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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
| Aufgabe | $ [mm] \bruch{dI}{dt}=I(t)\cdot{}\bruch{N-I(t)}{N}\cdot{}k [/mm] $
Gesucht ist die Allgemeine Lösung der DGF |
Ich hatte diese Aufgabe an anderer Stelle schon mal gestellt, aber der Übersichtlichkeit halber möchte ich nochmals von vorne beginnen.
Ich würde so anfangen:
[mm] \bruch{dI}{dt}=I(t)\cdot{}\bruch{k}{{N}}\cdot{}(N-I(t)) [/mm]
dann
[mm] \bruch{dI}{I(t)(N-I(t))} [/mm] = [mm] \bruch{k}{N}*dt
[/mm]
dann
[mm] (\bruch{1}{I(t)}*\bruch{1}{N-I(t)})*dI [/mm] = [mm] \bruch{1}{N}*k*dt
[/mm]
Ab hier fängt mein Problem wieder an. Multipliziere ich hier nochmal mit N ?
Integriere ich dann gleich? Irgendjemand hat mir auch noch was von Partialbruchzerlegung erzählt (womit ich recht wenig anfangen kann)
Vielleicht hat von euch einer einen guten Tipp
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:51 Do 16.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> [mm]\bruch{dI}{dt}=I(t)\cdot{}\bruch{N-I(t)}{N}\cdot{}k[/mm]
>
> Gesucht ist die Allgemeine Lösung der DGF
> Ich hatte diese Aufgabe an anderer Stelle schon mal
> gestellt, aber der Übersichtlichkeit halber möchte ich
> nochmals von vorne beginnen.
>
> Ich würde so anfangen:
> [mm] \bruch{dI}{dt}=I(t)\cdot{}\bruch{k}{{N}}\cdot{}(N-I(t))[/mm]
>
> dann
>
> [mm]\bruch{dI}{I(t)(N-I(t))}[/mm] = [mm]\bruch{k}{N}*dt[/mm]
>
> dann
>
> [mm](\bruch{1}{I(t)}*\bruch{1}{N-I(t)})*dI[/mm] = [mm]\bruch{1}{N}*k*dt[/mm]
>
>
>
> Ab hier fängt mein Problem wieder an. Multipliziere ich
> hier nochmal mit N ?
Nein
> Integriere ich dann gleich?
Ja
> Irgendjemand hat mir auch noch
> was von Partialbruchzerlegung erzählt (womit ich recht
> wenig anfangen kann)
Ich schreibe mal $x$ statt $I$. Was Du noch brauchst ist
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x(N-x)} dx}
[/mm]
Mit Partialbruchzerlegung ist gemeint:
[mm] \bruch{1}{x(N-x)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{N}(\bruch{1}{x}+\bruch{1}{N-x})
[/mm]
(nachrechnen !!)
FRED
>
> Vielleicht hat von euch einer einen guten Tipp
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:19 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Ok, danke erstmal.
Ich nehme das mit der Partialbruchzerlegung einfach mal so hin. Versuche schon die ganze Zeit vergeblich das nachzuvollziehen.
Aber weiter geht es dann so :
[mm] [\bruch{1}{N}*(\bruch{1}{I(t)}+\bruch{1}{(N-I(t)}]*dI [/mm] = [mm] \bruch{1}{N}*k*dt
[/mm]
multipliziere ich jetzt mit N und integriere dann ?
