz/Korrelation) mit den entsprechenden Standardabweichungen [mm] \sigma_i).
[/mm]
Aus der Ableitung berechne ich a = [mm] \bruch{\sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} [/mm] und setze dies in die Funktion für die Standardabw. ein, um diese zu minimieren. Und dann sind wir wieder bei der obigen Formel.
Ich hab auch die Ableitung mit MAPLE prüfen lassen, und da bekomm ich seltsamerweise genau überall meine Berechnungen raus, nur dieser letzte Schritt scheitert (bei mir, MAPLE bekommt die Lösung raus). Und Ideen habe ich absolut keine mehr...
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Hallo,
[mm]\sigma_P[/mm] = [mm]\wurzel{\bruch{\sigma_2^4 \sigma_1^2}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} + \sigma_2^2 - \bruch{2\sigma_2^4}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} + \bruch{\sigma_2^6}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} }[/mm]
[mm]=\wurzel{\sigma_2^2 * (\bruch{\sigma_2^2 \sigma_1^2}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} + 1 - \bruch{2\sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} + \bruch{\sigma_2^4}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2})}[/mm]
[mm]=\sigma_2*\wurzel{\bruch{\sigma_2^2 \sigma_1^2 + \sigma_1^4 + 2\sigma_1^2 \sigma_2^2+ \sigma_2^4+\sigma_2^4}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} - \bruch{2\sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} }[/mm]
[mm]=\sigma_2*\wurzel{\bruch{\sigma_1^4 + 3\sigma_1^2 \sigma_2^2+ 2\sigma_2^4}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} - \bruch{2\sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} }[/mm]
[mm]=\sigma_2*\wurzel{\bruch{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2) (\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2) }{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^2} - \bruch{2\sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} }[/mm]
[mm]=\sigma_2*\wurzel{\bruch{(\sigma_1^2 + 2\sigma_2^2) }{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)} - \bruch{2\sigma_2^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} }[/mm]
[mm]=\sigma_2*\wurzel{\bruch{\sigma_1^2}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}=\bruch{\sigma_1*\sigma_2}{\wurzel{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}[/mm]
Grüße
franzzink
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