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| Aufgabe | | Leiten Sie die Amoroso-Robinson-Relation her und zeigen Sie mithilfe dieser Relation, dass die Preiselastizität [mm] \varepsilon [/mm] im Umsatzmaximum immer -1 beträgt. Welche Aussage über den gewinnoptimalen Preis im Monopol liefert sie? |
Ich bin BWL-Student, hoffe aber, dass mir trotzdem geholfen werden kann, da es mir eher um mathematisches Verständnis geht...
Für die Preiselastizität [mm] \varepsilon [/mm] gilt: [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \bruch{dx}{dp}\*\bruch{p}{x}
[/mm]
Dabei ist x die Menge und p der Preis.
Für den Umsatz gilt: U(x) = [mm] p(x)\*x
[/mm]
Dann ist [mm] \bruch{dU}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{dp}{dx}\*x+p(x) [/mm] = [mm] p(x)\*(\bruch{dp}{dx}\*\bruch{x}{p}+1) [/mm] = [mm] p(x)\*(\bruch{1}{\varepsilon}+1) [/mm] (Amoroso-Robinson-Relation)
Diese Gleichung nimmt den Wert 0 an, gdw [mm] \varepsilon [/mm] = -1 ist. Im Umsatzmaximum ist die Preiselastizität also immer -1.
Ist das alles so richtig?
Nun zu meiner eigentlichen Frage. Schließlich ist ja noch gefragt, welche Aussage diese Relation über den gewinnoptimalen Preis im Monopol liefert. Hier habe ich folgenden Ansatz gemacht:
G(x) = U(x)-K(x)
[mm] \bruch{dG}{dx} [/mm] = [mm] p(x)\*(\bruch{1}{\varepsilon}+1)-\bruch{dK}{dx}
[/mm]
[mm] p(x)\*(\bruch{1}{\varepsilon}+1)-\bruch{dK}{dx} [/mm] = 0 [mm] \gdw p^{opt} [/mm] = [mm] \bruch{dK}{dx}\*\bruch{1}{\bruch{1}{\varepsilon}+1} [/mm] = [mm] \bruch{dK}{dx}\*\bruch{\varepsilon}{\varepsilon+1}
[/mm]
Nun weiß ich nicht so recht, wie ich diesen Ausdruck interpretieren soll. Ich bitte um Hilfe. Ich weiß, dass die Preiselastizität im Gewinnmaximum <-1 ist. Würde aber gerne wissen, wieso das so ist. Ich wüsste allerdings nicht, wie ich das mathematisch beweisen könnte. Auch da würde ich mich über Hilfe freuen. Vielen Dank!...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mo 11.01.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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