Algebraischer Abschluss < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Do 27.05.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Zusammen
Ich wollte euch fragen, ob meine Überlegung stimmt:
Sei [mm] K \subset L [/mm] eine algebraische Erweiterung (also K, L Körper). Nun betrachte ich den algebraischen Abschluss [mm] \overline{K} [/mm] von K. Stimmt es, dass der algebraische Abschluss von K auch ein algebraischer Abschluss von L ist?
Danke für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:59 Do 27.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Sei [mm]K \subset L[/mm] eine algebraische Erweiterung (also K, L
> Körper). Nun betrachte ich den algebraischen Abschluss
> [mm]\overline{K}[/mm] von K. Stimmt es, dass der algebraische
> Abschluss von K auch ein algebraischer Abschluss von L
> ist?
Ja. Hast du auch einen Begründungsversuch, warum das stimmt?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:32 Do 27.05.2010 | | Autor: | physicus |
Der Körper L muss sicher in [mm] \overline{K} [/mm] enthalten sein. (da abgeschlossene Körper keine algebraischen Erweiterungen zulassen.)
Die Erweiterung [mm] L \subset \overline{K} [/mm] ist algebraisch. Naja und nun wenn [mm] L \subset \overline{L} [/mm] ein algebraischer Abschluss von L wäre, der nicht gleich [mm] \overline{K} [/mm] ist, wäre die Erweiterung [mm] L \subset \overline{L} [/mm] algebraisch und daher wäre auch [mm] \overline{K} \subset \overline{L} [/mm] algebraisch. Das geht aber nicht, also muss (abgeschlossenen Körper lassen keine algebrischen Erweiterungen zu) [mm] \overline{L} = \overline{K} [/mm] sein.
Stimmt das so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:34 Fr 28.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Der Körper L muss sicher in [mm]\overline{K}[/mm] enthalten sein.
> (da abgeschlossene Körper keine algebraischen
> Erweiterungen zulassen.)
Damit bist du doch fertig?! Da der algebraische Abschluss bis auf Isom. eindeutig ist?!
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:14 Fr 28.05.2010 | | Autor: | physicus |
ja, aber es ist ja nicht gesagt, dass [mm] \overline{K} [/mm] ein algebraischer Abschluss von L ist. Es könnte doch sein, dass L ein Teilkörper von [mm] \overline{K} [/mm] ist, aber trotzdem [mm] \overline{K} [/mm] nicht ein algebraischer Abschluss von L ist (Das will ich ja zeigen). Oder sehe ich das falsch? Ich weiss, dass zwei algebraische Abschlüsse eines Körpers isomorph sind. Aber hier habe ich ja K und davon den algebraischen Abschluss [mm] \overline{K} [/mm] und ich versuche nun L und [mm] \overline{K} [/mm] in Verbindung zu bringen.
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Hallo,
ich denke der Fall, dass $L [mm] \subset \overline{K}$ [/mm] aber [mm] $\overline{K}$ [/mm] kein algebraischer Abschluss von $L$ ist ausgeschlossen. Dazu könnte man doch argumentieren, dass [mm] $\overline{K}$ [/mm] gerade ein Körper ist, der alle Nullstellen aller Polynome aus $K[X]$ enthält. Wegen [mm] $L\subset [/mm] K$ folgt [mm] $L[X]\subset [/mm] K[X]$ also enthält [mm] $\overline{K}$ [/mm] auch alle Nullstellen aller Polynome aus $L[X]$ und ist somit ein algebraischer Abschluss von $L$. Jetzt argumentiert man noch mit der $L$-Isomorphie der algebraischen Abschlüsse von $L$, d.h. jeder andere algebraische Abschluss von $L$ ist mind. $L$-isomorph zu [mm] $\overline{K}$ [/mm] - das kann man je nach sichtweise als "gleich" ansehen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 28.05.2010 | | Autor: | physicus |
Ja aber so habe ich die Aufgabe nicht gestellt: Es ist gilt:
[mm] K \subset L [/mm]
Also ist K in L enthalten und nicht umgekehrt!
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wie peinlich! entschuldige bitte, ich versuchs nochmal:
Wegen $L/K$ algebraisch folgt, dass jedes Element von $L$ Nst. eines Polynoms aus $K[X]$ ist, also folgt nach obiger Definition von [mm] $\overline{K}$ [/mm] sofort [mm] $L\subset \overline{K}$.
[/mm]
Warum ist jetzt [mm] $\overline{K}$ [/mm] auch ein algebraischer Abschluss von $L$?
Es ist [mm] $\overline{L}/L$ [/mm] algebraisch, also auch [mm] $\overline{L}/K$ [/mm] algebraisch. Desshalb muss doch [mm] $\overline{L}$ [/mm] auch ein algebraischer Abschluss von $K$ sein und damit $K$-isomorph zu [mm] $\overline{K}$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 Fr 28.05.2010 | | Autor: | physicus |
Ich bin mir jetzt nicht sicher, wohin die Diskussion führt:) Laut SEcki würde es reichen, dass [mm] L \subset \overline{K} [/mm]. Aber sowohl du, als auch ich (wir benützen ja ähnliche Argumentationen) verwenden doch noch einiges mehr.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:52 Fr 28.05.2010 | | Autor: | kunzmaniac |
Das ist wahr, ich glaube nicht, dass [mm] $L\subset \overline{K}$ [/mm] genügt, der springende Punkt ist schon $L/K$ algebraisch (habe aber gerade auch kein Gegenbeispiel), wahrscheinlich meinen wir sowieso alle dasselbe ;).
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:32 Fr 28.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo physicus,
ich muss meinen Vorrednern widersprechen: Wörtlich genommen ist die Aussage, dass jeder algebraische Abschluss [mm] $\overline{K}$ [/mm] von K auch ein algebraischer Abschluss von L sei, falsch! Es muss überhaupt nicht [mm] $L\subset\overline{K}$ [/mm] gelten.
Es gelten aber folgende Aussagen:
1. Jeder algebraische Abschluss von L ist auch ein algebraischer Abschluss von K.
2. Es existiert ein K-Monomorphismus [mm] $\sigma:L\to\overline{K}$. [/mm] Für jedes solche [mm] $\sigma$ [/mm] ist [mm] $\overline{K}$ [/mm] ein algebraischer Abschluss seines Teilkörpers [mm] $\sigma(L)$. [/mm] Haben wir ein festes solches [mm] $\sigma$ [/mm] gegeben und identifizieren wir L mittels [mm] $\sigma$ [/mm] mit [mm] $\sigma(L)$, [/mm] so bildet [mm] $\overline{K}$ [/mm] also modulo dieser Identifizierung tatsächlich einen algebraischen Abschluss von L.
Nähere Erläuterungen (z.B. Beweise meiner beiden Behauptungen oder Erklärungen, wo die bisher diskutierten Beweisversuche falsch sind), gebe ich gerne auf Nachfrage.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Fr 28.05.2010 | | Autor: | physicus |
Hallo Tobi
Ich danke dir für deine Ausführungen. Wenn ich jetzt in der Situation bin, dass [mm] K \subset L [/mm] algebraisch ist, stimmt es dann, dass [mm] \overline{L} = \overline{K}[/mm] . Genau genommen stimmen meine Ausführungen in meiner 2. Frage?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Fr 28.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo nochmal,
> Ich danke dir für deine Ausführungen. Wenn ich jetzt in
> der Situation bin, dass [mm]K \subset L[/mm] algebraisch ist,
Auf diese Situation bezog sich meine vorherige Antwort.
> stimmt
> es dann, dass [mm]\overline{L} = \overline{K}[/mm] .
Jeder algebraische Abschluss [mm] $\overline{L}$ [/mm] von L ist auch ein algebraischer Abschluss von K. Aber nicht jeder algebraische Abschluss [mm] $\overline{K}$ [/mm] von K ist auch ein algebraischer Abschluss von L.
Sind [mm] $\overline{K}$ [/mm] und [mm] $\overline{L}$ [/mm] algebraische Abschlüsse von K bzw. L, so sind [mm] $\overline{K}$ [/mm] und [mm] $\overline{L}$ [/mm] K-isomorph, aber im Allgemeinen nicht gleich.
> Genau genommen
> stimmen meine Ausführungen in meiner 2. Frage?
Wenn man sie wörtlich nimmt, nein:
> Der Körper L muss sicher in [mm] \overline{K} [/mm] enthalten sein. (da
> abgeschlossene Körper keine algebraischen Erweiterungen zulassen.)
[mm] $\overline{K}$ [/mm] lässt keine echten algebraischen Erweiterungen zu, also kann L kein echter Oberkörper von [mm] $\overline{K}$ [/mm] sein. Das heißt aber noch lange nicht, dass [mm] $L\subset\overline{K}$ [/mm] gilt.
> Die Erweiterung [mm] L \subset \overline{K} [/mm] ist algebraisch. Naja
> und nun wenn [mm] L \subset \overline{L} [/mm] ein algebraischer
> Abschluss von L wäre, der nicht gleich [mm] \overline{K} [/mm] ist, wäre
> die Erweiterung [mm] L \subset \overline{L} [/mm] algebraisch
Ja.
> Und daher wäre auch [mm] \overline{K} \subset \overline{L} [/mm] algebraisch.
Es muss gar nicht [mm] $\overline{K}\subset\overline{L}$ [/mm] gelten.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:20 Sa 29.05.2010 | | Autor: | physicus |
Bitte entschuldige, du hast natürlich recht. Man muss hier präzise sein:
mit [mm] \overline{L} = \overline{K} [/mm] meine ich natürlich
[mm] \overline{L} \cong \overline{K} [/mm].
> [mm]\overline{K}[/mm] lässt keine echten algebraischen
> Erweiterungen zu, also kann L kein echter Oberkörper von
> [mm]\overline{K}[/mm] sein. Das heißt aber noch lange nicht, dass
> [mm]L\subset\overline{K}[/mm] gilt.
Etwas verwirrt bin ich hier schon. Du spielst hier darauf an, dass wenn man 2 Körper K, L hat sowie einen Körperhomomorphismus [mm] \phi : K \to L [/mm], dass man dann [mm] \phi{(K)} \subset L [/mm] mit K identifiziert und etwas "salopp" [mm] K \subset L [/mm] schreibt.
Allerdings finde ich diese Darstellung auch nicht optimal. Ich würde sagen, dass es dann wenig Sinn macht von L als "Vektorraum" über K zu sprechen. Oder nicht? Aber offenbar wird es überall in der Theorie so getan. Übrigens führt aber Bosch dies in seinem Buch nicht so ein. Er schreibt direkt [mm] K \subset L [/mm] an.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:24 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Ich fange mal hinten an...
Wie die Diskussion mit SEcki zeigt, gibt es unterschiedliche Ansichten darüber, wie man [mm] $K\subset [/mm] L$ für Körper K und L genau verstehen soll. Ich habe in meinen bisherigen Antworten darunter verstanden, dass K im wörtlichen Sinne ein Teilkörper von L ist, also so, dass insbesondere K (ohne irgendeine Identifizierung) eine Teilmenge von L ist.
> wenn man 2 Körper K, L hat sowie einen
> Körperhomomorphismus [mm]\phi : K \to L [/mm], dass man dann
> [mm]\phi{(K)} \subset L[/mm] mit K identifiziert und etwas "salopp"
> [mm]K \subset L[/mm] schreibt.
