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| Aufgabe | a) Für welche y [mm] \in\ \IR\ [/mm] ist die Gleichung [mm] x^2+4x=y [/mm] lösbar?Für welche y ist sie eindeutig lösbar?
b) Sei f: [mm] \IR\ \to \IR\ [/mm] , [mm] f(x)=x^2+4x [/mm] .
Ist f injektiv? Bestimmen Sie das Urbild f^(-1) ( [mm] \left[ 5,12 \right] [/mm] )
c) Sei g : [mm] \IR\ \to \IR\ [/mm] , g(x)= 3x-2. Hat g eine Umkehrfunktion?
Falls ja, welche? Bestimmen Sie das Urbild g^(-1) ( offenes Intervall -1,0) |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
also bei der 1a) muss ich pq- Formel anwenden ja und weiter bei b komme ich auch so bisschen klar aber beim Urbild bestimmen weiß ich noch nicht so recht...
Gruß
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1c) die Umkehrfunktion lautet g^(-1)=1/3x +2/3
Also mit dem Urbild komme ich nicht klar.
Gruß
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Zu 1b) f ist nicht injektiv.Man muss die Funktion plotten und dann schauen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:53 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu 1b) f ist nicht injektiv.Man muss die Funktion plotten
> und dann schauen.
das kann man - zur Motivation - auch machen. Aber MUSS man nicht.
Guck in meine "Teilantwort"!
P.S. Ein Plot ist kein Beweis - jedenfalls nicht ohne weitere Erläuterungen!
Also: Ein Plot alleine reicht NICHT!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> 1c) die Umkehrfunktion lautet g^(-1)=1/3x +2/3
da fehlt das [mm] $x\,.$ [/mm] Ich plädiere allerdings für folgendes:
Es war $g: [mm] \red{\IR} \to \green{\IR}$ [/mm] definiert durch
[mm] $$g(x)=3x-2\,.$$
[/mm]
Wir nennen die Elemente aus [mm] $\green{\IR}$ [/mm] nun [mm] $y\,$ [/mm] und die
aus [mm] $\red{\IR}$ [/mm] nun [mm] $x\,.$ [/mm] Dann gilt
$$y=3x-2 [mm] \gdw x=\frac{1}{3}y+\frac [/mm] 2 [mm] 3\,.$$
[/mm]
Also ist mit $u: [mm] \green{\IR} \to \red{\IR}$ [/mm] und [mm] $u(y):=\frac{1}{3}y+\frac [/mm] 2 3$
dann [mm] $u\,$ [/mm] die gesuchte Umkehrfunktion, d.h. [mm] $g^{-1}=u\,,$ [/mm] d.h.
[mm] $$g^{-1}(y)=\frac{1}{3}y+\frac [/mm] 2 [mm] 3\;\;\; \forall [/mm] y [mm] \in \green{\IR}\,.$$ [/mm]
Dass die Variable [mm] $x\,$ [/mm] heißen soll, ist man aus der Schule gewohnt - aber
das ist nicht immer didaktisch förderlich... (und dass ich [mm] $\IR$ [/mm] in zwei
Farben markiert habe, soll nur darauf hinweisen, dass [mm] $\red{\IR}$ [/mm] der
Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm] und [mm] $\green{\IR}$ [/mm] der Zielbereich von [mm] $g\,$
[/mm]
war. Ich hätte das auch didaktisch anders machen können, indem ich
immer von [mm] $D_g=\IR$ [/mm] etc. pp. gesprochen hätte. Aber so, wie ich es oben
gemacht habe, sollte das auch klar hervorgehen, was gemeint ist!)
> Also mit dem Urbild komme ich nicht klar.
Dazu habe ich Dir an anderer Stelle etwas geschrieben - am günstigsten ist
es (hier), wenn man direkt per Definitionem arbeitet. Hier kann man auch
relativ elegant mit der Umkehrfunktion arbeiten - etwa, wenn man sich
kurz auch Gedanken zur Monotonie macht. Aber davon rate ich ab, solange
man schon mit dem Arbeiten "per Definitionem" ungeübt ist!
Gruß,
Marcel
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muss ich x und y nicht vertauschen. Die Umkehrfunktion lautet doch y=1/3x+2/3 oder????
