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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:17 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Ricko85 |
| Aufgabe | Geg:
Eine Abbildung von [mm] \IR^2 [/mm] in [mm] \IR^3 [/mm] mit den alten Basen:
[mm] v1=\vektor{1 \\ 0}, v2=\vektor{0 \\ 1}
[/mm]
[mm] w1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, w2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, [/mm] w3= [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Die neuen Basen:
[mm] v1=\vektor{1 \\ 1}, v2=\vektor{-1 \\ 1}
[/mm]
[mm] w1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, w2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, [/mm] w3= [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}
[/mm]
Die Matrix A=
[mm] \begin{bmatrix}
1 & \ 4 \\
\ 2 & \ 5 \\
3 & \ 6
\end{bmatrix} [/mm]
Gesucht ist die neue Darstellungsmatrix mit deren Hilfe, wir von der neun Basis v1 zu der neuen Basis w1 kommen können.
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Ich ging so vor:
von der neuen Basis v in die alte Basis v brauchen wir einen Übergangsmatrix S.
[mm] \pmat{ 1 & 2 \\ 3 & 4 }=S^-1 [/mm] * [mm] \pmat{ 1 & 0 \\ 0 & 1 }
[/mm]
und hab S= [mm] \pmat{ 1/2 & 1/2 \\ -1/2 & 1/2 }, [/mm] was eigentlich falsch ist, denn es in der Musterlösung steht die Matrix [mm] S=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }
[/mm]
Ich habs ignoriert! und machte weiter:
Übergangsmatrix von der alten Basis w zu der neuen Basis w. R nannte sie der Prof.
[mm] \begin{bmatrix}
1 & \ 1 & 1 \\
\ 0 & \ 1 & \ 1 \\
0 & \ 0 & 1
\end{bmatrix} [/mm]
= I * R^-1
Das war ausnahmesweise richtig. Keinen Schimmer wieso.
Die Darstellungsmatrix ist B= R^-1 * A * S
Die neue Basis w= B * Die neue Basis v
Aber wieso kommts bei mir immer falsch raus? Ich bin im ersten Semster und hab großen Stress. Es geht nämlich alles ganz schnell und ich kenne niemanden, der mir hilft oder mir das erklärt. Deshalb wollte ich um eure Hilfe bitten. Dank schön.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: [http://iq.lycos.de/qa/show/1560501/?#qc505270]
Mit einem Foto auf der Webseite.
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Du hast hier Basen V und A des [mm] \IR^2 [/mm] sowie W und B des [mm] \IR^3, [/mm] und eine Abbildung f: [mm] \IR^2\to \IR^3, [/mm] die bzgl. der Basen V und W die darstellende Matrix M hat.
> Geg:
> Eine Abbildung von [mm]\IR^2[/mm] in [mm]\IR^3[/mm] mit den alten Basen:
>
> V:=([mm]v1=\vektor{1 \\ 0}, v2=\vektor{0 \\ 1}[/mm])
> W:=([mm]w1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, w2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},[/mm] w3= [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm])
Die darstellende Matrix der Abbildung f bzgl der Basen V und W ist
>M= [mm]\begin{bmatrix}
1 & \ 4 \\
\ 2 & \ 5 \\
3 & \ 6
\end{bmatrix}[/mm]
Was bedeutet das? Es ist
[mm] f(v_1)=\vektor{1\\2\\3}_{(W)}=1*w_1+2*w_2+3*w_3
[/mm]
[mm] f(v_2)=\vektor{4\\5\\6}_{(W)}=4*w_1+5*w_2+6*w_3
[/mm]
>
> Die neuen Basen:
> [mm]A:=(a_1=\vektor{1 \\ 1}, a_2=\vektor{-1 \\ 1}[/mm])
>
>B:=( [mm]b_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, b_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix},[/mm]
[mm] >b_3=[/mm] [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm])
> Gesucht ist die neue Darstellungsmatrix mit deren Hilfe,
> wir von der neun Basis A zu der neuen Basis B kommen
> können.
Wir haben oben also die Matrix M welche folgendes tut:
man füttert sie mit Vektoren in Koordinaten bzgl. V und sie liefert deren Bild unter der Abbildung f in Koordinaten bzgl. W.
Ich schreibe dafür M= [mm] _WM(f)_V, [/mm] wenn Du von links nach rechts schaust, sieht Du alle bestandteile, die ich im vorhergehenden Satz erwähnt habe.
Haben möchte man jetzt gerne die Matrix [mm] _BM(f)_A, [/mm] welche Vektoren bzgl. A frißt und deren Bild unter f bzgl. B liefert.
