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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:43 Di 14.02.2006 | | Autor: | Stefan12 |
| Aufgabe | Bei einer Urne soll mit einer Stichprobe der Länge 5, die mit Zurückziehen zu ziehen ist, entschieden werden, ob sie 6 schwarze und vier weiße oder umgekehrt 6 schwarze und 4 weiße Kugeln enthält.
a) Geben sie eine sinnvolle Entscheidungsregel an
b) Wie groß sind die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten? |
Könnt ihr mir bitte helfen? Ich habe bei diesem Thema noch keine Ahnung wie man Aufgaben löst.
Danke
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Hi, Stefan,
> Bei einer Urne soll mit einer Stichprobe der Länge 5, die
> mit Zurückziehen zu ziehen ist, entschieden werden, ob sie
> 6 schwarze und vier weiße oder umgekehrt 6 schwarze und 4
> weiße Kugeln enthält.
Hä? Das ist doch zweimal dasselbe?
Ich gehe mal davon aus, dass die Alternative 4 schwarze und 6 weiße Kugeln sein sollen, stimmt's?
> a) Geben sie eine sinnvolle Entscheidungsregel an
> b) Wie groß sind die beiden Fehlerwahrscheinlichkeiten?
Die Stichprobe ist ja nicht gerade sehr groß (n=5); daher werden die Fehler umso größer sein.
Also dann:
a) Nehmen wir als Testgröße die Anzahl der gezogenen weißen Kugeln beim 5-maligen Ziehen. (Mit den schwarzen ginge es aber genauso gut!)
Hypothese [mm] H_{1}: [/mm] p = 0,4; Alternativhypothese [mm] H_{2}: [/mm] p = 0,6.
Bei 5-maligem Ziehen ist der Erwartungswert
bei p=0,4: [mm] E_{1} [/mm] = 2,
bei p=0,6: [mm] E_{2} [/mm] = 3.
Demnach wird man folgende Annahmebereiche festlegen:
für [mm] H_{1}: \{ 0; 1; 2 \}
[/mm]
für [mm] H_{2}: \{ 3; 4; 5 \}
[/mm]
Und somit hast Du Deine Entscheidungsregel:
Man entscheidet sich für [mm] H_{1} [/mm] (4 weiße + 6 schwarze Kugeln), wenn höchstens 2 weiße gezogen wurden,
man entscheidet sich für [mm] H_{2} [/mm] (6 weiße + 4 schwarze Kugeln), wenn mindestens 3 weiße gezogen wurden.
b) Einen Fehler 1. Art begeht man, wenn man sich für [mm] H_{2} [/mm] entscheidet, obwohl in Wirklichkeit [mm] H_{1} [/mm] richtig wäre. Die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers beträgt:
[mm] \alpha [/mm] = [mm] \summe_{i=3}^{5} [/mm] B(5; 0,4; i)
was Du direkt ausrechnen kannst, aber auch mit Tafelwerk.
In letzterem Fall musst Du zuvor umformen:
[mm] \alpha [/mm] = 1 - [mm] \summe_{i=0}^{2} [/mm] B(5; 0,4; i) = 0,317.
(Wie eingangs schon erwähnt, ist dieser Fehler wegen der sehr geringen Stichprobenlänge so groß!)
Einen Fehler 2. Art begeht man, wenn man sich für [mm] H_{1} [/mm] entscheidet, obwohl in Wirklichkeit [mm] H_{2} [/mm] richtig wäre.
Probier' mal selbst, die zugehörige Wahrscheinlichkeit zu bestimmen!
(Wegen der Symmetrie der beiden Hypothesen ist diese Wahrscheinlichkeit wieder 0,317).
mfG!
Zwerglein
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