Meiner Meinung nach (SEcki sieht das vermutlich anders, Prof. Bosch dagegen vermutlich genauso wie ich) ist das nur dadurch gerechtfertigt, dass hier mit [mm] $\phi$ [/mm] GENAU EIN Körperhomomorphismus von K nach L gegeben ist und es nicht nur irgendwelche Körperhomomorphismen von K nach L gibt, von denen keiner ausgezeichnet ist.
> Allerdings finde ich diese Darstellung auch nicht optimal.
> Ich würde sagen, dass es dann wenig Sinn macht von L als
> "Vektorraum" über K zu sprechen. Oder nicht?
Wenn (!) man einen festen solchen Homomorphismus [mm] $\phi$ [/mm] gegeben hat, macht das schon Sinn: [mm] $\phi$ [/mm] induziert auf L die Struktur eines K-Vektorraumes durch die Körperaddition von L und die skalare Multiplikation gegeben durch [mm] $\lambda*v:=\phi(\lambda)*v$ [/mm] (auf der rechten Seite ist die Körpermultiplikation von L gemeint) für alle [mm] $\lambda\in K,v\in [/mm] L$.
> > [mm]\overline{K}[/mm] lässt keine echten algebraischen
> > Erweiterungen zu, also kann L kein echter Oberkörper von
> > [mm]\overline{K}[/mm] sein. Das heißt aber noch lange nicht, dass
> > [mm]L\subset\overline{K}[/mm] gilt.
> Etwas verwirrt bin ich hier schon. Du spielst hier darauf
> an, dass ...
Nein, an dieser Stelle hat mein Einwand gar nichts mit der Diskussion um Identifizierungen zu tun. Unabhängig von etwaigen Identifizierungen ist z.B. der Körper mit zwei Elementen kein Oberkörper von [mm] $\IQ$. [/mm] Er ist aber auch kein Teilkörper von [mm] $\IQ$. [/mm] Du hast also noch kein Argument für [mm] $L\subset\overline{K}$ [/mm] gebracht (weder mit Identifizierung noch ohne).
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 29.05.2010 | | Autor: | physicus |
Ich danke dir für deine Geduld!
Gibt es ein Argument warum [mm] \overline{K} [/mm] in diesem Fall auch ein algebraischer Abschluss von L ist.
Das ist nämlich zwingend notwendig. Es geht in der ganzen Sache darum:
Ich kann zeigen, dass es einen K-Homomorphismus [mm] \tau [/mm]: [mm] L \to \overline{K} [/mm] gibt. Wenn ich jetzt zusätzlich die Annahme mache, dass [mm] K \subset L [/mm] normal ist dann induziert (sofern [mm] \overline{K} \cong \overline{L} [/mm]) der K-Homomorphismus [mm] \tau' [/mm]: [mm] L \to \overline{L} \cong \overline{K} [/mm] einen K-Automorphismus [mm] \sigma [/mm]: [mm] L \to L [/mm]. Und nach so einem suche ich.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:49 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Gibt es ein Argument warum [mm]\overline{K}[/mm] in diesem Fall auch
> ein algebraischer Abschluss von L ist.
Wörtlich genommen nicht, aber wenn du einen Homomorphismus [mm] $L\to\overline{K}$ [/mm] gegeben hast, kannst du [mm] $\overline{K}$ [/mm] bezüglich dieses Homomorphismus' als algebraischen Abschluss von L "auffassen".
Brauchst du im Folgenden aber auch gar nicht: Du verwendest nur, dass es einen K-Isomorphismus zwischen [mm] $\overline{K}$ [/mm] und [mm] $\overline{L}$ [/mm] gibt. Das ist jenseits aller Identifizier-Diskussionen unstreitig.
Häufig lässt sich selbst dieser "K-Isomorphie-Zwischenschritt" umgehen, indem man direkt einen algebraischen Abschluss von L anstelle von K wählt. Dieser ist automatisch auch ein algebraischer Abschluss von K, ohne dass Identifizierungen nötig sind.
> Das ist nämlich zwingend notwendig. Es geht in der ganzen
> Sache darum:
> Ich kann zeigen, dass es einen K-Homomorphismus [mm]\tau [/mm]: [mm]L \to \overline{K}[/mm]
> gibt. Wenn ich jetzt zusätzlich die Annahme mache, dass [mm]K \subset L[/mm]
> normal ist dann induziert (sofern [mm]\overline{K} \cong \overline{L} [/mm])
> der K-Homomorphismus [mm]\tau' [/mm]: [mm]L \to \overline{L} \cong \overline{K}[/mm]
Dieser K-Homomorphismus soll die Verkettung von [mm] $\tau$ [/mm] und dem gewählten Isomorphismus zwischen [mm] $\overline{K}$ [/mm] und [mm] $\overline{L}$ [/mm] sein, oder? Dazu muss dieser Isomorphismus ein K-Isomorphismus sein, aber so einen gibt es ja.
> einen K-Automorphismus [mm]\sigma [/mm]: [mm]L \to L [/mm]. Und nach so einem
> suche ich.
Ja, aber ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") ... Zwei Möglichkeiten:
1. Du suchst irgendeinen K-Automorphismus von L. So einen kriegst du aber völlig ohne Mühe: Die Identität auf L leistet das Gewünschte.
2. Du suchst einen K-Automorphismus von L mit irgendeiner zusätzlichen Eigenschaft. Bei deiner jetzigen Vorgehensweise erhältst du jedoch je nach Wahl des K-Isomorphismus zwischen [mm] $\overline{K}$ [/mm] und [mm] $\overline{L}$ [/mm] einen beliebigen Automorphismus von L, also möglicherweise auch einfach die Identität. Du hast also durch die Argumentation in der jetzigen Form nichts gewonnen.
Gegebenenfalls könnte eine Erläuterung des Kontextes deiner Überlegungen helfen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 29.05.2010 | | Autor: | physicus |
Nun sind fast alle Unklarheiten verschwunden. Eine kleine Frage bleibt und eine Bemerkung.
> > Gibt es ein Argument warum [mm]\overline{K}[/mm] in diesem Fall auch
> > ein algebraischer Abschluss von L ist.
> Wörtlich genommen nicht, aber wenn du einen
> Homomorphismus [mm]L\to\overline{K}[/mm] gegeben hast, kannst du
> [mm]\overline{K}[/mm] bezüglich dieses Homomorphismus' als
> algebraischen Abschluss von L "auffassen".
>
> Brauchst du im Folgenden aber auch gar nicht: Du verwendest
> nur, dass es einen K-Isomorphismus zwischen [mm]\overline{K}[/mm]
> und [mm]\overline{L}[/mm] gibt. Das ist jenseits aller
> Identifizier-Diskussionen unstreitig.
Frage: Ich weiss doch nur, dass zwei algebraische Abschlüsse über EINEM Körper K isomorph sind. Aber hier habe ich ja zwei Körper K und L.
> Häufig lässt sich selbst dieser
> "K-Isomorphie-Zwischenschritt" umgehen, indem man direkt
> einen algebraischen Abschluss von L anstelle von K wählt.
> Dieser ist automatisch auch ein algebraischer Abschluss von
> K, ohne dass Identifizierungen nötig sind.
>
> > Das ist nämlich zwingend notwendig. Es geht in der ganzen
> > Sache darum:
> > Ich kann zeigen, dass es einen K-Homomorphismus [mm]\tau [/mm]:
> [mm]L \to \overline{K}[/mm]
> > gibt. Wenn ich jetzt zusätzlich die Annahme mache, dass [mm]K \subset L[/mm]
> > normal ist dann induziert (sofern [mm]\overline{K} \cong \overline{L} [/mm])
>
> > der K-Homomorphismus [mm]\tau' [/mm]: [mm]L \to \overline{L} \cong \overline{K}[/mm]
> Dieser K-Homomorphismus soll die Verkettung von [mm]\tau[/mm] und
> dem gewählten Isomorphismus zwischen [mm]\overline{K}[/mm] und
> [mm]\overline{L}[/mm] sein, oder? Dazu muss dieser Isomorphismus ein
> K-Isomorphismus sein, aber so einen gibt es ja.
>
> > einen K-Automorphismus [mm]\sigma [/mm]: [mm]L \to L [/mm]. Und nach so einem
> > suche ich.
> Ja, aber ... Zwei Möglichkeiten:
> 1. Du suchst irgendeinen K-Automorphismus von L. So einen
> kriegst du aber völlig ohne Mühe: Die Identität auf L
> leistet das Gewünschte.
> 2. Du suchst einen K-Automorphismus von L mit irgendeiner
> zusätzlichen Eigenschaft. Bei deiner jetzigen
> Vorgehensweise erhältst du jedoch je nach Wahl des
> K-Isomorphismus zwischen [mm]\overline{K}[/mm] und [mm]\overline{L}[/mm]
> einen beliebigen Automorphismus von L, also möglicherweise
> auch einfach die Identität. Du hast also durch die
> Argumentation in der jetzigen Form nichts gewonnen.
Du hast natürlich recht, ich suche einen speziellen;) Daher kann ich nicht id nehmen.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:28 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Brauchst du im Folgenden aber auch gar nicht: Du verwendest
> > nur, dass es einen K-Isomorphismus zwischen [mm]\overline{K}[/mm]
> > und [mm]\overline{L}[/mm] gibt. Das ist jenseits aller
> > Identifizier-Diskussionen unstreitig.
>
> Frage: Ich weiss doch nur, dass zwei algebraische
> Abschlüsse über EINEM Körper K isomorph sind. Aber hier
> habe ich ja zwei Körper K und L.
Man kann wie folgt argumentieren: Als algebraischer Abschluss von L ist [mm] $\overline{L}$ [/mm] insbesondere ein algebraischer Abschluss von K (mit der Bosch-Definition von algebraischem Abschluss aus Korollar 3.4.7 kannst du das leicht nachprüfen). Also sind [mm] $\overline{L}$ [/mm] und [mm] $\overline{K}$ [/mm] algebraische Abschlüsse von K und somit K-isomorph.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Sa 29.05.2010 | | Autor: | physicus |
naja, das war jetzt keine Glanzleistung von mir, darauf hätte ich selber kommen müssen. Trotzdem herzlichen Dank für deine ausführlichen Hilfestellungen!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:39 Fr 28.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich muss meinen Vorrednern widersprechen: Wörtlich
> genommen ist die Aussage, dass jeder algebraische Abschluss
> [mm]\overline{K}[/mm] von K auch ein algebraischer Abschluss von L
> sei, falsch! Es muss überhaupt nicht [mm]L\subset\overline{K}[/mm]
> gelten.
Ja, aber es muss auch nicht [mm]K\subset\overline{K}[/mm] gelten. NAch Identifikationen und bla blupp reicht es eben zu sehn, dass man L als Unterkörper von [m]\overline{K}[/m] auffassen kann. Man solte imo das [m][mm] \subset[/mm] [m] bei den Körpererweiterungen manchmal etwas liberaler verwenden dürfen.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:21 Sa 29.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hi SEcki,
> > ich muss meinen Vorrednern widersprechen: Wörtlich
> > genommen ist die Aussage, dass jeder algebraische Abschluss
> > [mm]\overline{K}[/mm] von K auch ein algebraischer Abschluss von L
> > sei, falsch! Es muss überhaupt nicht [mm]L\subset\overline{K}[/mm]
> > gelten.
>
> Ja, aber es muss auch nicht [mm]K\subset\overline{K}[/mm] gelten.