Die Frage ist nun: wie kommen wir von [mm] _WM(f)_V [/mm] zu [mm] _BM(f)_A?
[/mm]
Der Trick: weil [mm] _WM(f)_V [/mm] nur Koordinatenvektoren bzgl V frißt, [mm] _BM(f)_A [/mm] aber bzgl A,
sucht man
eine Transformationsmatrix [mm] _VT_A, [/mm] die Koordinatenvektoren bzgl. A in solche bzgl. V umwandelt - der Vektor bleibt "eigentlich " gleich, wird nur bzgl. der anderen Koordinaten dargestellt. (Wie wir die finden, besprechen wir später)
Wenn wir diese Transformationsmatrix dann haben und [mm] _WM(f)_V*_VT_A [/mm] rechnen bekommen wir die Matrix, die man mit Koordinaten bzgl. A füttert, und die das Bild unter f bzgl W liefert, also ist [mm] _WM(f)_V*_VT_A=_WM(f)_A. [/mm]
Wollen wir Koordinaten bzgl. B haben, müssen wir am Ende noch mit einer Transformation [mm] _BT_W [/mm] arbeiten, welche Koordinaten bzgl W in solche bzgl B umwandelt.
Damit hätten wir dann [mm] _BT_W*_WM(f)_V*_VT_A=_BM(f)_A.
[/mm]
(Wenn Du die Multiplikation von links nach rechts liest, siehst Du schön, was der Reihe nach passiert.
Finden muß man nun die beiden Transformationsmatrizen [mm] _VT_A [/mm] und [mm] _BT_W.
[/mm]
[mm] _VT_A [/mm] enthalt in ihren Spalten die Koordinaten von [mm] a_1, a_2 [/mm] bzgl der Basis V.
Weil V in Deinem Falle die Standardbasis ist, ist das sehr einfach: Du brauchst einfach bloß [mm] a_1=\vektor{1 \\ 1} [/mm] und [mm] a_2=\vektor{-1 \\ 1} [/mm] bnebeneinander in die Matrix stellen:
[mm] _VT_A=\pmat{1&-1\\1&1}, [/mm] und damit bist Du bei der Matrix S Deiner Musterlösung.
> denn es in der Musterlösung steht die Matrix
> [mm]S=\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }[/mm]
Weil W die Standardbasis des [mm] \IR^3 [/mm] ist, erhält man die Übergangsmatrix [mm] _WT_B [/mm] von B nach W ebenso einfach:
es ist [mm] _WT_B=\pmat{1&1&1\\0&1&1\\0&0&1}.
[/mm]
Diese Matrix brauchen wir allerdings gar nicht, wir suchen ja die, die genau das Gegenteil tut, [mm] _BT_W. [/mm] Wie finden wir sie?
Indem wir [mm] _WT_B [/mm] invertieren. Es ist also [mm] _BT_W =(_WT_B)^{-1}.
[/mm]
> Übergangsmatrix von der alten Basis w zu der neuen Basis w.
> R nannte sie der Prof.
> [mm]\begin{bmatrix}
1 & \ 1 & 1 \\
\ 0 & \ 1 & \ 1 \\
0 & \ 0 & 1
\end{bmatrix}[/mm]
Nein, das ist falsch. Das ist die Matrix, die den Übergang von der neuen Basis zur alten regelt.
Die Matrix, die den Übergang von alt nach neu regelt, bekommt man wie oben beretis geschrieben, durch Invertieren dieser Matrix - und das weiß auch Dein Prof, denn später invertiert auch er diese Matrix.
Invertieren ergibt
[mm] _BT_W =\begin{bmatrix}
1 & \ -1 & 0 \\
\ 0 & \ 1 & \ -1 \\
0 & \ 0 & 1
\end{bmatrix}.
[/mm]
Damit ist die gesuchte Matrix
[mm] _BM(f)_A=\begin{bmatrix}
1 & \ -1 & 0 \\
\ 0 & \ 1 & \ -1 \\
0 & \ 0 & 1
\end{bmatrix}*\begin{bmatrix}
1 & \ 4 \\
\ 2 & \ 5 \\
3 & \ 6
\end{bmatrix}*\pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 }, [/mm] das Ausrechnen überlasse ich nun Dir.
(Wahrscheinlich mußt Du Dich erst an meine Schreibweise mit den tiefgestellten Basen gewöhnen. Ich hab sie mir hier im Forum abgeschaut, und ich finde sie sehr schön, weil sie "spricht", wenn man sie von links nach rechts anschaut.)
Gruß v. Angela
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