also ,
[mm] \integral{(\bruch{1}{I(t)}+\bruch{1}{(N-I(t)})*dI} [/mm] = [mm] k\integral{dt}+C
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Nach dem Integrieren würde das dann so aussehen:
ln I(t) - ln [mm] (N_I(t)) [/mm] = k*t + C
[mm] \bruch{I(t)}{(N-I(t))} =e^kt*e^c
[/mm]
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Hallo marc1001,
> Nach dem Integrieren würde das dann so aussehen:
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> ln I(t) - ln [mm](N\red{-}I(t))[/mm] = k*t + C
>
>
> [mm]\bruch{I(t)}{(N-I(t))} =e^{\red{kt}}*e^c[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Setze Exponenten, die länger als 1 Zeichen sind, in geschweifte Klammern {}
Für die Konstante [mm] $e^c$ [/mm] kannst du [mm] $c_0$ [/mm] schreiben und hast
[mm] $\frac{I(t)}{N-I(t)}=c_0\cdot{}e^{kt}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Wenn ich jetzt Anfangsbedingung I(0)= 1 habe, muss ich doch die Gleichung noch nach I(t) auflösen.
Kannst du mir sagen ob das soweit richtig ist.
[mm] \bruch{I(t)}{N} [/mm] - 1 [mm] =e^{kt} *c_0
[/mm]
[mm] I(t)=e{kt}*c_0*N+1
[/mm]
Kommt mir nämlich irgendwie komisch vor
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Hallo nochmal,
> Wenn ich jetzt Anfangsbedingung I(0)= 1 habe, muss ich doch
> die Gleichung noch nach I(t) auflösen.
Mache das mal vor dem Einsetzen!!
>
> Kannst du mir sagen ob das soweit richtig ist.
>
> [mm]\bruch{I(t)}{N}[/mm] - 1 [mm]=e^{kt} *c_0[/mm]
>
> [mm]I(t)=e{kt}*c_0*N+1[/mm]
>
> Kommt mir nämlich irgendwie komisch vor
löse zuerst mal die allg. Gleichung oben nach $I(t)$ auf, also diese hier:
[mm] $\frac{I(t)}{N-I(t)}=c_0\cdot{}e^{kt}$
[/mm]
Wenn du das hast, setzt nochmal $t=0$ ein, dann kommst du auf das gesuchte [mm] $c_0$ [/mm] ....
LG
schachuzipus
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Hallo nochmal,
ich ahne gar Furchtbares:
> Kannst du mir sagen ob das soweit richtig ist.
>
> [mm]\bruch{I(t)}{N}[/mm] - 1 [mm]=e^{kt} *c_0[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Du kannst doch nicht schreiben [mm] $\frac{I(t)}{N-I(t)}=\frac{I(t)}{N}-1$
[/mm]
"Aus Summen kürzen nur ..." ![[schockiert]](/images/smileys/schockiert.gif "[schockiert]")
Grobes Foul hier ...
Löse nochmal mit Nachdenken nach I(t) auf !
>
> [mm]I(t)=e{kt}*c_0*N+1[/mm]
>
> Kommt mir nämlich irgendwie komisch vor
Mir auch
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
OH :)
dann besser so:
[mm] \bruch{N-I(t)}{I(t)} [/mm] = [mm] e^{-kt}*e^{-c}
[/mm]
für [mm] e^{-c} [/mm] nehme ich mal D
[mm] \bruch{N}{I(t)}-1=e^{-kt}*D
[/mm]
wobei ich jetzt sagen würde, daß man hier schon I(0) eisetzet,oder?
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Hallo Marc!
> [mm]\bruch{N}{I(t)}-1=e^{-kt}*D[/mm]
> wobei ich jetzt sagen würde, daß man hier schon I(0)
> eisetzet,oder?
Nein. Erst vollständig nach $I(t) \ = \ ...$ umformen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:19 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Irgendwie steh ich aufm Schlauch. Kannste mir mal kurz helfen?