Wenn [mm] $\overline{K}$ [/mm] ein algebraischer Abschluss von K ist, muss nach der mir bekannten Definition von "algebraischer Abschluss" schon K ein Teilkörper von [mm] $\overline{K}$ [/mm] sein. Und nach der mir bekannten Definition eines Teilkörpers impliziert dies [mm] $K\subset\overline{K}$. [/mm] Verwendest du andere Definitionen?
> NAch Identifikationen und bla blupp reicht es eben zu sehn,
> dass man L als Unterkörper von [m]\overline{K}[/m] auffassen
> kann.
> Man solte imo das [m][mm]\subset[/mm] [m]bei den
> Körpererweiterungen manchmal etwas liberaler verwenden dürfen.
Ich bin aus mehreren Gründen da sehr vorsichtig (der Wichtigste zum Schluss):
1. Dazu muss in diesem Beispiel begründet werden, dass ein Monomorphismus von L nach [mm] $\overline{K}$ [/mm] existiert. (Gut, wenn man sich das ein für alle mal überlegt hat, erübrigt sich dieser Einwand.)
2. Es gibt im Allgemeinen viele Monomorphismen von L nach [mm] $\overline{K}$, [/mm] unter denen es keinen kanonischen gibt. Letztlich ist es wohl Geschmacksfrage, ob einen dies am Identifizieren hindern sollte. Prof. Bosch (der Autor des wohl verbreitetsten Algebra-Buches), bei dem ich Algebra gehört habe, vertritt z.B. die Auffassung, eine Identifizierung der algebraischen Abschlüsse eines Körpers K sei "sehr problematisch", da es i.A. keine kanonischen K-Isomorphismen gibt. Insbesondere solle man daher nicht von "dem" algebraischen Abschluss eines Körpers reden.
EDIT Ergänzung: In der konkreten Situation hier würde ich es höchst merkwürdig finden, [mm] $\overline{K}$ [/mm] als algebraischen Abschluss von L zu bezeichnen, da noch nicht einmal klar ist, welche Elemente von [mm] $\overline{K}$ [/mm] per Identifizierung zu L gehören sollen.
3. Irgendwie L als Unterkörper von [mm] $\overline{K}$ [/mm] auffassen reicht nicht, damit [mm] $\overline{K}$ [/mm] über L algebraisch ist. Wir müssen vielmehr L per K-Monomorphismus als Teilkörper von [mm] $\overline{K}$ [/mm] auffassen. Insbesondere reicht es nicht, die Existenz eines beliebigen Monomorphismus von L nach [mm] $\overline{K}$ [/mm] zu zeigen, sondern wir benötigen die Existenz eines K-Monomorphismus. Dies zeigt meiner Meinung nach, wie leicht man beim Identifizieren Fehler/Lücken verursachen kann.
Jetzt hast du tatsächlich ein Thema aufgeworfen, was mich schon lange beschäftigt:
Für mich persönlich ist jede Identifizierung erst einmal eine Verkomplizierung des Sachverhaltes, da man eben im Grunde mit jeder Identifizierung etwas annimmt, was eigentlich nicht stimmt.
Siehe 3.: Wenn man L irgendwie (!) als Teilkörper von [mm] $\overline{K}$ [/mm] auffasst, kann eben gleichzeitig für den ursprünglichen Körper L [mm] $K\subset [/mm] L$ und für den mit L identifizierten Teilkörper von [mm] $\overline{K}$ $K\not\subset [/mm] L$ gelten!
Scheinbar setzt man mit einer Identifizierung also die Gesetze der Logik außer Kraft... Man darf eben mit per Identifizierung angenommenen Begebenheiten nicht genauso umgehen wie mit gewöhnlichen Voraussetzungen. Insbesondere muss man sich halt bei allem fragen: Darf ich das jetzt eigentlich, obwohl irgendetwas gar nicht wirklich, sondern nur per Identifizierung gilt?
Auf der anderen Seite: Ja, ich weiß, manchmal ist eine Identifizierung unheimlich praktisch.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Sa 29.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> Scheinbar setzt man mit einer Identifizierung also die Gesetze der Logik außer Kraft... Man darf eben mit per Identifizierung angenommenen Begebenheiten nicht genauso umgehen wie mit gewöhnlichen Voraussetzungen. Insbesondere muss man sich halt bei allem fragen: Darf ich das jetzt eigentlich, obwohl irgendetwas gar nicht wirklich, sondern nur per Identifizierung gilt?
Bestimmt interessant, habe aber gerade nicht viel Zeit. Mein Kritikpunkt an deiner Kritik ist vor allem folgender: K ist als Teilkörper von [m]\overline{K}[/m] eben auch nur durch eine bestimmte Identifizierung - [m]K\subset \overline{K}[/m] gilt genauso nur nach bestimmten Identifizierungen! Und wenn man sich das Erzeugen neuer Körper durch Adjungierung von Nullstellen anschaut, sieht man auch: der alte Körper K wird in den neuen auf eine bestimtme Art und Weise identifiziert die durch die Adjungation (beim alg. Abschluss ja auch!) gegeben ist.
Wenn ich aber K habe, kann ich L (bis auf Isomoprhie) erzeugen durch Adjungation (nicht endliche!) von Nullstellen. Dann nehme ich den Unterkörper vom alg. Abschluss, der mir durch die Min.polynome gegeben wird, und somit [m]K\subset L\subset \overline{K}[/m] hat.
Ich gebe hier auch mal ein Bsp.: es gibt (Auswahlaxiom, ich kenne einen Beweis leider nicht) Automorphismen von [m]\IC[/m], die die rellen zahlen bewegen. Dh man kann über [m]\IC[/m] auch nicht von den reellen Zahlen sprechen, [m]\IR\subset \IC[/m] identifiziert eben die reellen Zahlen mit einem bestimmten Unterkörper.
Im Übrigen war mir diese Notationsproblematik klar - aber ich wollte diese Büchse der Pandorra nicht öffnen und dne OP verwirren. Es geht hier einfach um die Frage ob der alg. Abschluss von K auch einer von L ist (ist er) und habe [m]\subset[/m] einfach als "es gibt einen Unterkörper L mit [m]K\subset L'\subset \overline{K}[/m] mit [m]L'\isom L[/m]" betrachtet. In Wahrheit finde ich die Mengenschreibweise in jedem Fall nicht so prickelnd - ich habe sie immer als "injektiv einbettbar" interpretiert. Genau in der [m]S^2[/m] eine [m]S^1[/m] liegt - wobei es im Zweifel eine kanonische gibt, aber noch viel mehr nicht triviale.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:45 So 30.05.2010 | | Autor: | tobit09 |
So, jetzt endlich hierzu. Danke, dass du dir trotz knapper Zeit Zeit genommen und deine Meinung geäußert hast!
> Mein Kritikpunkt an deiner Kritik ist vor allem folgender:
> K ist als Teilkörper von [m]\overline{K}[/m] eben auch nur durch
> eine bestimmte Identifizierung - [m]K\subset \overline{K}[/m] gilt
> genauso nur nach bestimmten Identifizierungen! Und wenn man
> sich das Erzeugen neuer Körper durch Adjungierung von
> Nullstellen anschaut, sieht man auch: der alte Körper K
> wird in den neuen auf eine bestimtme Art und Weise
> identifiziert die durch die Adjungation (beim alg.
> Abschluss ja auch!) gegeben ist.
[mm] $K\subset \overline{K}$ [/mm] verstehe ich zunächst einmal wörtlich und nicht per irgendeiner Identifizierung. Aber du hast damit völlig recht, dass bei Konstruktionen für Existenzbeweise von Körpererweiterungen üblicherweise mit Identifizierungen gearbeitet wird.
(Um zu einem Beweis der wörtlichen Behauptung zu kommen, muss man dann noch "umbenennen" (was damit gemeint ist, ließe sich problemlos präzisieren). Der Beweis der Existenz einer entsprechenden Umbenennung scheint mir übrigens für einen Nicht-Mengenlehre-Vertrauten überraschend kompliziert zu sein.)
> Wenn ich aber K habe, kann ich L (bis auf Isomoprhie)
> erzeugen durch Adjungation (nicht endliche!) von
> Nullstellen. Dann nehme ich den Unterkörper vom alg.
> Abschluss, der mir durch die Min.polynome gegeben wird, und
> somit [m]K\subset L\subset \overline{K}[/m] hat.
Wenn ich deine Vorgehensweise richtig verstanden habe, bezeichnest du hier einen Unterkörper von [mm] $\overline{K}$ [/mm] mit L, der stets normal über K ist, selbst wenn es der ursprüngliche Körper L nicht war! K-isomorph sind die beiden von dir mit L bezeichneten Körper somit i.A. schon mal nicht; z.B. für [mm] $K=\IQ$ [/mm] sind sie daher nicht einmal isomorph.
> Ich gebe hier auch mal ein Bsp.: es gibt (Auswahlaxiom, ich
> kenne einen Beweis leider nicht) Automorphismen von [m]\IC[/m],
> die die rellen zahlen bewegen. Dh man kann über [m]\IC[/m] auch
> nicht von den reellen Zahlen sprechen, [m]\IR\subset \IC[/m]
> identifiziert eben die reellen Zahlen mit einem bestimmten
> Unterkörper.
Nach der Definition der komplexen Zahlen wird üblicherweise genau erklärt, welche komplexen Zahlen mit welchen reellen Zahlen identifiziert werden sollen. In diesem Sinne sind die komplexen Zahlen, die wir als reell auffassen, schon eindeutig bestimmt.
> Es geht hier einfach um die Frage ob der alg.
> Abschluss von K auch einer von L ist (ist er)
Wörtlich genommen ist er das nicht. Erst durch geeignete Uminterpretation ("lässt sich identifizieren mit einem ..., der") wird diese Aussage richtig.
Aber unabhängig davon habe ich sowohl bei der Formulierung "DER algebraische Abschluss" als auch mit der Formulierung, er SEI ein algebraischer Abschluss von L, große Bauchschmerzen. Darauf komme ich weiter unten zu sprechen.
> In Wahrheit finde ich die Mengenschreibweise in jedem Fall
> nicht so prickelnd - ich habe sie immer als "injektiv
> einbettbar" interpretiert.
Ich glaube, wenn du dir über die Konsequenzen im Klaren wärst, würdest du nicht diese Interpretation nehmen wollen. Zunächst zur Sicherheit: Eine Körpererweiterung ist für dich also ein Paar (K,L), wobei K und L Körper sind, so dass mindestens ein Körperhomomorphismus [mm] $K\to [/mm] L$ existiert?
Dann kannst du ziemlich alle Begriffe aus der Standard-Theorie der Körpererweiterungen nicht mehr sinnvoll definieren! Beispiel "algebraisch": Je nachdem, für welchen Homomorphismus [mm] $\phi:K\to [/mm] L$ man sich entscheiden würde, könnte L mal algebraisch und mal transzendent über dem Bild von K unter [mm] $\phi$ [/mm] sein.
Wenn du [mm] $\subset$ [/mm] für Untervektorräume analog interpretieren würdest, wäre z.B. [mm] $U:=\{f:\IR\to\IR\}$ [/mm] ein Untervektorraum des Vektorraumes [mm] $V:=\{f:\IR\to\IR\;|\;f(0)=0\}$ [/mm] (nein, ich habe hier nicht die beiden Räume vertauscht, das ist genau so beabsichtigt).
> Im Übrigen war mir diese Notationsproblematik klar - aber
> ich wollte diese Büchse der Pandorra nicht öffnen und dne
> OP verwirren.
