Allgemeine Lösung der DGL < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Di 30.01.2018 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
[mm] y^{(4)}(x)+y(x) [/mm] = [mm] 41e^{3x} [/mm] |
Hallo,
im ersten Schritte kann ich ja sagen, dass
[mm] y^{(4)}+y [/mm] = 0
und somit das charakteristische Polynom bestimmen
[mm] p_{n}(\lambda) [/mm] = [mm] \lambda^{(4)}+1 \gdw \lambda^{(4)}=-1 [/mm] = [mm] e^{i\pi}
[/mm]
Für jeden k-fachen Eigenwert [mm] \lambda [/mm] tauchen dann k Funktionen auf
[mm] \lambda_{k} [/mm] = [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} \pm [/mm] i [mm] \bruch{\wurzel{2}}{2} [/mm] ; k=0,1,2,3
Nun ist mir aber nicht klar, wie man die o.g. Gleichung hiermit vollständig lösen soll!?
Könnt ihr mir da helfen?
Vielen Dank
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Hallo,
> Bestimme die allgemeine Lösung der Differentialgleichung
>
> [mm]y^{(4)}(x)+y(x)[/mm] = [mm]41e^{3x}[/mm]
> Hallo,
>
> im ersten Schritte kann ich ja sagen, dass
>
> [mm]y^{(4)}+y[/mm] = 0
>
> und somit das charakteristische Polynom bestimmen
>
> [mm]p_{n}(\lambda)[/mm] = [mm]\lambda^{(4)}+1 \gdw \lambda^{(4)}=-1[/mm] =
> [mm]e^{i\pi}[/mm]
>
> Für jeden k-fachen Eigenwert [mm]\lambda[/mm] tauchen dann k
> Funktionen auf
>
> [mm]\lambda_{k}[/mm] = [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2} \pm[/mm] i
> [mm]\bruch{\wurzel{2}}{2}[/mm] ; k=0,1,2,3
>
Das stimmt nicht ganz, da die charakteristische Gleichung hier 4 Lösungen besitzt (vor dem Realteil muss auch noch ein Plus-Minuns hin, dann passt es).
> Nun ist mir aber nicht klar, wie man die o.g. Gleichung
> hiermit vollständig lösen soll!?
>
Schöner geht es doch nicht. Der Faktor 3 im Argument der e-Funktion ist keine Lösung der charakteristischen Gleichung, also kann man mit dem Anstz vom Typ der rechten Seite
[mm] y=A*e^{3x}
[/mm]
arbeiten.
EDIT: ich glaube, ich habe dein Problem auf den ersten Blick nicht ganz verstanden. Es scheint dir ja in der Haupstache um die Lösung der zugehörigen homogenenen DGL zu gehen.
Dazu musst du wie schon gesagt beachten, dass die charakteristische Gleichung 4 Lösungen besitzt (ihr nennt diese wohl Eigenwerte, da ihr das Verfahren vermutlich über Systeme aus DGLen erster Ordnung eingeführt habt).
Und das wichtigste ist natürlich, dass diese Lösungen paarweise konjugiert komplex sind. Also ist eine allgemeine Lösung der homogenen DGL gegeben durch
[mm] y_H=e^{\sqrt{2}/2*x}*\left(C_1*cos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)+C_2*sin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)\right)+e^{-\sqrt{2}/2*x}*\left(C_3*cos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)+C_4*sin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}x\right)\right)
[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Do 01.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo diophant,
vielen Dank für die Antwort!
Ich konnte dies nun soweit nachvollziehen und auch anwenden.
Nun habe ich noch eine "kleine" Frage:
Auf der rechten Seite stehen ja noch die [mm] 41e^{3x} [/mm] - muss ich nun noch für die vollständige Lösung den Ansatz vom Typ der rechten Seite anwenden, wie schon bei vorherigen Aufgaben, die ich hier eingestellt habe?
Vielen Dank!
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Hallo,
> vielen Dank für die Antwort!
>
> Ich konnte dies nun soweit nachvollziehen und auch
> anwenden.
>
> Nun habe ich noch eine "kleine" Frage:
>
> Auf der rechten Seite stehen ja noch die [mm]41e^{3x}[/mm] - muss
> ich nun noch für die vollständige Lösung den Ansatz vom
> Typ der rechten Seite anwenden, wie schon bei vorherigen
> Aufgaben, die ich hier eingestellt habe?
Ja, klar! Die Konstante A muss bestimmt werden (zur Lösungskontrolle: a=1/2).