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:45 Di 30.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> muss ich x und y nicht vertauschen. Die Umkehrfunktion
> lautet doch y=1/3x+2/3 oder????
man MUSS nichts vertauschen. Das ist "Schulgepflogenheit", dass man
bei Funktionen [mm] $f\,$ [/mm] einer Variablen, also etwa
$$f: [mm] \IR \to \IR\,,$$
[/mm]
dann [mm] $f(x)\,$ [/mm] für den Funktionswert an einer Stelle $x [mm] \in \IR$ [/mm] schreibt,
und dann auch [mm] $y=f(x)\,$ [/mm] dafür.
Du könntest genau so gut schreiben, dass die Umkehrfunktion [mm] $\theta\,$
[/mm]
mit
[mm] $$\theta(\omega)=1/3 \omega+2/3\,$$
[/mm]
für [mm] $\omega \in \IR$ [/mm] gegeben ist.
Dass ich allerdings sowas wie [mm] $g^{-1}(y)=1/3 [/mm] y +2/3$ und nicht
[mm] $g^{-1}(\omega)=1/3 \omega [/mm] +2/3$ geschrieben hatte, hatte nur den
didaktischen Grund, weil ich bzgl. [mm] $g\,$ [/mm] die Elemente aus dem
Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm] immer mit der gleichen Variablen [mm] $x\,$ [/mm]
bezeichnen wollte und eben die aus dem Zielbereich stets mit [mm] $y\,.$
[/mm]
Schreibe ich nun [mm] $y=g^{-1}(x)=1/3x+2/3\,,$ [/mm] so ist das genauso korrekt -
sofern ich vorher halt NICHT sage, dass die Elemente aus dem
Definitionsbereich von [mm] $g\,$ [/mm] IMMER mit dem gleichen Variablennamen [mm] $x\,$
[/mm]
benannt werden sollen etc. pp..
Deine obige Umkehrfunktion ist doch genau das gleiche, wie das, was ich
geschrieben hatte - nur halt in "Form der Schulgeflogenheit".
Lies vielleicht einfach nochmal genau das, was ich geschrieben hatte, denn
eigentlich wiederhole ich mich nur...
Mal ein anderes Beispiel:
Betrachte $f: [mm] (-\infty,0] \to [0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $f(x)=-x\,.$ [/mm] Wenn ich nun die
Elemente aus [mm] $(-\infty,0]$ [/mm] nun immer mit [mm] $x\,$ [/mm] bezeichne, und die aus
[mm] $[0,\infty)$ [/mm] mit [mm] $y\,,$ [/mm] dann macht's Sinn, [mm] $y=f(x)=-x\,$ [/mm] zu schreiben.
Man sieht dann immer: $y [mm] \ge 0\,,$ [/mm] und $x [mm] \le 0\,.$ [/mm] Die Umkehrfunktion
hier ist [mm] $f^{-1}(y)=-y=x\,,$ [/mm] und hier sieht man wieder $y [mm] \ge 0\,,$ [/mm] und
auch $x [mm] \le 0\,.$
[/mm]
Schreibe ich nun [mm] $f^{-1}(x)=-x$ [/mm] für die Umkehrfunktion, so muss ich mir
klarmachen, dass ich hier aber dann $x [mm] \in [0,\infty)\,$ [/mm] meine, also dass
$x [mm] \ge [/mm] 0$ in dieser Notation zu verstehen ist. Natürlich kann man das auch
machen, aber das kann eben verwirrend sein, denn wenn man sich
nicht dran erinnert, dass irgendwann mal [mm] "$x\,$ [/mm] und [mm] $y\,$ [/mm] ihre Rollen
vertauscht haben" - oder das nicht deutlich hervorgehoben worden ist, so
kann jemand, der sich das anguckt, auch einfach denken: "Okay, anfangs
steht da $x [mm] \le 0\,,$ [/mm] nun $x [mm] \ge 0\,.$ [/mm] Also ist [mm] $x=0\,$?"