Ich halte es eher für verwirrend, Identifizierungen zu verschweigen. Man stelle sich mal vor, ich würde einem Erstsemestler erklären, dass obiges U ein Untervektorraum von V sei und ihm dabei verschweigen, dass ich das nicht wörtlich meine, "um ihn nicht zu verwirren"!
Zurück zu Körpern: Man sollte (auch laut Bosch) nicht von DEM algebraischen Abschluss eines Körpers K reden, da keine kanonischen K-Isomorphismen zwischen den algebraischen Abschlüssen existieren.
Genauso wie man nicht von DEM n-dimensionalen K-Vektorraum sprechen sollte.
Ein Versuch der Abhilfe für das Problem, dass bei der von dir vorgeschlagenen Interpretation einer Körpererweiterung die Standard-Theorie nicht mehr funktionieren würde:
Unter einer Körpererweiterung könnte man ein Paar $(K,L)$ von Körpern ZUSAMMEN mit EINEM Körperhomomorphismus [mm] $K\to [/mm] L$ verstehen.
(Ähnlich wie ein Vektorraum eben nicht eine Menge ist, für die + und * existieren mit ..., sondern eine Menge zusammen mit + und *, so dass ...
Es würde ja z.B. niemand einfach so von DEM [mm] $\IQ$-Vektorraum $\IZ$ [/mm] sprechen, obwohl es viele Wahlen von + und * gibt, die [mm] $\IZ$ [/mm] zu einem [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] machen.)
In diesem Sinne kann man in der Situation [mm] $K\subset [/mm] L$ algebraisch und [mm] $\overline{K}$ [/mm] ein algebraischer Abschluss von K sagen, dass mindestens eine Struktur von [mm] $\overline{K}$ [/mm] als Körpererweiterung von L existiert, bezüglich der [mm] $\overline{K}$ [/mm] ein algebraischer Abschluss von L ist.
(So wie man nicht sagen würde, dass [mm] $\IZ$ [/mm] ein [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] SEI, sondern er mit einer Struktur als [mm] $\IQ$-Vektorraum [/mm] versehen werden könne.)
Auch bei meinem Versuch, den Begriff der Körpererweiterung zu verallgemeinern, müsste man in Kauf nehmen, dass nicht alle nützlichen Zusammenhänge erhalten bleiben:
Z.B. kann man mit der gewöhnlichen wörtlichen Definition einer Körpererweiterung, um zu zeigen, dass eine Körpererweiterung [mm] $K\subset [/mm] L$ algebraisch ist, einen Körper M mit [mm] $K\subset [/mm] M$ und [mm] $M\subset [/mm] L$ angeben, so dass [mm] $K\subset [/mm] M$ und [mm] $M\subset [/mm] L$ algebraisch sind.
Bei der von mir angegebenen verallgemeinerten Definition des Begriffs Körpererweiterung gilt das i.A. nur noch unter der zusätzlichen Bedingung, dass die drei Körpererweiterungs-Strukturen miteinander verträglich sind.
Zusammenfassung: Deine Interpretation von Körpererweiterung halte ich nicht für vertretbar. Eine "Zwischenform" zwischen der gewöhnlichen wörtlichen und deiner Interpretation ist möglich, allerdings muss man dann eben immer aufpassen, welche Zusammenhänge gültig bleiben.
Würde mich über jede Reaktion, auch zu einem späteren Zeitpunkt, freuen!
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:59 Mo 31.05.2010 | | Autor: | SEcki |
> So, jetzt endlich hierzu. Danke, dass du dir trotz knapper
> Zeit Zeit genommen und deine Meinung geäußert hast!
Kein Problem. Ich möchte hier allerdings vorrausschicken, dass ich das meiste hiervon für Semantik halte (bzw. Didaktik), die ich für mich tatsächlich nicht erbauend oder erhellend finde. Ein großer Teil deiner Bemerkungen sind mir daher egal - und zwar in dem Sinne, dass es schon alles okay sein kann, und vielleicht sogar richtiger oder präziser ist, aber es einfach ein Teil ist der mich nicht besonders beschäftigt. Verzeihe mir daher auch irgendwelche ironischen Scherzerein - sie sind nicht böse gemeint.
> [mm]K\subset \overline{K}[/mm] verstehe ich zunächst einmal
> wörtlich und nicht per irgendeiner Identifizierung. Aber
> du hast damit völlig recht, dass bei Konstruktionen für
> Existenzbeweise von Körpererweiterungen üblicherweise mit
> Identifizierungen gearbeitet wird.
Was meinst du mit wörtlich denn hier genau?
> (Um zu einem Beweis der wörtlichen Behauptung zu kommen,
> muss man dann noch "umbenennen" (was damit gemeint ist,
> ließe sich problemlos präzisieren). Der Beweis der
> Existenz einer entsprechenden Umbenennung scheint mir
> übrigens für einen Nicht-Mengenlehre-Vertrauten
> überraschend kompliziert zu sein.)
Funktioniert aber wohl. So low level wollte ich eigentlich nie Mathematik machen, hört sich fast nach Assembler an.^^
> Wenn ich deine Vorgehensweise richtig verstanden habe,
> bezeichnest du hier einen Unterkörper von [mm]\overline{K}[/mm] mit
> L, der stets normal über K ist, selbst wenn es der
> ursprüngliche Körper L nicht war!
Wieso normal? Das soll kein Zerf.körper sein ...
> welche komplexen Zahlen mit
> welchen reellen Zahlen identifiziert werden sollen. In
> diesem Sinne sind die komplexen Zahlen, die wir als reell
> auffassen, schon eindeutig bestimmt.
Weil man vorher Sachen fixiert und ausgezeichnet hat. Kann man machen, aber genauso für [m]K\subset L\subset \overline{K}[/m].
> Wörtlich genommen ist er das nicht. Erst durch geeignete
> Uminterpretation ("lässt sich identifizieren mit einem
> ..., der") wird diese Aussage richtig.
Das reicht mir völlig.
> > In Wahrheit finde ich die Mengenschreibweise in jedem Fall
> > nicht so prickelnd - ich habe sie immer als "injektiv
> > einbettbar" interpretiert.
> Ich glaube, wenn du dir über die Konsequenzen im Klaren
> wärst, würdest du nicht diese Interpretation nehmen
> wollen. Zunächst zur Sicherheit: Eine Körpererweiterung
> ist für dich also ein Paar (K,L), wobei K und L Körper
> sind, so dass mindestens ein Körperhomomorphismus [mm]K\to L[/mm]
> existiert?
Na gut, schon mit einer injektiven EInbettung ausgezeichnet, so dass ich weiß, welches K ich nehmen muss.
> Dann kannst du ziemlich alle Begriffe aus der
> Standard-Theorie der Körpererweiterungen nicht mehr
> sinnvoll definieren! Beispiel "algebraisch": Je nachdem,
> für welchen Homomorphismus [mm]\phi:K\to L[/mm] man sich
> entscheiden würde, könnte L mal algebraisch und mal
> transzendent über dem Bild von K unter [mm]\phi[/mm] sein.
Interessant hast du ein Bsp.?
> Wenn du [mm]\subset[/mm] für Untervektorräume analog
> interpretieren würdest, wäre z.B. [mm]U:=\{f:\IR\to\IR\}[/mm] ein
> Untervektorraum des Vektorraumes
> [mm]V:=\{f:\IR\to\IR\;|\;f(0)=0\}[/mm] (nein, ich habe hier nicht
> die beiden Räume vertauscht, das ist genau so
> beabsichtigt).
Dir ist schon klar, dass sich das vor allem auf die Schreibweise hier in der Algebra bezieht?
> Ich halte es eher für verwirrend, Identifizierungen zu
> verschweigen. Man stelle sich mal vor, ich würde einem
> Erstsemestler erklären, dass obiges U ein Untervektorraum
> von V sei und ihm dabei verschweigen, dass ich das nicht
> wörtlich meine, "um ihn nicht zu verwirren"!
Hier gibt es ja eine "kanonische" Identifizierung.
> Zurück zu Körpern: Man sollte (auch laut Bosch) nicht von
> DEM algebraischen Abschluss eines Körpers K reden, da
> keine kanonischen K-Isomorphismen zwischen den
> algebraischen Abschlüssen existieren.
Aber wenn man so pedantisch ist, sollte man sich über [m]K\subset \overline{K}[/m] auch die gleichen Gedanken machen ... mehr will ich aj nicht anmerken.
> Genauso wie man nicht von DEM n-dimensionalen K-Vektorraum
> sprechen sollte.
Vielleicht nicht. Mich hat es bisher nicht behindert, wenn ich nur die VR Struktur habe (nicht mehr) und keine Zusatzstrukturen, dies mir als ein VR zu denken - man kan ja alles dann identifizieren.
> Ein Versuch der Abhilfe für das Problem, dass bei der von
> dir vorgeschlagenen Interpretation einer Körpererweiterung
> die Standard-Theorie nicht mehr funktionieren würde:
> Unter einer Körpererweiterung könnte man ein Paar [mm](K,L)[/mm]
> von Körpern ZUSAMMEN mit EINEM Körperhomomorphismus [mm]K\to L[/mm]
> verstehen.
Klar, es gibt eine Einbettung, die irgendwie ist. Aber sie gibt es und wird fixiert.
Der Punkt sit für mich vor allem der: Normalerweise interssiert einen ja in [m]K\subset L[/m] das K - soll heissen: man geht von K aus und konstruiert sich einen Oberkörper L (manchmal hat man L gegeben, sei's drum). Dh irgendwo wird einmal identifiziert, zB bei der Adjunktion von Nullstellen. Auf der andren Seite, wenn man von L ausgeht, fixiert man einen bestimmten Unterkörper in L, der dann K ist. Es könnte natürlich noch andere Unterkörper isomoprh zu K geben. A priori wüsste man das nicht - das kommt iwo anders her. Genauso wie in den komplexen Zahlen: welche zahlen jetzt reell zauberst du daher, wie du die komplexen Zahlen definierst, also hast du Zusatzinfos, wie du etwas kanoisch Einbetten kannst.
Und hier meine gewagte These eben: einen über K algebraischen Körper L erhalte ich durch Adjunktion von Nullstellen (im Zweifel durch Lemma von Zorn für unendlich viele). Dh ich kann [m]K\subset L [/m] nehmen, und dann L als Adjunktion von Nullstellen darstellen. Durch die Aufzählung von Minimalpolynomen identifiziere ich dann L eindeutig im alg. Abschluss.
> Bei der von mir angegebenen verallgemeinerten Definition
> des Begriffs Körpererweiterung gilt das i.A. nur noch
> unter der zusätzlichen Bedingung, dass die drei
> Körpererweiterungs-Strukturen miteinander verträglich
> sind.
Das sollte so sein.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:09 So 06.06.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo SEcki,
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") für die verspätete Reaktion!
> Ich möchte hier allerdings vorrausschicken,
> dass ich das meiste hiervon für Semantik halte (bzw.
> Didaktik), die ich für mich tatsächlich nicht erbauend
> oder erhellend finde. Ein großer Teil deiner Bemerkungen
> sind mir daher egal - und zwar in dem Sinne, dass es schon
> alles okay sein kann, und vielleicht sogar richtiger oder
> präziser ist, aber es einfach ein Teil ist der mich nicht
> besonders beschäftigt.
Umso netter von dir, dass du dich trotzdem darauf eingelassen hast! 
