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| Aufgabe | Ein Autofahrer muss auf seinem Weg zur Arbeit zweimal täglich drei Ampelkreuzungen überqueren. Die Wahrscheinlichkeit, dass diese für seine Fahrtrichtung grün zeigen, betragen 45%, 60% und 45% (Hinweg) bzw. 45%, 20% und 45% (Rückweg).
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Autofahrer an einem Tag (in einer Woche) an allen Ampeln anhalten?
b) Wie oft muss der Autofahrer mindestens zur Arbeit fahren, dass mit mehr als 80%-iger (95%-iger) Wahrscheinlichkeit zumindest einmal alle Ampeln grün zeigen? |
Hallo,
wie würdet ihr das Problem unter a) lösen? Kann man nicht so vorgehen, mit dem Gegenereignis von den gegeben Wahrscheinlichkeiten?
P("alle Ampeln zeigen rot")=0,55*0,40*0,55 + 0,55*0,80*0,55=0,363=36,3%?
In der Lösung kommen die aber auf 3% :-/
Wie würde das Problem mit einer Woche gelöst werden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:12 Mi 01.04.2015 | | Autor: | M.Rex |
> Ein Autofahrer muss auf seinem Weg zur Arbeit zweimal
> täglich drei Ampelkreuzungen überqueren. Die
> Wahrscheinlichkeit, dass diese für seine Fahrtrichtung
> grün zeigen, betragen 45%, 60% und 45% (Hinweg) bzw.
> 45%, 20% und 45% (Rückweg).
>
> a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Autofahrer an
> einem Tag (in einer Woche) an allen Ampeln anhalten?
> b) Wie oft muss der Autofahrer mindestens zur Arbeit
> fahren, dass mit mehr als 80%-iger (95%-iger)
> Wahrscheinlichkeit zumindest einmal alle Ampeln grün
> zeigen?
> Hallo,
>
> wie würdet ihr das Problem unter a) lösen? Kann man nicht
> so vorgehen, mit dem Gegenereignis von den gegeben
> Wahrscheinlichkeiten?
>
> P("alle Ampeln zeigen rot")=0,55*0,40*0,55 +
> 0,55*0,80*0,55=0,363=36,3%?
Hier musst du nix addieren, sondern alle 6 Wahrscheinlichkeiten multiplizieren.
Also
[mm] $P(\text{"alle Ampeln rot"})=0,55\cdot0,4\cdot0,55\cdot0,55\cdot0,8\cdot0,55=0,029282\approx3\%$
[/mm]
>
> In der Lösung kommen die aber auf 3% :-/
>
> Wie würde das Problem mit einer Woche gelöst werden?
>
>
Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ampeln grün sind, betrrägt ja [mm] 4,92075\cdot10^{-3}
[/mm]
Also ist mit [mm] 1-4,92075\cdot10^{-3}\approx0,995 [/mm] bei einer Fahrt mindestens eine Ampel Rot.
Das bedeutet, dass du mit [mm] 1-0,995^{n} [/mm] die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass du bei n Fahrten keine Ampel hast, die rot ist.
Nun suche also das n, für das gilt [mm] 1-0,995^{n}\ge0,8
[/mm]
Marius
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Hi,
danke für den Hinweis.
> Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ampeln grün sind, betrrägt ja $ [mm] 4,92075\cdot10^{-3} [/mm] $
> Also ist mit $ [mm] 1-4,92075\cdot10^{-3}\approx0,995 [/mm] $ bei einer Fahrt mindestens eine Ampel Rot.
> Das bedeutet, dass du mit $ [mm] 1-0,995^{n} [/mm] $ die Wahrscheinlichkeit berechnest, dass du bei n Fahrten keine Ampel hast, die rot ist.
> Nun suche also das n, für das gilt $ [mm] 1-0,995^{n}\le0,8 [/mm] $
Das ist aber noch nicht der Hinweis für den zweiten Teil von a) oder.
Wie kann man da vorgehen, dass er in einer Woche an allen Ampeln anhalten muss. Einfach das Ergebnis hoch 7 nehmen, also [mm] (0,03)^7=0,00000000002?? [/mm] Das passt mit den Lösungen aber auch nicht überein, da kommt nämlich in einer Woche 0,000002% heraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Mi 01.04.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hi,
>
> danke für den Hinweis.
>
> > Die Wahrscheinlichkeit, dass alle Ampeln grün sind,
> betrrägt ja [mm]4,92075\cdot10^{-3}[/mm]
>
> > Also ist mit [mm]1-4,92075\cdot10^{-3}\approx0,995[/mm] bei einer
> Fahrt mindestens eine Ampel Rot.
>
> > Das bedeutet, dass du mit [mm]1-0,995^{n}[/mm] die
> Wahrscheinlichkeit berechnest, dass du bei n Fahrten keine
> Ampel hast, die rot ist.
>
> > Nun suche also das n, für das gilt [mm]1-0,995^{n}\le0,8[/mm]
>
> Das ist aber noch nicht der Hinweis für den zweiten Teil
> von a) oder.
Stimmt, den Teil in a) mit der Woche hatte ich übersehen.
Wieviele Fahrten macht denn ein "durchschnittlicher" "Herr Normalarbeiter" in einer Arbeitswoche? Das sollten nicht 7 sein 
>
> Wie kann man da vorgehen, dass er in einer Woche an allen
> Ampeln anhalten muss. Einfach das Ergebnis hoch 7 nehmen,
> also [mm](0,03)^7=0,00000000002??[/mm] Das passt mit den Lösungen
> aber auch nicht überein, da kommt nämlich in einer Woche
> 0,000002% heraus.
Die Gleichung [mm] 1-0,995^{n}\ge0,8 [/mm] ist die Lösung zu Aufgabenteil b)
Marius
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Hi,
mir ist zu Teil b) nochmal eine Frage eingefallen.
Wenn man weiß, dass die Wahrscheinlichkeitt für alle Ampeln zeigen grün [mm] 4,92075\cdot10^{-3} [/mm] beträgt, wieso kann man nicht gleich
[mm] (4,92075\cdot10^{-3})^n \ge [/mm] 0,80 betrachten, und das nach n auflösen???
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> Hi,
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> mir ist zu Teil b) nochmal eine Frage eingefallen.
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> Wenn man weiß, dass die Wahrscheinlichkeitt für alle
> Ampeln zeigen grün [mm]4,92075\cdot10^{-3}[/mm] beträgt, wieso
> kann man nicht gleich
>
> [mm](4,92075\cdot10^{-3})^n \ge[/mm] 0,80 betrachten, und das nach
> n auflösen???
>
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Vielleicht hilft folgende Überlegung:
Stell es Dir z.B. als Baumdiagramm mit je 2 Ästen vor:
- alle grün (-> p=0,00492...)
- mind. eine nicht grün (-> 1-p = 0,995...)
Das passiert jetzt in mehreren Stufen und Du suchst jetzt die W-keit dafür, dass in dem Pfad, den Du in den (gesuchten) n Stufen durchläufst, mind. einmal ein "alle grün" dabei ist. Das sind aber alle Pfade bis auf den EINEN Pfad, bei dem es immer heißt "mind. eine nicht grün". Da Du die Anzahl suchst, bietet es sich hier also an, NUR diesen einen Pfad und dessen W-keit zu betrachten und damit über dieses Gegenereignis auf den Lösungsansatz von Marius zu kommen.
Dein Ansatz hier ist die W-keit für den Pfad, dass n-mal "alle grün" kommt - und diese W-keit wird immer kleiner, je größer n wird (klar).
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