Allgemeine Fragen zu Körpern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:14 So 17.02.2013 | | Autor: | Uzaku |
Hey,
ich habe noch ein Verständnisproblem bei Körpern der Form [mm] GF(p^q) [/mm] (p = primzahl)
Ich weiß, dass ein solcher Körper im Endeffekt [mm] \IZ_{p}[x]/f(x) [/mm] mit f(x) vom Grad q ist, aber mehr weiß ich nicht über dieses f(x) ich steige da noch nicht so ganz durch, muss das lediglich ein beliebiges Irreduzibles Polynom sein? Muss es primitiv sein?
Und noch viel schlimmer, was heißt primitiv eigentlich ?
Ich kenne ein paar eigenschaften von Primitiven Polynomen, z.B. dass sie in einem Körper [mm]x^{p^{k-1}} - 1[/mm] teilen, und dass man alle Elemente eines Körpers erhällt, wenn man sie mit [mm] x^0 [/mm] bis [mm] x^{p^{k-1}} [/mm] multipliziert. Aber ich weiß nicht wirklich was ein Primitives Polynom eigentlich ist. Ich habe eine Definition im Skript, aber die verstehe ich nicht mal ansatzweise: min{ℓ ∈ [mm] \IN [/mm] \ {0} | f(x) teilt (x^ℓ − 1) in GF(p)[x]} = [mm] p^n [/mm] − 1
Also nochmal Kurz, was ist das f(x) in [mm] \IZ_p[x]/f(x) [/mm] genau, und was ist ein Primitives Polynom?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:44 So 17.02.2013 | | Autor: | hippias |
> Hey,
> ich habe noch ein Verständnisproblem bei Körpern der
> Form [mm]GF(p^q)[/mm] (p = primzahl)
> Ich weiß, dass ein solcher Körper im Endeffekt
> [mm]\IZ_{p}[x]/f(x)[/mm] mit f(x) vom Grad q ist, aber mehr weiß
> ich nicht über dieses f(x) ich steige da noch nicht so
> ganz durch, muss das lediglich ein beliebiges Irreduzibles
> Polynom sein?
Ja.
> Muss es primitiv sein?
Nein.
> Und noch viel schlimmer, was heißt primitiv eigentlich ?
> Ich kenne ein paar eigenschaften von Primitiven Polynomen,
> z.B. dass sie in einem Körper [mm]x^{p^{k-1}} - 1[/mm] teilen, und
> dass man alle Elemente eines Körpers erhällt, wenn man
> sie mit [mm]x^0[/mm] bis [mm]x^{p^{k-1}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
multipliziert. Aber ich weiß
> nicht wirklich was ein Primitives Polynom eigentlich ist.
> Ich habe eine Definition im Skript, aber die verstehe ich
> nicht mal ansatzweise: min{ℓ ∈ [mm]\IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
\ {0} | f(x) teilt
> (x^ℓ − 1) in GF(p)[x]} = [mm]p^n[/mm] − 1
Schreibe einmal die vollstaendige Definition auf.
>
> Also nochmal Kurz, was ist das f(x) in [mm]\IZ_p[x]/f(x)[/mm] genau,
> und was ist ein Primitives Polynom?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:34 So 17.02.2013 | | Autor: | Uzaku |
Es scheint als würde bei dir die Definition nicht richtig angezeigt, merkwürdiger weise, bei mir wird sie es. Ich versuchs mal nochmal.
Ein irreduzibles Polynom f(x) aus GF(p)[x] vom Grad n heißt primitiv, wenn
[mm] min(l\in\IN [/mm] \ {0}|f(x) teilt [mm] (x^{l}-1) [/mm] in [mm] GF(p)[x])=p^{n}-1
[/mm]
gillt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 So 17.02.2013 | | Autor: | hippias |
Kein Problem. Also ein irreduzibles $f$ heisst primitiv, wenn $f$ das Polynom [mm] $x^{p^{n}-1}-1$ [/mm] teilt, $f$ aber kein Polynom [mm] $x^{l}-1$ [/mm] mit $l< [mm] p^{n}-1$ [/mm] teilt. Wie lautet Deine Frage dazu?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 So 17.02.2013 | | Autor: | Uzaku |
Meine Frage war, was diese Definition bedeutet, was du aber mit deiner Mitteilung schon beantwortet hast, besten Dank^^
Wenn ich es richtig verstanden habe, heißt das einfach nur [mm] x^{p^{k}-1} [/mm] mod(f(x)) = 1 und und für alle [mm] x^{n} [/mm] bei den n kleiner ist als [mm] p^{k}-1 [/mm] darf nicht 1 rauskommen.
|
|
|
|