> Verzeihe mir daher auch
> irgendwelche ironischen Scherzerein - sie sind nicht böse
> gemeint.
Alles o.k.!
> > (Um zu einem Beweis der wörtlichen Behauptung zu kommen,
> > muss man dann noch "umbenennen" [...] Der Beweis der
> > Existenz einer entsprechenden Umbenennung scheint mir
> > übrigens für einen Nicht-Mengenlehre-Vertrauten
> > überraschend kompliziert zu sein.)
>
> Funktioniert aber wohl. So low level wollte ich eigentlich
> nie Mathematik machen, hört sich fast nach Assembler
> an.^^
Vielleicht überrasche ich ein wenig damit, aber ich finde diesen Vergleich richtig gut und passend! An ihm wird deutlich, worin sich unsere Mathe-Interessen unterscheiden. Allerdings interessiere ich mich in diesem Bild gesprochen nicht dafür, alltägliche Computerprogramme in Assembler zu schreiben, sondern dafür, mithilfe von Assembler Programmiersprachen zu entwickeln, mit denen sich dann bequem programmieren lässt.
Jeder Programmierer erzeugt Assembler, nur halt unter geschickter Ausnutzung von bereits geleisteten Vorarbeiten, nämlich der Entwicklung von Programmiersprachen (ich hoffe, das stimmt so, bin kein Informatiker). So einfach ein Algorithmus auch aussehen mag: Hinter seiner Umsetzung auf einem Computer stecken typischerweise Millionen Bits. Und wie viele solcher Algorithmen stecken hinter den alltäglichen Programmen und Betriebssystemen? Durch das Konzept der Modularisierung gelingt es in der Informatik, diese schier unglaubliche Komplexität in den Griff zu kriegen. Faszinierend, oder?
Manche Gebiete der Informatik benötigen die Implementierung von Programmiersprachen mithilfe von Assembler gar nicht; so könnte man z.B. Algorithmen beschreiben, ohne dass je eine Programmiersprache implementiert oder auch nur entworfen worden wäre. Trotzdem möchte wohl kein Informatiker das Gefühl missen, ein lauffähiges Programm geschaffen zu haben.
Genauso wie man auch ohne Assembler bzw. ohne implementierte Programmiersprachen Informatik betreiben kann, kann man Mathematik betreiben, ohne alles auf die unterste logische Ebene herunterzubrechen. Aber wäre es nicht noch viel schöner, wenn man ohne große Anstrengung alltägliche mathematische Überlegungen auf sauber mithilfe exakt benannter Axiome bewiesenes Grundlagenwissen zurückgeführen könnte?
Sicherlich eine höchst subjektive Frage, ob man meinem "Schönheitsideal" folgt. Aus meiner Sicht jedenfalls wäre eine praktikable exakte Grundlegung ein ungleich größerer Fortschritt in der Mathematik, als wenn zu den 347.571 schon bewiesenen nichttrivialen Sätzen ein 347.572er hinzukommt.
Auf zwei mögliche Einwände gegen den Wunsch einer solchen Grundlegung möchte ich noch eingehen: Sie sei trivial und sie sei nutzlos.
Zur behaupteten Trivialität: Weder bei einer Implementierung einer Programmiersprache in Assembler noch bei einer praktikablen exakten Grundlegung der Mathematik kann ich abschätzen, ob und in welchem Maße sie nichttriviale Einzelprobleme beinhalten (vermutlich an einzelnen Stellen). Auch viele im Alltag programmierte Computerprogramme enthalten wohl keine wer weiß wie schwierigen Einzelprobleme. Aber durch konsequente Modularisierung überhaupt diese Gesamtkomplexität in den Griff zu bekommen zum Einen und Qualitätsanforderungen (im Beispiel Mathematik-Grundlegung insbesondere die Praktikabilität für den Anwender) zu genügen zum Anderen, halte ich nicht für trivial.
Zum Nutzen: Hier haben es Informatiker, die Implementierungen von Programmiersprachen befürworten, leicht: Es käme wohl niemand auf die Idee, den Nutzen infragezustellen; sonst könnten Computer eben nicht das, was sie heute können. Einen solchen konkreten Nutzen einer wie von mir gewünschten mathematischen Grundlegung kann ich nicht benennen. Ich würde ihr einfach eine subjektive Schönheit zurechnen, wie andere Menschen z.B. Kunst Schönheit zurechnen (ebenfalls, ohne einen konkreten Nutzen nennen zu können). Das Problem, keinen konkreten praktischen Nutzen ihrer mathematischen Ziele nennen zu können, haben aber fast alle Mathematiker!
Solange mein Wunsch einer anerkannten und weitgehend verwendeten praktikablen exakten Grundlegung der Mathematik nicht verwirklicht ist, wünsche ich mir zumindest ein ehrliches Eingestehen der Mathematiker: Die heute verbreitete Mathematik genügt nicht einem Maximum an Exaktheitsansprüchen. Wir können nicht behaupten, frühere Generationen hätten unexakte Mathematik betrieben, während die heutige Mathematik exakt sei. Wir arbeiten nur (deutlich) weniger unexakt als frühere Generationen.
Soweit mein Wort zum Sonntag; zurück zu den Körpererweiterungen... 
> > [mm]K\subset \overline{K}[/mm] verstehe ich zunächst einmal
> > wörtlich und nicht per irgendeiner Identifizierung.
> Was meinst du mit wörtlich denn hier genau?
Die Menge K ist Teilmenge der Menge [mm] $\overline{K}$. [/mm] (Alternativ: K ist ein Teilkörper von [mm] $\overline{K}$, [/mm] was nach wörtlichem Verständnis die Teilmengenbeziehung impliziert.)
> > Wenn ich deine Vorgehensweise richtig verstanden habe,
> > bezeichnest du hier einen Unterkörper von [mm]\overline{K}[/mm] mit
> > L, der stets normal über K ist, selbst wenn es der
> > ursprüngliche Körper L nicht war!
>
> Wieso normal? Das soll kein Zerf.körper sein ...
Dann habe ich dein Vorgehen falsch verstanden. Könntest du es noch einmal erläutern? Du beschriebst dein Vorgehen so:
> > > Wenn ich aber K habe, kann ich L (bis auf Isomoprhie) erzeugen
> > > durch Adjungation (nicht endliche!) von Nullstellen. Dann nehme ich
> > > den Unterkörper vom alg. Abschluss, der mir durch die Min.polynome
> > > gegeben wird, und somit [m]K\subset L\subset \overline{K}[/m] hat.
Das hatte ich so verstanden, dass du den Unterkörper des algebraischen Abschlusses nimmst, den du durch Adjunktion SÄMTLICHER Nullstellen der betrachteten Minimalpolynome im algebraischen Abschluss erhältst. Dann hättest du natürlich einen Zerfällungskörper über K.
> > welche komplexen Zahlen mit
> > welchen reellen Zahlen identifiziert werden sollen. In
> > diesem Sinne sind die komplexen Zahlen, die wir als reell
> > auffassen, schon eindeutig bestimmt.
>
> Weil man vorher Sachen fixiert und ausgezeichnet hat. Kann
> man machen, aber genauso für [m]K\subset L\subset \overline{K}[/m].
Man definiert üblicherweise [mm] $\IC:=\IR^2$, [/mm] dann + und * auf [mm] $\IC$. [/mm] Dann hat man einen kanonischen Körpermonomorphismus [mm] $\IR\to\IC,x\mapsto(x,0)$. [/mm] Um in der allgemeinen Situation an einen Körpermonomorphismus [mm] $L\to\overline{K}$ [/mm] zu gelangen, sind dagegen nichtkanonische Wahlen nötig (vermutlich geht es nicht einmal ohne Auswahlaxiom).
> > Beispiel "algebraisch": Je nachdem,
> > für welchen Homomorphismus [mm]\phi:K\to L[/mm] man sich
> > entscheiden würde, könnte L mal algebraisch und mal
> > transzendent über dem Bild von K unter [mm]\phi[/mm] sein.
>
> Interessant hast du ein Bsp.?
[mm] $K=L=\IR(X_n,n\in\IN)$ [/mm] (Quotientenkörper des Polynomrings in abzählbar unendlich vielen Variablen über [mm] $\IR$). [/mm] Unter der Identität [mm] $K\to [/mm] L$ ist L algebraisch über K, unter dem durch [mm] $X_n\mapsto X_{n+1}$ [/mm] gegebenen Homomorphismus [mm] $K\to [/mm] L$ dagegen transzendent.
> > Wenn du [mm]\subset[/mm] für Untervektorräume analog
> > interpretieren würdest, wäre z.B. [mm]U:=\{f:\IR\to\IR\}[/mm] ein
> > Untervektorraum des Vektorraumes
> > [mm]V:=\{f:\IR\to\IR\;|\;f(0)=0\}[/mm] (nein, ich habe hier nicht
> > die beiden Räume vertauscht, das ist genau so
> > beabsichtigt).
>
> Dir ist schon klar, dass sich das vor allem auf die
> Schreibweise hier in der Algebra bezieht?
Du plädierst also dafür, manche "Teilstrukturbegriffe" (z.B. Untergruppe, Untervektorraum, Teilkörper, ...) wörtlich und andere nicht wörtlich zu interpretieren?
> > Ich halte es eher für verwirrend, Identifizierungen zu
> > verschweigen. Man stelle sich mal vor, ich würde einem
> > Erstsemestler erklären, dass obiges U ein Untervektorraum
> > von V sei und ihm dabei verschweigen, dass ich das nicht
> > wörtlich meine, "um ihn nicht zu verwirren"!
>
> Hier gibt es ja eine "kanonische" Identifizierung.
Mit hier meinst du die Körpersituation, oder? Es gibt gerade KEINE kanonische Einbettung von L in [mm] $\overline{K}$! [/mm] Das ist ja der springende Punkt, wegen dem ich eine solche Identifizierung ablehne.
> > Zurück zu Körpern: Man sollte (auch laut Bosch) nicht von
> > DEM algebraischen Abschluss eines Körpers K reden, da
> > keine kanonischen K-Isomorphismen zwischen den
> > algebraischen Abschlüssen existieren.
>
> Aber wenn man so pedantisch ist, ...
Bin inzwischen unschlüssig, ob man die Rede von DEM algebraischen Abschluss nicht doch irgendwie noch durchgehen lassen sollte. Man muss dann jedenfalls bei Schlussfolgerungen aufpassen.
> ... sollte man sich über
> [m]K\subset \overline{K}[/m] auch die gleichen Gedanken machen ...
> mehr will ich aj nicht anmerken.
Solange man davor schreibt, "Sei [mm] $\overline{K}$ [/mm] ein algebraischer Abschluss von K.", (oder dies als Konvention voraussetzt), sehe ich keine Probleme.
> Der Punkt sit für mich vor allem der: Normalerweise
> interssiert einen ja in [m]K\subset L[/m] das K - soll heissen:
> man geht von K aus und konstruiert sich einen Oberkörper L
> (manchmal hat man L gegeben, sei's drum). Dh irgendwo wird
> einmal identifiziert, zB bei der Adjunktion von
> Nullstellen. Auf der andren Seite, wenn man von L ausgeht,
> fixiert man einen bestimmten Unterkörper in L, der dann K
> ist. Es könnte natürlich noch andere Unterkörper
> isomoprh zu K geben. A priori wüsste man das nicht - das
> kommt iwo anders her. Genauso wie in den komplexen Zahlen:
> welche zahlen jetzt reell zauberst du daher, wie du die
> komplexen Zahlen definierst, also hast du Zusatzinfos, wie
> du etwas kanoisch Einbetten kannst.
