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| Aufgabe | Begründen Sie die Gültigkeit folgender Aussage:
Wenn der Graph einer ganzrationalen Funktion f punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist, dann gilt für alle a >0: [mm] \integral_{-a}^{a}{f(x) dx} [/mm] = 0. |
Man könnte es ja danach begründen, dass die Funktion die punktsymmetrisch durch den Ursprung geht quasi die Winkelhalbierende ist (grafisch vorgestellt). Deshalb schließt die Funktion mit der x Achse und der geraden zwei Flächenstücke ein. Aufgrund des Integrals und der Vorezeichenwechsel wird das allerdings aufgehoben und null kommt als Ergebnis raus.
In den Lösungen stand dann "...schließt mit der x-Achse und den geraden zu x= -a und x=a Flächenstücke ein." Aber wurde nicht auch vorher in der Aufgabenstellung gesagt, dass a > 0 ist? Wie kann denn dann a jetzt -a sein?
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Hallo Yosii,
> Begründen Sie die Gültigkeit folgender Aussage:
> Wenn der Graph einer ganzrationalen Funktion f
> punktsymmetrisch bezüglich des Koordinatenursprungs ist,
> dann gilt für alle a >0: [mm]\integral_{-a}^{a}{f(x) dx}[/mm] = 0.
Das ist anschaulich ja ziemlich offensichtlich, oder?
> Man könnte es ja danach begründen, dass die Funktion die
> punktsymmetrisch durch den Ursprung geht quasi die
> Winkelhalbierende ist (grafisch vorgestellt).
Nein, das ist zu langweilig. Versuch mal [mm] f(x)=x^3 [/mm] oder [mm] f(x)=\sin{(x)}.
[/mm]
> Deshalb
> schließt die Funktion mit der x Achse und der geraden
"geraden"? Fehlt hier ein Wort oder mehr?
> zwei
> Flächenstücke ein. Aufgrund des Integrals und der
> Vorezeichenwechsel wird das allerdings aufgehoben und null
> kommt als Ergebnis raus.
>
> In den Lösungen stand dann "...schließt mit der x-Achse
> und den geraden zu x= -a und x=a Flächenstücke ein." Aber
> wurde nicht auch vorher in der Aufgabenstellung gesagt,
> dass a > 0 ist? Wie kann denn dann a jetzt -a sein?
Wenn a>0 ist, dann ist -a<0. Mehr kann man nicht sagen, aber mehr ist auch nicht nötig. Hier wird doch keineswegs behauptet, dass $a=-a$ ist. Im Gegenteil: man kann sicher aussagen, dass [mm] a\not={-a} [/mm] ist.
Grüße
reverend
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Hallo, genuegt es nicht das einmal fuer a= unbekannt auszurechnen (nagut, man weiss zumindest dass es >0 ist, daher teilt man auch nicht unabsichtig durch 0)
Und dann fuer a+1
Damit braeuchte man dann doch nichts mehr schreiben oder? Wenn man die Definition einer punktsymetrischen Funktion mit einbezieht, muesste man nichtmal rechnen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:44 So 08.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo, genuegt es nicht das einmal fuer a= unbekannt
> auszurechnen (nagut, man weiss zumindest dass es >0 ist,
> daher teilt man auch nicht unabsichtig durch 0)
> Und dann fuer a+1
formuliere diese Frage mal bitte neu. Du kannst Dich auf jeden Fall o.E.
auf $a > [mm] 0\,$ [/mm] beim Beweis beschränken.
> Damit braeuchte man dann doch nichts mehr schreiben oder?
> Wenn man die Definition einer punktsymetrischen Funktion
> mit einbezieht, muesste man nichtmal rechnen oder?
Doch, das ist der Sinn solcher Aufgaben, dass man eben "nicht nur etwas
benutzt, was man sieht (zu sehen glaubt)":
Tipps: Für o.E. $a > [mm] 0\,$
[/mm]
(I) Bei
[mm] $\int_{-a}^0 f(x)\,dx$
[/mm]
substituiere mal [mm] $x:=-\;t\,.$ [/mm] Beachte danach dann [mm] $f(-x)=-\,f(x)$ [/mm] für alle [mm] $x\,.$
[/mm]
(II) Beachte die Rechenregeln
[mm] $\int_{-a}^a f(x)\,dx=\int_{-a}^0 f(x)\,dx+\int_0^a f(x)\,dx\,,$
[/mm]
sowie
[mm] $\int_a^0 f(x)\,dx=\;-\;\int_0^a f(x)\,dx.$
[/mm]
Dass man hier [mm] $f\,$ [/mm] als ganzrationale Funktion voraussetzt, ist unerheblich.