[/mm]
Dein Vorgehen ist man halt aus der Schule gewohnt: Bei Funktionen [mm] $f\,$ [/mm]
einer Variablen schreiben wir halt "immer" [mm] $f(x)\,.$ [/mm] Zwingend ist das aber
nicht, und didaktisch finde ich's auch nicht immer notwendig bzw. oft
sogar nicht sinnig. Denn an der Stelle, wo im Schulbuch steht, dass man
[mm] $x\,$ [/mm] gegen [mm] $y\,$ [/mm] vertauschen soll, sollte man dazuschreiben, dass man
nun zudem beachte, dass nach dem Vertauschen "das neue [mm] $x\,$" [/mm] in dem
Bereich sich aufhält, wo "das alte [mm] $y\,$" [/mm] (also vor dem Vertauschen)
aufzufinden ist und entsprechend, dass "das neue [mm] $y\,$" [/mm] sich nun in dem
Bereich bewegt, wo sich zuvor "das alte [mm] $x\,$" [/mm] bewegt hatte.
Warum man nicht einfach in der Schule damit lebt, dass $f(x)=y [mm] \gdw f^{-1}(y)=x$ [/mm]
(falls [mm] $f^{-1}$ [/mm] existiert) gilt und man die Umkehrfunktion dann halt in
der Variablen [mm] $y\,$ [/mm] anstelle von [mm] $x\,$ [/mm] angibt, das mögen Lehrer besser
begründen können. Ich finde, dass es eigentlich sogar mehr verwirren
denn helfen kann. Aber da fehlt mir Erfahrung aus der Schulpraxis! Und
abgesehen davon: In der Schule macht man das schon seit Ewigkeiten
so!  (Was aber nicht heißt, dass ich es deswegen auch so mache.  )
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:52 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Helbig |
Hallo Student89,
> b) Sei f: [mm]\IR\ \to \IR\[/mm] , [mm]f(x)=x^2+4x[/mm] .
> Ist f injektiv? Bestimmen Sie das Urbild f^(-1) ( [mm]\left[ 5,12 \right][/mm]
> )
>
> weiter bei b komme ich auch so bisschen klar aber beim
> Urbild bestimmen weiß ich noch nicht so recht...
Na, dann skizziere doch mal die Funktion. Und dann bestimme wieder mit der pq Formel die $x$-Werte, die auf 5 bzw. auf 12 abgebildet werden -- dies sind wohl vier x-Werte. Dann liest Du aus Deiner Skizze ab, welche Werte noch in [5; 12] landen. Und diese Vermutung beweist Du dann.
Gruß,
Wolfgang
PS: Das Urbild kannst Du auch so schreiben: [mm] $f^{-1}([5; [/mm] 12])$<- klick!
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Hallo,
die vier x- Werte sind [mm] x_1=-5, x_2=1, x_3=-6, x_4=2 [/mm] . Ich komme irgendwie nicht weiter.
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:00 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Hallo,
>
> die vier x- Werte sind [mm]x_1=-5, x_2=1, x_3=-6, x_4=2[/mm] . Ich
> komme irgendwie nicht weiter.
Na ja, anschaulich ist [mm] $f^{-1}([5, [/mm] 12]) = [-5; [mm] -6]\cup [/mm] [1, 2]$, weil für jedes [mm] $x\in [/mm] [-5; -6]$ der Wert $f(x)$ in $[5, 12]$ liegt, ebenso für jedes [mm] $x\in [/mm] [1; 2]$. Für alle anderen $x$ ist [mm] $f(x)\notin [/mm] [5; 12]$.
Gruß,
Wolfgang
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:32 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Student89 |
Sind meine restlichen Antworten richtig?siehe Mitteilungen...
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Zu 1a) Die Gleichung ist lösbar für [mm] x_1=0 [/mm] nd [mm] x_2= [/mm] -4. Somit ist die Gleichung für y=0 lösbar/ eindeutig lösbar?? ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Zu 1a) Die Gleichung ist lösbar für [mm]x_1=0[/mm] nd [mm]x_2=[/mm] -4.
nein: für [mm] $y=0\,$ [/mm] hat die Gleichungen die ZWEI Lösungen [mm] $x_1=0\,$ [/mm] und
[mm] $x_2=-4\,.$ [/mm] Überdenke Deine Ausdrucksweise!