Ja. Und in unserer Situation haben wir keine Zusatzinfo, wie wir L kanonisch in [mm] $\overline{K}$ [/mm] einbetten können.
> Und hier meine gewagte These eben: einen über K
> algebraischen Körper L erhalte ich durch Adjunktion von
> Nullstellen (im Zweifel durch Lemma von Zorn für unendlich
> viele). Dh ich kann [m]K\subset L[/m] nehmen, und dann L als
> Adjunktion von Nullstellen darstellen. Durch die
> Aufzählung von Minimalpolynomen identifiziere ich dann L
> eindeutig im alg. Abschluss.
Eben nicht eindeutig: Du musst Nullstellen im algebraischen Abschluss willkürlich auswählen.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:23 Mo 07.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin,
> [...]
>
> Solange mein Wunsch einer anerkannten und weitgehend
> verwendeten praktikablen exakten Grundlegung der Mathematik
> nicht verwirklicht ist, wünsche ich mir zumindest ein
> ehrliches Eingestehen der Mathematiker: Die heute
> verbreitete Mathematik genügt nicht einem Maximum an
> Exaktheitsansprüchen. Wir können nicht behaupten,
> frühere Generationen hätten unexakte Mathematik
> betrieben, während die heutige Mathematik exakt sei. Wir
> arbeiten nur (deutlich) weniger unexakt als frühere
> Generationen.
Ich finde schon, dass du da Recht hast :) Es gibt auch heutzutage sicher einige Mathematiker, die nicht mehr exakter arbeiten als manche der Mathematiker "damals".
> > > welche komplexen Zahlen mit
> > > welchen reellen Zahlen identifiziert werden sollen. In
> > > diesem Sinne sind die komplexen Zahlen, die wir als reell
> > > auffassen, schon eindeutig bestimmt.
> >
> > Weil man vorher Sachen fixiert und ausgezeichnet hat. Kann
> > man machen, aber genauso für [m]K\subset L\subset \overline{K}[/m].
>
> Man definiert üblicherweise [mm]\IC:=\IR^2[/mm], dann + und * auf
> [mm]\IC[/mm]. Dann hat man einen kanonischen Körpermonomorphismus
> [mm]\IR\to\IC,x\mapsto(x,0)[/mm]. Um in der allgemeinen Situation an
> einen Körpermonomorphismus [mm]L\to\overline{K}[/mm] zu gelangen,
> sind dagegen nichtkanonische Wahlen nötig (vermutlich geht
> es nicht einmal ohne Auswahlaxiom).
Man kann hier noch bemerken, dass der Koerpermonomorphismus nicht nur kanonisch von der Konstruktion abhaengt: es gibt genau einen Homomorphismus [mm] $\IR \to \IC$. [/mm] Damit gibt es auch genau eine Moeglichkeit, [mm] $\IC$ [/mm] als Koerpererweiterung von [mm] $\IR$ [/mm] aufzufassen.
Im Allgemeinen (bei anderen Erweiterungen) ist das jedoch nicht so Bei Erweiterungen von [mm] $\IF_p$, $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IR$ [/mm] jedoch schon.
> > > Beispiel "algebraisch": Je nachdem,
> > > für welchen Homomorphismus [mm]\phi:K\to L[/mm] man sich
> > > entscheiden würde, könnte L mal algebraisch und mal
> > > transzendent über dem Bild von K unter [mm]\phi[/mm] sein.
> >
> > Interessant hast du ein Bsp.?
> [mm]K=L=\IR(X_n,n\in\IN)[/mm] (Quotientenkörper des Polynomrings
> in abzählbar unendlich vielen Variablen über [mm]\IR[/mm]). Unter
> der Identität [mm]K\to L[/mm] ist L algebraisch über K, unter dem
> durch [mm]X_n\mapsto X_{n+1}[/mm] gegebenen Homomorphismus [mm]K\to L[/mm]
> dagegen transzendent.
Hier ist es vermutlich wesentlich, dass die Koerper nicht endlich (ueber ihrem Primkoerper) erzeugt sind.
> > > Ich halte es eher für verwirrend, Identifizierungen zu
> > > verschweigen. Man stelle sich mal vor, ich würde einem
> > > Erstsemestler erklären, dass obiges U ein Untervektorraum
> > > von V sei und ihm dabei verschweigen, dass ich das nicht
> > > wörtlich meine, "um ihn nicht zu verwirren"!
> >
> > Hier gibt es ja eine "kanonische" Identifizierung.
> Mit hier meinst du die Körpersituation, oder? Es gibt
> gerade KEINE kanonische Einbettung von L in [mm]\overline{K}[/mm]!
Wenn man $L$ und [mm] $\overline{K}$ [/mm] als $K$-Algebren auffasst, kann es eine solche kanonische Einbettung sehr wohl geben (etwa wenn $L/K$ normal ist) -- wobei es dann eine $K$-Einbettung sein sollte. Und bei manchen Koerpern (wie [mm] $\IF_p$, $\IQ$ [/mm] und [mm] $\IR$) [/mm] kann es trotzdem eine kanonische Einbettung geben. Aber im Allgemeinen hast du schon Recht :)
> Das ist ja der springende Punkt, wegen dem ich eine solche
> Identifizierung ablehne.
Ich finde solche Identifizierungen OK, wenn man vorher sagt was man meint; z.B. "Sei von nun eine Einbettung $L [mm] \to \overline{K}$ [/mm] fest gewaehlt und per dieser $L$ als Unterkoerper von [mm] $\overline{K}$ [/mm] aufgefasst", oder auch etwas kuerzer gefasst
> > > Zurück zu Körpern: Man sollte (auch laut Bosch) nicht von
> > > DEM algebraischen Abschluss eines Körpers K reden, da
> > > keine kanonischen K-Isomorphismen zwischen den
> > > algebraischen Abschlüssen existieren.
> >
> > Aber wenn man so pedantisch ist, ...
> Bin inzwischen unschlüssig, ob man die Rede von DEM
> algebraischen Abschluss nicht doch irgendwie noch
> durchgehen lassen sollte. Man muss dann jedenfalls bei
> Schlussfolgerungen aufpassen.
Ich finde, dass man sehr wohl von DEM algebraischen Abschluss eines Koerpers reden darf. Aufpassen muss man erst, wenn man andere Koerper mit diesem in Verbindung bringen will/muss.
> > Und hier meine gewagte These eben: einen über K
> > algebraischen Körper L erhalte ich durch Adjunktion von
> > Nullstellen (im Zweifel durch Lemma von Zorn für unendlich
> > viele). Dh ich kann [m]K\subset L[/m] nehmen, und dann L als
> > Adjunktion von Nullstellen darstellen. Durch die
> > Aufzählung von Minimalpolynomen identifiziere ich dann L
> > eindeutig im alg. Abschluss.
> Eben nicht eindeutig: Du musst Nullstellen im
> algebraischen Abschluss willkürlich auswählen.
Genau; es sei denn $L/K$ ist normal.
Oh, und noch ein Beispiel, wo man bei Identifikationen in Teufels Kueche geraten kann: man zeigt ja recht einfach (ueber Zerfaellungskoerper), dass es zu jeder Potenz $q = [mm] p^n$ [/mm] einer Primzahl $p$ einen (bis auf Isomorphie eindeutigen) endlichen Koerper [mm] $\IF_q$ [/mm] der Kardinalitaet $q$ finden kann. Ebenso kann man zeigen, dass es genau dann eine Einbettung [mm] $\IF_{p^n} \to \IF_{p^m}$ [/mm] gibt, wenn $n$ ein Teiler von $m$ ist. Jetzt kann man den algebraischen Abschluss von [mm] $\IF_p$ [/mm] ganz salopp als [mm] $\bigcup_{n\in\IN} \IF_{p^n}$ [/mm] schreiben -- hat aber das riesige Probem: wie bettet man alles in einander ein? Wenn man [mm] $\overline{\IF_p}$ [/mm] gegeben hat, ist das nicht so schwer (da die einzelnden Erweiterungen normal sind) -- aber was ist, wenn man [mm] $\overline{\IF_p}$ [/mm] so konstruieren will? Man koennte natuerlich das [mm] $\bigcup$ [/mm] als den injektive Limes [mm] $\varinjlim \IF_{p^n}$ [/mm] auffassen (wobei man auf [mm] $\IN$ [/mm] die durch die Teilbarkeit gegebene partielle Ordnung nimmt). Aber dann muss man immer noch genau aufpassen, wie man eigentlich die ganzen Einbettungen [mm] $\IF_{p^n} \to \IF_{p^m}$ [/mm] waehlt, damit man ein injektives System bekommt. Und das, obwohl mit jeder Wahl der Einbettung [mm] $\IF_{p^m} [/mm] / [mm] \IF_{p^n}$ [/mm] normal ist.
Frueher oder spaeter kommt man meist zum Schluss, dass man zuerst [mm] $\overline{\IF_p}$ [/mm] konstruiert, alles darin eindeutig einbettet, und dann [mm] $\overline{\IF_p} [/mm] = [mm] \bigcup_{n\in\IN} \IF_{p^n}$ [/mm] schreibt -- alles andere ist wesentlich komplizierter
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mi 09.06.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hi Felix,
danke für deinen interessanten Beitrag!
> > Solange mein Wunsch einer anerkannten und weitgehend
> > verwendeten praktikablen exakten Grundlegung der Mathematik
> > nicht verwirklicht ist, wünsche ich mir zumindest ein
> > ehrliches Eingestehen der Mathematiker: Die heute
> > verbreitete Mathematik genügt nicht einem Maximum an
> > Exaktheitsansprüchen. Wir können nicht behaupten,
> > frühere Generationen hätten unexakte Mathematik
> > betrieben, während die heutige Mathematik exakt sei. Wir
> > arbeiten nur (deutlich) weniger unexakt als frühere
> > Generationen.
>
> Ich finde schon, dass du da Recht hast :) Es gibt auch
> heutzutage sicher einige Mathematiker, die nicht mehr
> exakter arbeiten als manche der Mathematiker "damals".
Und das aus dem Munde eines promovierten Mathematikers! Hätte ich nicht für möglich gehalten...
> > Man definiert üblicherweise [mm]\IC:=\IR^2[/mm], dann + und * auf
> > [mm]\IC[/mm]. Dann hat man einen kanonischen Körpermonomorphismus
> > [mm]\IR\to\IC,x\mapsto(x,0)[/mm].
> > [...]
> Man kann hier noch bemerken, dass der Koerpermonomorphismus
> nicht nur kanonisch von der Konstruktion abhaengt: es gibt
> genau einen Homomorphismus [mm]\IR \to \IC[/mm]. Damit gibt es auch
> genau eine Moeglichkeit, [mm]\IC[/mm] als Koerpererweiterung von [mm]\IR[/mm]
> aufzufassen.
Diese Aussage passt widerspricht übrigens SEckis Aussage aus https://matheraum.de/read?i=687639:
> Ich gebe hier auch mal ein Bsp.: es gibt (Auswahlaxiom, ich kenne einen
> Beweis leider nicht) Automorphismen von [m]\IC[/m], die die rellen
> zahlen bewegen.
Wie dem auch sei; diese Frage ist für mich ohnehin nicht so wichtig, weil ich so oder so von der Existenz einer kanonischen Einbettung ausgehe.