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Do 01.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank für die schnelle Antwort!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:44 Fr 02.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Ich muss doch noch mal fragen:
Es ergibt sich ja dann zunächst b(x) = [mm] 41e^{3x} [/mm] ; [mm] y_{s}(x) [/mm] = [mm] Ae^{3x} [/mm] ; [mm] y_{s}'(x) [/mm] = [mm] 3Ae^{3x} [/mm] ; [mm] y_{s}''(x) [/mm] = [mm] 9Ae^{3x} [/mm] ; [mm] y_{s}'''(x) [/mm] = [mm] 27Ae^{3x} y_{s}''''(x) [/mm] = [mm] 81Ae^{3x} [/mm] ;
[mm] y_{s}''''(x) [/mm] + [mm] y_{s}(x) [/mm] = b(x)
[mm] 81Ae^{3x} [/mm] + [mm] Ae^{3x} [/mm] = [mm] 41e^{3x}
[/mm]
Tatsächlich komme ich nun aber beim Auflösen nach A irgendwie nicht weiter :(
Ist mein Ansatz denn bis hierhin überhaupt richtig?
Danke
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Hallo,
Gegenfrage: was sind 81 Äpfel + 1 Apfel? 
> Ich muss doch noch mal fragen:
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> Es ergibt sich ja dann zunächst b(x) = [mm]41e^{3x}[/mm] ; [mm]y_{s}(x)[/mm]
> = [mm]Ae^{3x}[/mm] ; [mm]y_{s}'(x)[/mm] = [mm]3Ae^{3x}[/mm] ; [mm]y_{s}''(x)[/mm] = [mm]9Ae^{3x}[/mm] ;
> [mm]y_{s}'''(x)[/mm] = [mm]27Ae^{3x} y_{s}''''(x)[/mm] = [mm]81Ae^{3x}[/mm] ;
>
> [mm]y_{s}''''(x)[/mm] + [mm]y_{s}(x)[/mm] = b(x)
> [mm]81Ae^{3x}[/mm] + [mm]Ae^{3x}[/mm] = [mm]41e^{3x}[/mm]
>
> Tatsächlich komme ich nun aber beim Auflösen nach A
> irgendwie nicht weiter :(
>
> Ist mein Ansatz denn bis hierhin überhaupt richtig?
Völlig richtig, nur noch nicht zu Ende gedacht.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Fr 02.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Besten Dank!
Habe es verstanden :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:10 Fr 02.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
mir ist nun noch eine Sache aufgefallen:
Wenn ich nun folgendes stehen habe
[mm] y^{(4)}(x)-2y''(x)+y(x) [/mm] = [mm] 3e^{2x}
[/mm]
Muss ich dann grundsätzlich anders vorgehen - z.B. erst etwas substituieren?
Vielen Dank für die Antwort
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:18 Fr 02.02.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
du hast eine Gl 4 ten Grades die du als eine zweiten Grades für [mm] \lambda^2 [/mm] schreiben kannst. manche geben deshalb [mm] \lambda^2 [/mm] einen neuen Namen etwa [mm] \lambda^2=u, [/mm] was man substituieren nennen kann, oder eben gleich mit [mm] \lambda^2 [/mm] lösen.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:28 So 04.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
besten Dank für die Antwort!
Wenn ich dich richtig verstehe muss ich nun wie folgt vorgehen:
[mm] y^{(4)}(x)-2y''(x)+y(x) [/mm] $ = $ [mm] 3e^{2x}
[/mm]
Substituiere: [mm] y^2 [/mm] = [mm] \lambda
[/mm]
=> [mm] \lambda^2-2\lambda+1 [/mm] = 0
Mit Lösen dieser substituierten Gleichung erhalte ich dann zunächst die homogene Lösung. Mit dem Ansatz von Typ der rechten Seite die spezielle Lösung.
Ist das so in Ordnung?
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Hallo,
> besten Dank für die Antwort!
>
> Wenn ich dich richtig verstehe muss ich nun wie folgt
> vorgehen:
>
> [mm]y^{(4)}(x)-2y''(x)+y(x)[/mm] [mm]=[/mm] [mm]3e^{2x}[/mm]
>
> Substituiere: [mm]y^2[/mm] = [mm]\lambda[/mm]
>
> => [mm]\lambda^2-2\lambda+1[/mm] = 0
>
Nein, diese Substitution ist ungeeignet. Deine charakteristische Gleichung lautet
[mm] \lambda^4-2*\lambda^2+1=0
[/mm]
Substituiere etwa
[mm] u=\lambda^2
[/mm]
das führt auf die Gleichung
[mm] u^2-u+1=(u-1)^2=0
[/mm]
heißen.
