Allgemeine DGL m. Störglied < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:06 Di 14.09.2010 | | Autor: | Selageth |
| Aufgabe | | y'(x) + 3*y(x) = 12 |
Hallo!
Es geht um die o.A. Aufgabe. Ermittelt werden soll die allgemeine Lösung. Es handelt sich ja um eine lineare und inhomogene DGL mit Störglied g(x) = 12.
In der Aufgabe steht jedoch weiterhin nun folgendes:
Ermitteln sie die allgemeine Lösung der DGL und nutzen Sie folgenden Ansatz:
[mm]y(x) = 4 + a*e^{\lambda * x}[/mm]
Ich verstehe nicht ganz was dieser Ansatz dort soll. Eine Lösung über Ermittlung von Lambda ist soweit ich weiß nur für homogene lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten möglich. Laut Lösung soll es aber auch mit dem o.A. Ansatz gelingen und für Lambda als Ergebnis "-3" herauskommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Wenn Du mit
$ y(x) = 4 + [mm] a\cdot{}e^{\lambda \cdot{} x} [/mm] $
in die DGL eingehst, siehst Du sofort, dass y eine Lösung der inhomogenen Gl. ist, wenn [mm] \lambda=-3 [/mm] ist.
machs einfach mal.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:13 Sa 18.09.2010 | | Autor: | Selageth |
Danke für die Antwort! Soweit so gut. Der nächste Teil macht mir dann aber noch Kopfzerbrechen:
Für [mm] y(\bruch{1}{3}) [/mm] = 3 soll eine Lösung des DGL bestimmt werden. Durch Einsetzen von -3 für Lambda und 1/3 für x erhalte ich die Formel:
[mm] y(\bruch{1}{3}) [/mm] = 4 + [mm] a*e^{-3*\bruch{1}{3}} [/mm] = 3
=> 4 + [mm] a*e^{-1} [/mm] = 3
Da ich ja die Koeffizientenlösung, also a haben will, stelle ich um:
<=> a = [mm] \bruch{-1}{e^{-1}}
[/mm]
Damit komme ich auf eine gebrochene Zahl für a. Laut der Lösung, soll für a aber -e herauskommen. Und zwar in der Folge:
a = -1 * e
Wo liegt mein Fehler?
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Hallo Selageth,
> Danke für die Antwort! Soweit so gut. Der nächste Teil
> macht mir dann aber noch Kopfzerbrechen:
>
> Für [mm]y(\bruch{1}{3})[/mm] = 3 soll eine Lösung des DGL bestimmt
> werden. Durch Einsetzen von -3 für Lambda und 1/3 für x
> erhalte ich die Formel:
>
> [mm]y(\bruch{1}{3})[/mm] = 4 + [mm]a*e^{-3*\bruch{1}{3}}[/mm] = 3
>
> => 4 + [mm]a*e^{-1}[/mm] = 3
>
> Da ich ja die Koeffizientenlösung, also a haben will,
> stelle ich um:
>
> <=> a = [mm]\bruch{-1}{e^{-1}}[/mm]
>
> Damit komme ich auf eine gebrochene Zahl für a. Laut der
> Lösung, soll für a aber -e herauskommen. Und zwar in der
> Folge:
>
> a = -1 * e
>
> Wo liegt mein Fehler?
Fehler hast Du keinen gemacht.
Hier wurde eine Potenzregel angewendet:[mm]\bruch{1}{z^{n}}=z^{-n}[/mm]
Demnach [mm]\bruch{1}{e^{-1}}=e^{-\left(-1\right)}=e^{1}=e[/mm]
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:21 Mo 20.09.2010 | | Autor: | Selageth |
... den Wald vor lauter Bäumen ...
Danke!
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