> > > Hier gibt es ja eine "kanonische" Identifizierung.
> > Mit hier meinst du die Körpersituation, oder? Es gibt
> > gerade KEINE kanonische Einbettung von L in [mm]\overline{K}[/mm]!
> [...]
> > Das ist ja der springende Punkt, wegen dem ich eine solche
> > Identifizierung ablehne.
>
> Ich finde solche Identifizierungen OK, wenn man vorher sagt
> was man meint; z.B. "Sei von nun eine Einbettung [mm]L \to \overline{K}[/mm]
> fest gewaehlt und per dieser [mm]L[/mm] als Unterkoerper von
> [mm]\overline{K}[/mm] aufgefasst", oder auch etwas kuerzer gefasst
>
Damit bin ich völlig einverstanden.
> Oh, und noch ein Beispiel, wo man bei Identifikationen in
> Teufels Kueche geraten kann: man zeigt ja recht einfach
> (ueber Zerfaellungskoerper), dass es zu jeder Potenz [mm]q = p^n[/mm]
> einer Primzahl [mm]p[/mm] einen (bis auf Isomorphie eindeutigen)
> endlichen Koerper [mm]\IF_q[/mm] der Kardinalitaet [mm]q[/mm] finden kann.
> Ebenso kann man zeigen, dass es genau dann eine Einbettung
> [mm]\IF_{p^n} \to \IF_{p^m}[/mm] gibt, wenn [mm]n[/mm] ein Teiler von [mm]m[/mm] ist.
> Jetzt kann man den algebraischen Abschluss von [mm]\IF_p[/mm] ganz
> salopp als [mm]\bigcup_{n\in\IN} \IF_{p^n}[/mm] schreiben -- hat
> aber das riesige Probem: wie bettet man alles in einander
> ein? Wenn man [mm]\overline{\IF_p}[/mm] gegeben hat, ist das nicht
> so schwer (da die einzelnden Erweiterungen normal sind) --
> aber was ist, wenn man [mm]\overline{\IF_p}[/mm] so konstruieren
> will? Man koennte natuerlich das [mm]\bigcup[/mm] als den injektive
> Limes [mm]\varinjlim \IF_{p^n}[/mm] auffassen (wobei man auf [mm]\IN[/mm] die
> durch die Teilbarkeit gegebene partielle Ordnung nimmt).
> Aber dann muss man immer noch genau aufpassen, wie man
> eigentlich die ganzen Einbettungen [mm]\IF_{p^n} \to \IF_{p^m}[/mm]
> waehlt, damit man ein injektives System bekommt. Und das,
> obwohl mit jeder Wahl der Einbettung [mm]\IF_{p^m} / \IF_{p^n}[/mm]
> normal ist.
> Frueher oder spaeter kommt man meist zum Schluss, dass man
> zuerst [mm]\overline{\IF_p}[/mm] konstruiert, alles darin eindeutig
> einbettet, und dann [mm]\overline{\IF_p} = \bigcup_{n\in\IN} \IF_{p^n}[/mm]
> schreibt -- alles andere ist wesentlich komplizierter
Gut, dass dieses Problem wenigstens aufgefallen ist! Ich habe manchmal den Eindruck, dass viele Mathematiker blind identifizieren und dabei solche Probleme gar nicht bemerken würden.
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:05 Do 10.06.2010 | | Autor: | felixf |
Moin Tobias!
> > Ich finde schon, dass du da Recht hast :) Es gibt auch
> > heutzutage sicher einige Mathematiker, die nicht mehr
> > exakter arbeiten als manche der Mathematiker "damals".
>
> Und das aus dem Munde eines promovierten Mathematikers!
> Hätte ich nicht für möglich gehalten...
Nunja, wenn man ehrlich ist, muss man schon zugeben das man ab und an ziemlich schludrige Arbeiten zu sehen bekommt :) Ich erinnere mich da noch an eine Vorlesung, in der ein Resultat aus einem (begutachteten!) Paper vorkam, zu dem in der Vorlesung einer der Hoerer ein Gegenbeispiel gefunden hat...
> > > Man definiert üblicherweise [mm]\IC:=\IR^2[/mm], dann + und * auf
> > > [mm]\IC[/mm]. Dann hat man einen kanonischen Körpermonomorphismus
> > > [mm]\IR\to\IC,x\mapsto(x,0)[/mm].
> > > [...]
> > Man kann hier noch bemerken, dass der
> Koerpermonomorphismus
> > nicht nur kanonisch von der Konstruktion abhaengt: es gibt
> > genau einen Homomorphismus [mm]\IR \to \IC[/mm]. Damit gibt es auch
> > genau eine Moeglichkeit, [mm]\IC[/mm] als Koerpererweiterung von [mm]\IR[/mm]
> > aufzufassen.
>
> Diese Aussage passt widerspricht übrigens SEckis Aussage
> aus https://matheraum.de/read?i=687639:
Hmmm, viellicht sollte ich mir das nochmal genau anschauen. Ich kann mich da zumindest an zwei Fakten erinnern:
a) [mm] $\IR$ [/mm] ist der einzige Unterkoerper von [mm] $\IC$ [/mm] mit Index 2;
b) jeder Ringhomomorphismus [mm] $\IR \to \IR$ [/mm] ist bereits die Identitaet.
Daraus folgt meine Aussage jedoch noch nicht (wie ich erst dachte -- da war ich auch zu schluderig :) ); da [mm] $\IC$ [/mm] viele Automorphismen hat, kann man eine Einbettung [mm] $\IR \to \IC$ [/mm] mit einem sochen Automorphismus verketten und bekommt einiges, was nicht der urspruenglichen Einbettung entspricht. Da hat SEcki dann wohl recht.
> > Ich gebe hier auch mal ein Bsp.: es gibt (Auswahlaxiom,
> > ich kenne einen Beweis leider nicht) Automorphismen von
> > [m]\IC[/m], die die rellen zahlen bewegen.
Mit dem Auswahlaxiom zeigt man:
Satz 1. Sei $L$ ein algebraisch abgeschlossener Koerper und [mm] $\sigma [/mm] : K [mm] \to [/mm] L$ ein Homomorphismus. Sei [mm] $\overline{K}$ [/mm] ein alg. Abschluss von $K$. Dann gibt es einen Homomorphismus [mm] $\hat{\sigma} [/mm] : [mm] \overline{K} \to [/mm] L$ mit [mm] $\hat{\sigma}|_K [/mm] = [mm] \sigma$.
[/mm]
Und dann nimmt man halt eine endliche Galoiserweiterung $K$ von [mm] $\IQ$, [/mm] die in [mm] $\IC$ [/mm] eingebettet ist, nimmt einen nicht-trivialen Automorphismus [mm] $\sigma [/mm] : K [mm] \to [/mm] K$, fasst ihn als Homomorphismus $K [mm] \to \IC$ [/mm] auf und wendet den Satz an.
(Strenggenommen muss man sich noch ueberlegen, ob die Fortsetzung auch einen Automorphismus ergibt. Wenn [mm] $\IC$ [/mm] der alg. Abschluss von [mm] $\IQ$ [/mm] waere, waer das einfach zu zeigen. Ist er aber nicht. Aber ein beliebiger Homomorphismus [mm] $\IC \to \IC$ [/mm] ungleich der Identitaet reicht ja schon voellig aus, solange er auf [mm] $\IR$ [/mm] nicht die Identitaet ist -- was man bekommt, wenn man $K$ z.B. als Teilkoerper von [mm] $\IR$ [/mm] waehlt, etwa $K = [mm] \IQ(\sqrt{2})$ [/mm] mit [mm] $\sigma(\sqrt{2}) [/mm] = [mm] -\sqrt{2}$.)
[/mm]
> Wie dem auch sei; diese Frage ist für mich ohnehin nicht
> so wichtig, weil ich so oder so von der Existenz einer
> kanonischen Einbettung ausgehe.
Ja, normalerweise ist man auch an [mm] $\IR$-Algebra-Homomorphismen [/mm] interessiert und fasst auf eine feste Art und Weise als [mm] $\IC$ [/mm] als [mm] $\IR$-Algebra [/mm] auf.
> > Oh, und noch ein Beispiel, wo man bei Identifikationen in
> > Teufels Kueche geraten kann: man zeigt ja recht einfach
> > (ueber Zerfaellungskoerper), dass es zu jeder Potenz [mm]q = p^n[/mm]
> > einer Primzahl [mm]p[/mm] einen (bis auf Isomorphie eindeutigen)
> > endlichen Koerper [mm]\IF_q[/mm] der Kardinalitaet [mm]q[/mm] finden kann.
> > Ebenso kann man zeigen, dass es genau dann eine Einbettung
> > [mm]\IF_{p^n} \to \IF_{p^m}[/mm] gibt, wenn [mm]n[/mm] ein Teiler von [mm]m[/mm] ist.
> > Jetzt kann man den algebraischen Abschluss von [mm]\IF_p[/mm] ganz
> > salopp als [mm]\bigcup_{n\in\IN} \IF_{p^n}[/mm] schreiben -- hat
> > aber das riesige Probem: wie bettet man alles in einander
> > ein? Wenn man [mm]\overline{\IF_p}[/mm] gegeben hat, ist das nicht
> > so schwer (da die einzelnden Erweiterungen normal sind) --
> > aber was ist, wenn man [mm]\overline{\IF_p}[/mm] so konstruieren
> > will? Man koennte natuerlich das [mm]\bigcup[/mm] als den injektive
> > Limes [mm]\varinjlim \IF_{p^n}[/mm] auffassen (wobei man auf [mm]\IN[/mm] die
> > durch die Teilbarkeit gegebene partielle Ordnung nimmt).
> > Aber dann muss man immer noch genau aufpassen, wie man
> > eigentlich die ganzen Einbettungen [mm]\IF_{p^n} \to \IF_{p^m}[/mm]
> > waehlt, damit man ein injektives System bekommt. Und das,
> > obwohl mit jeder Wahl der Einbettung [mm]\IF_{p^m} / \IF_{p^n}[/mm]
> > normal ist.
> > Frueher oder spaeter kommt man meist zum Schluss, dass
> man
> > zuerst [mm]\overline{\IF_p}[/mm] konstruiert, alles darin eindeutig
> > einbettet, und dann [mm]\overline{\IF_p} = \bigcup_{n\in\IN} \IF_{p^n}[/mm]
> > schreibt -- alles andere ist wesentlich komplizierter
>
> Gut, dass dieses Problem wenigstens aufgefallen ist! Ich
> habe manchmal den Eindruck, dass viele Mathematiker blind
> identifizieren und dabei solche Probleme gar nicht bemerken
> würden.
Ja, viele tun das wirklich. Viele von diesen denken aber schon darueber nach, was das ganze fuer Auswirkungen hat (sagen aber nichts dazu), manche tun das aber auch nicht. Und das kann manchmal auch katastrophale Auswirkungen haben...
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:45 Sa 12.06.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Felix,
> Nunja, wenn man ehrlich ist, muss man schon zugeben das man
> ab und an ziemlich schludrige Arbeiten zu sehen bekommt :)
> Ich erinnere mich da noch an eine Vorlesung, in der ein
> Resultat aus einem (begutachteten!) Paper vorkam, zu dem in
> der Vorlesung einer der Hoerer ein Gegenbeispiel gefunden
> hat...
Ich bin sprachlos...