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Hallo nochmal,
also, du hattest berechnet:
[mm] $\frac{I(t)}{N-I(t)}=c_0\cdot{}e^{kt} [/mm] \ \ \ [mm] \mid \cdot{}(N-I(t))$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow I(t)=N\cdot{}c_0\cdot{}e^{kt}-I(t)\cdot{}c_0\cdot{}e^{kt} [/mm] \ \ \ [mm] \mid +I(t)\cdot{}c_0\cdot{}e^{kt}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow I(t)+I(t)\cdot{}c_0\cdot{}e^{kt}=N\cdot{}c_0\cdot{}e^{kt}$
[/mm]
ausklammern
[mm] $\Rightarrow I(t)\cdot{}\left(1+c_0\cdot{}e^{kt}\right)=N\cdot{}c_0\cdot{}e^{kt} [/mm] \ \ [mm] \mid :\left(1+c_0\cdot{}e^{kt}\right)$
[/mm]
...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 Do 16.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Hu, schwere Geburt :)
Vielen Dank für eure Hilfe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Fr 17.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Hi
also nach I(t) aufgelöst sieht es dann folgendermaßen aus :
[mm] I(t)=\bruch{e^{kt}*e^{c}*N}{1+e^{kt}*e^{c}}
[/mm]
Anfangsbedingung I(0)=1
[mm] I(0)=1=\bruch{e^{0}*e^{c}*N}{1+e^{0}*e^{c}}
[/mm]
[mm] 1=\bruch{e^{c}*N}{1+e^{c}} \parallel *(1+e^{c})
[/mm]
[mm] 1+e^{c}=e^{c}*N [/mm] | [mm] :c^{c}
[/mm]
.
.
.
[mm] e^{c}=\bruch{1}{N-1}
[/mm]
Dann wäre die spezielle Lösung wäre folglich dann :
[mm] I(t)=\bruch{e^{kt}*\bruch{1}{N-1}*N}{1+e^{kt}*\bruch{1}{N-1}}
[/mm]
ist das soweit richtig ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:15 Fr 17.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
[mm] N\in\IR [/mm] ist [mm] \{N\in \IR| N\neq 1\}
[/mm]
Meinst du das ?
Um das ganze noch weiter zu treiben; Kann ich mit der Gleichung auch so eine Art "Halbwertszeit" berechnen.
Müsste das bei einer logistischen Wachstumsfunktion dann nicht der Wendepunkt sein?
Könnte ich dann so beginnen: I(t) wäre zum Zeitpunkt t/2 dann N/2...
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Hallo,
> [mm]N\in\IR[/mm] ist [mm]\{N\in \IR| N\neq 1\}[/mm]
>
> Meinst du das ?
Nein, die Funktion $I(t)$ ist doch von t abhängig!
Wenn du den obigen (richtig berechneten) Term da mal zusamenfasst und vereinfachst, schaue nach, für welche t der Ausdruck definiert ist ...
Bedenke, dass eine Lösungsfunktion auf einem zusammenh. Gebiet definiert sein muss, also sowas wie zB [mm] $\IR\setminus\{0\}$ [/mm] geht nicht
>
>
> Um das ganze noch weiter zu treiben; Kann ich mit der
> Gleichung auch so eine Art "Halbwertszeit" berechnen.
> Müsste das bei einer logistischen Wachstumsfunktion dann
> nicht der Wendepunkt sein?
>
> Könnte ich dann so beginnen: I(t) wäre zum Zeitpunkt t/2
> dann N/2...
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:00 Fr 17.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Kann es sein das am Ende
I(t)=1 rauskommt ???
Also nach dem kürzen
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Hallo nochmal,
> Kann es sein das am Ende
>
> I(t)=1 rauskommt ???
>
> Also nach dem kürzen
ich erhalte etwas anderes, kann mich aber natürlich auch verrechnet haben.
Wenn du Klarheit willst, poste deinen Rechenweg, dann sehen wir weiter...
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:31 Fr 17.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Buh, 3 mal versucht , 3mal ein anderes Ergebnis :)
Dann mal ein nach dem anderen.
[mm] \bruch{\bruch{e^{kt}*N}{N-1}}{1+\bruch{e^{kt}}{N-1}}
[/mm]
-> [mm] \bruch{\bruch{e^{kt}*N*(N-1)}{(N-1)*e^{kt}}}{1+\bruch{N-1}{e^{kt}}}
[/mm]
[mm] \bruch{N*e^{kt}}{N-1+e^{kt}}
[/mm]
kann man das erstmal so machen ...