Wichtig ist eher, dass [mm] $f\,$ [/mm] ungerade ist und dass stets die Integrale
[mm] $\int_{-a}^a f(x)\,dx$
[/mm]
existieren!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 03:01 So 08.12.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In den Lösungen stand dann "...schließt mit der x-Achse
> und den geraden zu x= -a und x=a Flächenstücke ein." Aber
> wurde nicht auch vorher in der Aufgabenstellung gesagt,
> dass a > 0 ist? Wie kann denn dann a jetzt -a sein?
mit "der Geraden [mm] $x=a\,$" [/mm] meint man die folgende Gerade:
[mm] $\{(x,y):\;\;x=a\text{ und }y \in \IR\}=\{(a,y):\;\;y \in \IR\} \subseteq \IR^2\,.$
[/mm]
Diese Gerade ist parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] (die [mm] $y\,$-Achse [/mm] ist nichts anderes als
[mm] $\{(x,y):\;\;x=0\}=\{(0,y):\;\;y \in \IR\} \subseteq \IR^2\,.$)
[/mm]
Das ist in der Schule gängig, spricht man doch dort auch etwa von "der
Geraden
[mm] $y=mx+n\,$",
[/mm]
wenn man eigentlich meint, dass dies eine Gleichung ist, die eine Funktion
beschreibt, deren Graph eine Gerade ist:
[mm] $\{(x,y):\;\;y=mx+n,\;x \in \IR\}=\{(x,mx+n):\;\;x \in \IR\}\,.$
[/mm]
Das "Problem" bei "Geraden [mm] $y=mx+n\,$" [/mm] ist, dass man damit keine Gerade
erfassen kann, die parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] verläuft (parallel=parallelgleich).
Du weißt sicher:
Eine "Gerade [mm] $y=mx+n\,$" [/mm] hat Steigung [mm] $m\,$ [/mm] und "geht durch $(0,n) [mm] \in \IR^2\,.$"
[/mm]
(Deswegen sagt man ja auch kurz, dass [mm] $n\,$ [/mm] der [mm] "$y\,$-Achsenabschnitt
[/mm]
sei!")
Analog: Eine "Gerade [mm] $x=a\,$" [/mm] läuft parallel zur [mm] $y\,$-Achse [/mm] (jetzt könnte man sagen,
dass sie Steigung [mm] $\infty$ [/mm] hat - aber hätte sie dann nicht auch Steigung [mm] $-\,\infty$?
[/mm]
Deswegen sagt man sowas lieber nicht, um nicht [mm] $\infty=-\infty$ [/mm] folgern zu können...)
und geht durch $(a,0) [mm] \in \IR^2\,.$" [/mm] (Das heißt, diese Gerade "schneidet die
[mm] $x\,$-Achse [/mm] an der Stelle [mm] $a\,.$")
[/mm]
Und ähnlich, wie man "kurz" sagt:
"Der Graph der Sinusfunktion verläuft zwischen den Geraden [mm] $y=1\,$ [/mm] und [mm] $y=-1\,$"
[/mm]
ist obiger Satz gemeint. Bei dem letzten Satz mit der Sinusfunktion meint
man eigentlich zwei Geraden:
Die erste Gerade ist der Graph der Funktion
[mm] $f_1 \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_1(x):=1$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,,$
[/mm]
die zweite Gerade ist der Graph der Funktion
[mm] $f_2 \colon \IR \to \IR$ [/mm] mit [mm] $f_2(x):=-1$ [/mm] für alle $x [mm] \in \IR\,.$
[/mm]
(Damit lautet der bessere Satz also: Der Graph der Sinusfunktion [mm] ($\sin \colon \IR \ni [/mm] x [mm] \mapsto \sin(x) \in \IR$) [/mm]
verläuft zwischen dem Graphen der Funktionen [mm] $f_1$ [/mm] und dem Graphen der Funktion [mm] $f_2\,.$)
[/mm]
Hier würdest Du ja auch nicht
"Gerade [mm] $y=1\,$" [/mm] und "Gerade [mm] $y=-1\,$" [/mm] liefert [mm] $1=-1\,$
[/mm]
folgern.
Aber sowas ist natürlich die "didaktische Gefahr" bei solchen
Kurzsprechweisen!
Also so als Selbsttest: Wenn der Lehrer von "der Geraden [mm] $x=0\,$" [/mm] spricht, so
kann er auch direkt von der [mm] $y\,$-Achse [/mm] sprechen!
Gruß,
Marcel
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