> > > Ich gebe hier auch mal ein Bsp.: es gibt (Auswahlaxiom,
> > > ich kenne einen Beweis leider nicht) Automorphismen von
> > > [m]\IC[/m], die die rellen zahlen bewegen.
>
> Mit dem Auswahlaxiom zeigt man:
>
> Satz 1. Sei [mm]L[/mm] ein algebraisch abgeschlossener Koerper und
> [mm]\sigma : K \to L[/mm] ein Homomorphismus. Sei [mm]\overline{K}[/mm] ein
> alg. Abschluss von [mm]K[/mm]. Dann gibt es einen Homomorphismus
> [mm]\hat{\sigma} : \overline{K} \to L[/mm] mit [mm]\hat{\sigma}|_K = \sigma[/mm].
Ja.
> Und dann nimmt man halt eine endliche Galoiserweiterung [mm]K[/mm]
> von [mm]\IQ[/mm], die in [mm]\IC[/mm] eingebettet ist, nimmt einen
> nicht-trivialen Automorphismus [mm]\sigma : K \to K[/mm], fasst ihn
> als Homomorphismus [mm]K \to \IC[/mm] auf und wendet den Satz an.
Dann erhält man aber mit Satz 1 nur einen Homomorphismus [mm] $\overline{K}\to\IC$ [/mm] (für einen algebraischen Abschluss [mm] $\overline{K}$ [/mm] von $K$) und nicht wie gewünscht [mm] $\IR\to\IC$ [/mm] oder [mm] $\IC\to\IC$.
[/mm]
> > Ich habe manchmal den Eindruck, dass viele Mathematiker blind
> > identifizieren und dabei solche Probleme gar nicht bemerken
> > würden.
>
> Ja, viele tun das wirklich. Viele von diesen denken aber
> schon darueber nach, was das ganze fuer Auswirkungen hat
> (sagen aber nichts dazu), manche tun das aber auch nicht.
> Und das kann manchmal auch katastrophale Auswirkungen
> haben...
Das kann natürlich wirklich sein, dass viele solche Sachen in Wahrheit doch durchdenken, allerdings ohne dies zu verraten. Es spricht wohl sogar manches dafür, solche Überlegungen nicht zum Vorlesungsgegenstand zu machen. Ich würde mir in diesem Fall jedoch Transparenz wünschen, z.B. in der Art: "Dieser Schluss ist möglich, obwohl diese und jene Gleichheit nur per Identifikation gilt. Ich möchte das aber nicht näher ausführen."
Danke für deine Beiträge; es war sehr interessant, mal die Einschätzung eines promovierten Mathematikers zu hören!
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:50 Mo 07.06.2010 | | Autor: | SEcki |
> Auf zwei mögliche Einwände gegen den Wunsch einer solchen
> Grundlegung möchte ich noch eingehen: Sie sei trivial und
> sie sei nutzlos.
Ich möchte hier aber anmerken, dass ich das (nicht mehr) so sehe - ich halte es weder für trivial noch für nutzlos. Nur nicht mein Geschmack. Genauso für den Vergleich - ich finde Assembler per se weder trivial noch nutzlos, sondern nur auf einer Ebene, in der ich nicht programmiere.
> Solange mein Wunsch einer anerkannten und weitgehend
> verwendeten praktikablen exakten Grundlegung der Mathematik
> nicht verwirklicht ist, wünsche ich mir zumindest ein
> ehrliches Eingestehen der Mathematiker: Die heute
> verbreitete Mathematik genügt nicht einem Maximum an
> Exaktheitsansprüchen.
Das tut sie auch nicht - wenn man mal sieht, wie viele Fehler in Papers auftauchen! Es tauchen immer mal wieder Lücken auf, und ein Beweis gilt oft dann als okay, wenn viele andere Mathematiker sagen, er ist okay. Es gibt imo gute Gründe dafür, dass dies so ist (und in den nächsten 200 Jahren so bleiben wird), aber das schweift dann ja massiv ab ...
> Wir können nicht behaupten,
> frühere Generationen hätten unexakte Mathematik
> betrieben, während die heutige Mathematik exakt sei. Wir
> arbeiten nur (deutlich) weniger unexakt als frühere
> Generationen.
Das stimmt.
> Das hatte ich so verstanden, dass du den Unterkörper des
> algebraischen Abschlusses nimmst, den du durch Adjunktion
> SÄMTLICHER Nullstellen der betrachteten Minimalpolynome im
> algebraischen Abschluss erhältst. Dann hättest du
> natürlich einen Zerfällungskörper über K.
Jeweils einer ... aber das ist dann nicht mehr eindeutig, stimmt. Aber wenn ich das mache, kann ich dadurch einen (nicht mehr kanonischen) Unterkörper vom alg. Abschluss erhalten, der isomoprh zu L ist, und in dem K gewissermaßen kanonisch enthalten ist (durch einen passendne Algebrenhom.)
> Du plädierst also dafür, manche "Teilstrukturbegriffe"
> (z.B. Untergruppe, Untervektorraum, Teilkörper, ...)
> wörtlich und andere nicht wörtlich zu interpretieren?
Eigentlich nur hier, und ich habe auch dargelegt warum: ich empfinde [m]K\subset L[/m] oft so, dass es dass L noch nicht gibt, sondern dass es erst konstruiert werden muss, und dieses L nicht eindeutig ist, wenn man dann weiter Körper konstruiert und zB zum alg. Abschluss kommt.
Mal ein konkreteres Beispiel: [m]\IQ(\sqrt[3]{2})[/m] kann man durchaus als Adjungation einer beliebigen dritten Wurzel des Polynoms [m]X^3-2[/m] sehen, also gäbe es als Teilkörper [m]\IC[/m] 3 Möglichkeiten - wobei man meist eine (die reelle) benutzt, obwohl algebraisch gesehen man die anderen genauso gut nehmen könnte.
> Mit hier meinst du die Körpersituation, oder? Es gibt
> gerade KEINE kanonische Einbettung von L in [mm]\overline{K}[/mm]!
Okay.
> Eben nicht eindeutig: Du musst Nullstellen im
> algebraischen Abschluss willkürlich auswählen.
Okay. Aber wenn ich sie auswähle, dann habe ich eine gewisse "schöne" Einbettung von L - und mit der arbeite ich dann.
SEcki
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:23 Mi 09.06.2010 | | Autor: | tobit09 |
> > Auf zwei mögliche Einwände gegen den Wunsch einer solchen
> > Grundlegung möchte ich noch eingehen: Sie sei trivial und
> > sie sei nutzlos.
>
> Ich möchte hier aber anmerken, dass ich das (nicht mehr)
> so sehe - ich halte es weder für trivial noch für
> nutzlos.
Bin ganz überrascht über diese Position! Ich hatte mit heftiger "Gegenwehr" gerechnet.
> Nur nicht mein Geschmack. Genauso für den
> Vergleich - ich finde Assembler per se weder trivial noch
> nutzlos, sondern nur auf einer Ebene, in der ich nicht
> programmiere.
Es steht mir ja ohnehin nicht zu, den Geschmack anderer Leute zu bewerten, aber deine Haltung finde ich völlig o.k.!
> > Solange mein Wunsch einer anerkannten und weitgehend
> > verwendeten praktikablen exakten Grundlegung der Mathematik
> > nicht verwirklicht ist, wünsche ich mir zumindest ein
> > ehrliches Eingestehen der Mathematiker: Die heute
> > verbreitete Mathematik genügt nicht einem Maximum an
> > Exaktheitsansprüchen.
>
> Das tut sie auch nicht - wenn man mal sieht, wie viele
> Fehler in Papers auftauchen! Es tauchen immer mal wieder
> Lücken auf, und ein Beweis gilt oft dann als okay, wenn
> viele andere Mathematiker sagen, er ist okay.
Das ist nicht das Bild von Mathematik, mit dem ich mein Studium begonnen habe. Es wird wohl auch kein bedeutender Mathematiker öffentlich zugeben, dass es in seinen Kreisen vor Fehlern nur so wimmelt. Fehler sind absolut menschlich und es wird kaum jemanden geben, dem nie einer unterläuft. Aber der Normalfall sollte sein, dass ein veröffentlichter Beweis die Zielgruppe in die Lage versetzt, Fehler sofort zu erkennen. Welcher Schüler, der sich mit Mathematik herumquält, weiß schon, dass Fehler bei großen Mathematikern in Papern, die Korrektur gelesen wurden, an der Tagesordnung sind? Eigentlich ziemlich absurd, Paper zu lesen, bei denen anscheinend noch nicht einmal der Autor wirklich geprüft hat, ob der Inhalt überhaupt stimmt...
In einer Vorlesung eines Professors habe ich, ohne alle Details nachgeprüft zu haben, allein zu einem Thema, dass nur anderthalb Vorlesungen in Anspruch nahm, 8 (!) verschiedene Fehler gefunden, die dann teilweise auch noch wiederholt auftraten. In einer anderen Vorlesung wendete ein Professor ein Auswahlaxiom auf Klassen, die i.A. keine Mengen waren, an. Auf Nachfrage konnte er mir nicht erklären, in was für einer Mengenlehre es ein solches Auswahlaxiom überhaupt gibt (in ZFC ja jedenfalls nicht). Aber viel schlimmer fand ich: Er sagte allen Ernstes, er hätte wohl lieber verschweigen sollen, dass er überhaupt ein solches Auswahlaxiom verwendet! Klingt für mich sehr nach der Devise: Fehler sind egal; Hauptsache es gelingt, die Zuhörer dumm genug zu halten, dass sie die Fehler nicht bemerken.
Ich hielt Mathematiker immer für in gewisser Hinsicht besonders mündige Menschen: Alles wird so exakt bewiesen, dass jeder Mathematiker sicher erkennen kann, ob ein Satz korrekt bewiesen wurde oder nicht. Stattdessen scheint die praktizierte Mathematik ja eher von einem geschickten Mutmaßen ("wird schon irgendwie so passen...") geprägt zu sein... Zugegeben: Geschicktes Mutmaßen ist wohl eine viel höhere Kunst, als exaktes Beweisen, nur halt eine ganz andere Kunst, als ich von der Mathematik erwartet habe.
Folgendes abschließende Beispiel zeigt mir, dass die Vorstellung von mündigen Adressaten mathematischer Darstellungen wohl utopisch ist: Ein Bekannter von mir hat mal einen Vortrag besucht, in dem u.a. auch Professoren saßen. Die Vortragende verwendete eine Folie, die sie hinter die Zuhörenden projizierte. Sämtliche Zuhörer drehten sich um und versuchten zu erahnen, worum es auf dieser Folie gehen könnte. Irgendwann meinte die Vortragende, dass die Zuhörer lieber nach vorne gucken sollten. Als diese das taten, bemerkten sie, dass die Vortragende in der Zwischenzeit schon wieder eine ganze Tafel vollgeschrieben hatte. Offensichtlich konnte also niemand dem Vortrag folgen. Jeder Nicht-Mathematiker würde wohl als Erstes denken: Ein misslungener Vortrag. Unter den Zuhörern hieß es dagegen: "Die hat es aber offensichtlich drauf..."
Jetzt bin ich schon wieder ausgiebig vom Thema abgekommen... Da kommt wohl die große Enttäuschung zum Ausdruck, die die Uni-Mathematik für mich bereitet hat...
Zu deinen aktuellen Ausführungen zu den Körpererweiterungen habe ich nichts einzuwenden!
Danke für den interessanten Austausch!
Viele Grüße
Tobias
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