> Somit ist die Gleichung für y=0 lösbar/ eindeutig
> lösbar?? ?
Für [mm] $y=0\,$ [/mm] ist sie lösbar. Eindeutig lösbar bedeutet, dass es genau ein
[mm] $x\,$ [/mm] gibt, dass die Gleichung löst. Für $y=0$ ist die Gleichung also NICHT
eindeutig lösbar, da für [mm] $y=0\,$ [/mm] die Lösungsmenge der Gleichung [mm] $\{-4,\;0\}$ [/mm]
eben NICHT einelementig ist!
Was ist mit den anderen [mm] $y\,,$ [/mm] also mit $y [mm] \in \IR \setminus \{0\}$? [/mm] Du
hast gerade nur einen einzigen Wert für [mm] $y\,$ [/mm] behandelt!
Tipp: Guck' in meine "Teilantwort"!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sind meine restlichen Antworten richtig?siehe
> Mitteilungen...
in sinnvoller Weise habe ich sie zu Fragen abgeändert, da sie inhaltliche
Fragen enthielten. Diese Frage hier ist eher eine Mitteilung, da es keinen
neuen(!) Inhalt gibt, den Du "beantwortet" haben willst!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> a) Für welche y [mm]\in\ \IR\[/mm] ist die Gleichung [mm]x^2+4x=y[/mm]
> lösbar?Für welche y ist sie eindeutig lösbar?
na, [mm] $x^2+4x-y=0\,$ [/mm] mit [mm] $p=4\,$ [/mm] und [mm] $q=-y\,$ [/mm] liefert nun - wie Du angedeutet hattest -
nun was genau in der pq-Formel? Aus welchen
Zahlen "können/dürfen" wir Wurzeln ziehen, wenn wir in [mm] $\IR$ [/mm] bleiben
wollen? Und wann gilt für [mm] $x_1=t+s\,$ [/mm] und [mm] $x_2=t-s\,$ [/mm] nun [mm] $x_1=x_2$?
[/mm]
(Letzteres kannst Du nachrechnen: $t+s=t-s [mm] \gdw [/mm] ...$!)
Und von genau welcher Zahl [mm] $\ge [/mm] 0$ wissen wir, dass deren Wurzel auch
wieder die Null ergibt?
Oder mach's besser so - nimm' mal die Herleitung der pq-Formel, also
quadratische Ergänzung. Mit Zwischenschritten -die DU ergänzen sollst -
siehst Du dann
[mm] $$x^2+4x=y \gdw (x+2)^2=4+y\,.$$
[/mm]
Dritte binomische Formel hilft nun, sofern wir denn ... bzgl. [mm] $4+y\,$ [/mm] nun
was machen dürfen? Was sehen wir auch sofort, wenn denn $4+y < 0$
wäre? (Beachte: Quadratzahlen sind stets nichtnegativ, und auch
mit $z:=x+2$ gilt dann [mm] $z^2 \ge [/mm] ...$?)
Und zur Eindeutigkeit: Denke nach, wie man überhaupt formal die
Eindeutigkeit formuliert: Sind $x,x'$ beide in [mm] $\IR$ [/mm] mit [mm] $x^2+4x=y=x'^2+4x'\,,$ [/mm] dann folgt schon...
> b) Sei f: [mm]\IR\ \to \IR\[/mm] , [mm]f(x)=x^2+4x[/mm] .
> Ist f injektiv?
Wäre [mm] $f\,$ [/mm] injektiv, so würde für $x,x' [mm] \in \IR$ [/mm] aus $f(x)=f(x')$ schon
folgen, dass [mm] $x=x'\,$ [/mm] sein muss. Und Du brauchst hier gar nicht viel
plotten:
Man kann [mm] $f\,$ [/mm] sofort in Scheitelpunktform bringen - rein algebraisch,
eben wieder mit der quadratischen Ergänzung. Und wenn Dir das
gelungen ist, dann siehst Du doch sofort:
Ist [mm] $x_S$ [/mm] die [mm] $x\,$-Koordinate [/mm] des Scheitelpunktes von [mm] $f\,,$ [/mm] so gilt
sogar für jedes $r > [mm] 0\,,$ [/mm] dass [mm] $f(x_S-r)=f(x_S+r)\,.$
[/mm]
Um nun die Annahme, dass [mm] $f\,$ [/mm] injektiv sei, zu widerlegen, berechne
halt das [mm] $x_S$ [/mm] wie angedeutet und betrachte etwa $r:=1 > [mm] 0\,,$ [/mm] dann
[mm] $x:=x_S-r=x_S-1$ [/mm] und [mm] $x'=x_S+r=x_S+1\,.$
[/mm]
P.S. Du hättest hier besser mehrere Fragen aus den einzelnen Aufgaben
gemacht - meinetwegen mit einer Verlinkung zu den anderen Aufgaben.
