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| Aufgabe | Sei x Ein Eigenvektor zum Eigenwert p(A). Also (A-p(A)I)x=0
Falls nun die Algebraische Vielfachheit von p(A) größer als 1 ist , so existiert ein z Vektor , sodass (A-p(A)I)z=x gilt. |
Kann mir jemand helfen warum ein z Vektor existiert sodass (A-p(A))z=x gilt , falls die algebraische Vielfachheit größer sein soll als 1 ?
ich weiß nur zu algebraische Vielfachheit ,dass wenn das charakterische Polynom P(A) in linear Faktoren zerfällt z.bsp :
P(A)= (a-3)²*(a-2)³.... .Dass die Exponente der Linearfaktor die Algebraische Vielfachheit zum jeweiligen Eigenwert bilden.
Warum aber ein z Vektor existiert mit (A-p(A) )z=x ,diesen Zusammenhang verstehe ich nicht.
ich hoffe ihr könnte dabei behilfreich sein , brauche es für die Verteidigung meiner Ba-Arbeit 
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> Sei x Ein Eigenvektor zum Eigenwert p(A). Also
(
> (A-p(A)I)x=0
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> Falls nun die Algebraische Vielfachheit von p(A) größer
> als 1 ist , so existiert ein z Vektor , sodass
> (A-p(A)I)z=x gilt.
z ist der Hauptvektor
> Kann mir jemand helfen warum ein z Vektor existiert sodass
> (A-p(A))z=x gilt , falls die algebraische Vielfachheit
> größer sein soll als 1 ?
nimmt man zb den Eigenwert λ = 3 der eine algebraische Vielfachheit von 2 hat, existiert nur ein linear unabhängiger Eigenvektor (Eigenraum zu dem Eigenwert hat Dimension 1) - also hat dieser Eigenwert eine geometrische Vielfachheit von 1. -> Die Matrix ist nicht diagonalisierbar! Daher versucht man die Jordansche Normalform zu bilden. Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert "gefunden" werden. Diese Eigenvektoren nennt man Hauptvektoren.
> ich weiß nur zu algebraische Vielfachheit ,dass wenn das
> charakterische Polynom P(A) in linear Faktoren zerfällt
> z.bsp :
>
> P(A)= (a-3)²*(a-2)³.... .Dass die Exponente der
> Linearfaktor die Algebraische Vielfachheit zum jeweiligen
> Eigenwert bilden.
>
> Warum aber ein z Vektor existiert mit (A-p(A) )z=x ,diesen
> Zusammenhang verstehe ich nicht.
>
> ich hoffe ihr könnte dabei behilfreich sein , brauche es
> für die Verteidigung meiner Ba-Arbeit
Am besten würde ich mir das Kapitel "Jordansche Normalformen" sehr genau ansehen ;)
LG scherzkrapferl
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Okey bis hierhin ab ich das verfahren verstanden .
Sooo könnt ihr mir die Stelle (Aussage) bzw den Ansatz aus der Jordan Normalform geben ,sodass ich mir die Gleichung
(A-p(A)I)z=x herleiten kann ?
Was ich bis jetzt gefunden habe aber nicht weiter gekommen bin
ist :
Eig( A ; [mm] p(A))=Ker(A-p(A)I)\subseteq Ker((A-p(A)I)^{r}) [/mm] =Hau(A ; p(A))
wobei r die algebraische Vielfachheit zum Eigenwert p(A) ist.
Hab versucht aus der Beziehung [mm] Ker(A-p(A)I)\subseteq Ker((A-p(A)I)^{r})
[/mm]
den Hauptvektor z herzuleiten ,aber kam nicht auf die gleichung
(A-p(A)I)z=x...
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im fall zweier verschiedener eigenwerte und im fall eines Eigenwertes mit geometrischer vielfachheit 2 gibt es jeweils zwei linear unabhängige eigenvektoren v1,v2. für die invertierbare matrix X=(v1,v2) gilt:
AX=XJ
-> A=XJ(X^-1)
im fall eines eigenwertes Lambda mit algebraischer vielfachheit 2 und geometrischer vielfachheit 1 suchen wir die transformationsmatrix X in der form: X=(v,h)
v...eigenvektor
h...hauptvektor
die gleichung [mm] A*(v,h)=A*X=X*\pmat{ Lambda & 1 \\ 0 & Lambda } =(v,h)\pmat{ Lambda & 1 \\ 0 & Lambda }
[/mm]
ist äquivalent zu: Av=Lambda*v , Ah=Lambda*h+v
die erste gleichung ist erfüllt da v ein eigenvektor ist. der hauptvektor h ist als lösung des gleichungssystems (A-Lamda*I)h=v DEFINIERT
es bleibt zu zeigen dass dieses gleichungssystem tatsächlich eine lösung hat, dh. dass v im bildraum von (A-Lambda*I) liegt. da der kern(A-Lambda*i) eindimensional ist, ist der bildraum ebenfalls eindimensional, dh.: Bild(A-Lambda*I)=L(w)
mit einem geeigneten vektor w.
dann muss aber gelten: (A-Lambda*I)w=s*w , s [mm] \in [/mm] C -> Aw=(Lambda+s)w.
das bedeutet dass Lamda+s ein eigenwert von A ist, woraus s=0 folgt. damit ist aber w ein eigenvektor zum eigenwert Lambda und daher ein vielfaches von v.
folglich gild Bild(A-Lambda*I)=L(w)
woraus die existenz des hauptvektors h folgt.
hoffe das hilft dir
Lg scherzkrapferl
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Ich hoffe es hat dir geholfen, da du nichts mehr von dir hören lässt. ;)
LG Scherzkrapferl
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