Achtung: die Lösung für u kannst du hier ablesen. Im Zusammenhang mit einer DGL musst du aber die Vielfachheit einer solchen Lösung beachten, weil diese sich auf deine Lösungen für [mm] \lambda [/mm] natürlich überträgt.
Also es ist [mm] u_{1,2}=1
[/mm]
Und wie lauten jetzt die Lösungen für [mm] \lambda?
[/mm]
> Mit Lösen dieser substituierten Gleichung erhalte ich dann
> zunächst die homogene Lösung. Mit dem Ansatz von Typ der
> rechten Seite die spezielle Lösung.
>
> Ist das so in Ordnung?
Wenn du wie gesagt auf die Problematik der algebraischen Vielfachheit achtest, dann ja.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 So 04.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Danke für die Antwort!
Ich erhalte [mm] u_{1,2}= [/mm] 1
mit u = [mm] \lambda^2
[/mm]
ist [mm] \lambda_{1,2} [/mm] doch dann auch 1
Oder ist das falsch gedacht?
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Hallo,
> Danke für die Antwort!
>
> Ich erhalte [mm]u_{1,2}=[/mm] 1
>
> mit u = [mm]\lambda^2[/mm]
>
> ist [mm]\lambda_{1,2}[/mm] doch dann auch 1
>
> Oder ist das falsch gedacht?
Nicht zuende gedacht.
[mm]u=1\Rightarrow \lambda_{1,2}=\pm{1}[/mm]
Nun ist aber schon u=1 eine Doppellösung. Also gilt
[mm]u_{1,2}=1\Rightarrow \lambda_{1,2}=1\wedge \lambda_{3,4}=-1[/mm]
Noch einfacher ginge es, wenn man von vorhnherein faktorisiert:
[mm]\begin{aligned}
\lambda^4-2\lambda^2+1&=0\gdw\\
\left(\lambda^2-1\right)^2&=0\gdw\\
(\lambda+1)*(\lambda-1)*(\lambda+1)*(\lambda-1)&=0
\end{aligned}[/mm]
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 So 04.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
das bedeutet dann, dass ich für die homogene Lösung folgendes erhalte:
[mm] y_{h}(x) [/mm] = [mm] c_{1}e^{x}+ c_{2}e^{x}+ c_{3}e^{-x}+ c_{4}e^{-x}
[/mm]
Und dann nur noch die spezielle Lösung mittels Ansatz vom Typ der rechten Seite berechnen muss?
Danke
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Hallo,
>
> das bedeutet dann, dass ich für die homogene Lösung
> folgendes erhalte:
>
> [mm]y_{h}(x)[/mm] = [mm]c_{1}e^{x}+ c_{2}e^{x}+ c_{3}e^{-x}+ c_{4}e^{-x}[/mm]
>
> Und dann nur noch die spezielle Lösung mittels Ansatz vom
> Typ der rechten Seite berechnen muss?
Nein, das ist falsch. Ich habe doch oben absichtlich von der algebraischen Vielfachheit der Lösungen/Eigenwerte gesprochen. Da musst du deine Unterlagen nochmals daraufhin durchgehen!
Für die homogene DGL wäre die allgemeine Lösung
[mm]y_H(x)=c_1*e^x+c_2*x*e^x+c_3*e^{-x}+c_4*x*e^{-x}[/mm]
Ich kenne ja die Ansichten über den Zeitdruck heutzutage im Studium (wobei ich dazu eine von der allgemeinen Meinung etwas abweichende Meinung habe, die wir hier nicht diskutieren müssen). Aber gerade, wenn man unter (Zeit-)Druck steht, tut man sich keinen Gefallen damit, das Studium des Stoffs zu vernachlässigen und durch fleißiges Rechnen von Übungsaufgabben zu ersetzen bzw. zu kompensieren.
Cool bleiben, ersteinmal genau studieren, um was es geht, was wie und warum so oder anders gemacht wird: wenn du das hier getan hättest, dann wäre diese Frage hier mit einer Antwort* geklärt gewesen, da wirst du mir hoffentlich Recht geben?
Gruß, Diophant
* Das soll kein Vorwurf sein. Ich antworte gerne, sonst würde ich es nicht tun. Aber die Effizienz eines Threads ist ja eigentlich in allererster Linie im Interesse des Fragestellers!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:04 Mo 05.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank für die Antwort!
Ich werde deinen Rat sicherlich befolgen und mir dieses Thema nochmal genauer anschauen!
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