Aber die Aufgaben hier kann man unabhängig voneinander lösen, also
Aufgabe a) komplett als einzelne Frage, ebenso Aufgabe b) komplett
als einzelne Frage und Aufgabe c).
Gruß,
Marcel
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Zu 1a) für -4 [mm] \le [/mm] y [mm] \ge [/mm] 0 lösbar
für y=-4 eindeutig lösbar x=-2
für y [mm] \le [/mm] -4 nicht lösbar
die kleiner glich sollen nur kleiner heißen.hab ich in der Formelsammlung nicht gefunden.
So ist es richtig, oder???
Gruß
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:45 Di 30.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zu 1a) für -4 [mm]\le[/mm] y [mm]\ge[/mm] 0 lösbar
Nein. Was soll y [mm] \ge [/mm] 0 ? Z.B. ist die gleichung für y= -3 lösbar.
Also: lösbar [mm] \gdw [/mm] y [mm] \ge [/mm] 4
> für y=-4 eindeutig lösbar x=-2
Ja
> für y [mm]\le[/mm] -4 nicht lösbar
Nein. Nicht lösbar für y<-4
FRED
> die kleiner glich sollen nur kleiner heißen.hab ich in
> der Formelsammlung nicht gefunden.
>
> So ist es richtig, oder???
>
> Gruß
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Du meinst lösbar für y [mm] \ge [/mm] -4!!!
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Di 30.10.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo student89,
> Du meinst lösbar für y [mm]\ge[/mm] -4!!!
Ja, das meinte er.
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Mo 29.10.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> c) Sei g : [mm]\IR\ \to \IR\[/mm] , g(x)= 3x-2. Hat g eine
> Umkehrfunktion?
> Falls ja, welche? Bestimmen Sie das Urbild g^(-1) (
> offenes Intervall -1,0)
schnell auch zur c): Der Graph von [mm] $g\,$ [/mm] ist eine Gerade des [mm] $\IR^2\,,$
[/mm]
woraus man sich schon anschaulisch klarmachen kann, dass [mm] $g\,$
[/mm]
bijektiv ist und damit eine Umkehrfunktion hat.
(Wäre allerdings [mm] $g\,$ [/mm] auf [mm] $\IQ$ [/mm] definiert, so wäre [mm] $g\,$ [/mm] schon nicht
surjektiv - warum?)
Zeige also die Injektivität und die Surjektivität - und hier kann man dem
Beweis der Surjektivität, sofern man ihn direkt führt, auch entnehmen, wie
man die Umkehrfunktion hinschreiben kann.
Zum Urbild: Schreib' erstmal die Definition hin:
[mm] $$g^{-1}((-1,0))=\{x \in \IR: 3x-2 \in (-1,0)\}\,.$$
[/mm]
Und wenn Du nicht mit der Umkehrfunktion überlegen willst:
[mm] $$\{x \in \IR: 3x-2 \in (-1,0)\}=\{x \in \IR: -1 < 3x-2 < 0\}\,.$$
[/mm]
Für genau welche $x [mm] \in \IR$ [/mm] gilt denn
SOWOHL
$-1 < 3x-2$
ALS AUCH
$3x-2 < 0$?
Gruß,
Marcel
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Zu 1c) die Urbildmenge lautet offenes Intervall (1/3,2/3)
Stimmt das???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:59 Di 30.10.2012 | | Autor: | Helbig |
> Zu 1c) die Urbildmenge lautet offenes Intervall (1/3,2/3)
>
> Stimmt das???
Ja.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 31.10.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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