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Hallo nochmal,
> Buh, 3 mal versucht , 3mal ein anderes Ergebnis :)
>
> Dann mal ein nach dem anderen.
>
> [mm]\bruch{\bruch{e^{kt}*N}{N-1}}{1+\bruch{e^{kt}}{N-1}}[/mm]
>
>
> ->
> [mm]\bruch{\bruch{e^{kt}*N*(N-1)}{(N-1)*e^{kt}}}{1+\bruch{N-1}{e^{kt}}}[/mm]
>
> [mm]\bruch{N*e^{kt}}{N-1+e^{kt}}[/mm]
Das deckt sich mit meinem Ergebnis, dann sind wir schon zwei 
Sieht gut aus so, was ist also mit dem Def.bereich?
>
> kann man das erstmal so machen ...
Jo
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:36 Fr 17.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Keine Ahnung. Da steh ich wohl gerade wieder völlig aufm Schlauch.
Ich denk mal der Nenner dar nicht 0 werden als darf
N nicht 0 und t nicht null werden
Also dann vielleicht so:
$ [mm] N\wedge t\in\IR [/mm] $ ist $ [mm] \{N\wedge t \in \IR| N\wedge t \neq 0\} [/mm] $
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Hallo nochmal,
wenn du Fragen als Fragen stellst und nicht als Mitteilung, werden sie erfahrungsgemäß schneller als solche registriert, allein wegen der roten Farbe.
Fragen werden tendenziell eher gelesen ...
> Keine Ahnung. Da steh ich wohl gerade wieder völlig aufm
> Schlauch.
> Ich denk mal der Nenner dar nicht 0 werden
> als darf
> N nicht 0 und t nicht null werden
>
> Also dann vielleicht so:
>
> [mm]N\wedge t\in\IR[/mm] ist [mm]\{N\wedge t \in \IR| N\wedge t \neq 0\}[/mm]
Rechne doch stur aus, wann der Nenner 0 wird:
[mm] $N-1+e^{kt}=0\Rightarrow \left(e^t\right)^k=1-N$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow e^t=\sqrt[k]{1-N}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow t=\ln\left(\sqrt[k]{1-N}\right)=\frac{\ln\left(1-N\right)}{k}$
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Sa 18.04.2009 | | Autor: | marc1001 |
Hi,
aber dann lag ich doch richtig mit t und N [mm] \not= [/mm] 0
Auf jeden Fall erstmal vielen Dank für deine Mühe. Ich würde mich ja gerne revanchieren, aber ich werde dir bei Mathe wohl nie Helfen können :)
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Hallo nochmal,
> Hi,
>
> aber dann lag ich doch richtig mit t und N [mm]\not=[/mm] 0
wieso?
Der Nenner ist [mm] $N-1+e^{kt}$
[/mm]
Das [mm] $e^{kt}$ [/mm] ist immer >0, das $N-1$ ist für [mm] $N\ge [/mm] 1$ auch [mm] $\ge [/mm] 0$
Also ist für [mm] $N\ge [/mm] 1$ der Nenner stets (dh. für alle [mm] $t\in\IR$) [/mm] positiv und wird insbesondere nicht 0
Für [mm] $N\ge [/mm] 1$ ist also [mm] $\mathbb{D}_I=\IR$
[/mm]
Falls aber $N<1$ ist, so kann der Nenner 0 werden, und das eben genau für das oben berechnete [mm] $t=\ln(...)$
[/mm]
>
>
> Auf jeden Fall erstmal vielen Dank für deine Mühe. Ich
> würde mich ja gerne revanchieren, aber ich werde dir bei
> Mathe wohl nie Helfen können :)
LG
schachuzipus
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Partialbruchzerlegung