Analysis 1 - Häufungspunkt < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
Hallo ich mal wieder (immerhin ein ausführlicher Frager, der seine Lösungen auch abtippt).
Ich weiss mehrere Leute beasrbeiten gerade die gleiche Aufgabe wie ich.
Nur kenne ich diese Leute nicht.
Hier stelle ich schon einmal die Aufgabenstellung ins Internet.
Meine Lösungsideen und Fragen folgen dann.
Ist das eigentlich eine gutes Verfahren so wie ich das mache ?
Ich meine so erspare ich einem das Aufgaben abtippen und motivviere Leute die das abtippen hindert Fragen zu stellen - oder ?
Blatt 5 Aufgabe 1
Entscheiden Sie über Wahrheit oder Falschheit der folgenden Aussagen und beweisen Sie Ihre Behauptung.
1.1) Eine beschränkte Folge in [m] \IR [/m] ist genau dann konvergent, wenn sie nur einen Häufungspunkt besitzt.
1.2) Eine Folge in [m] \IR [/m] ist genau dann konvergent, wenn sie nur einen Häufungspunkt besitzt.
Dazu habe ich den Tipp bekommen unter [mm] http://www.mathproject.de/Folgen/5_8.html [/mm] zu schauen. Werd ich noch machen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:02 Do 27.05.2004 | | Autor: | baddi |
Defintion von ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathproject.de/Folgen/5_8.html:
Es sei ( [m]a_n[/m] ) eine Folge und [m] x \in \IR[/m] .
x heißt ein Häufungspunkt von ( [m]a_n[/m] ), falls in jeder e-Umgebung von x unendlich viele Folgenglieder liegen.
[m]((-1))^n[/m] hätte zwei Häufungspunkte.
Und zwar bei x = 1 und bei x = -1
Dort sollen, so heißt es, in der e-Umgebung jeweils unendliche viele Elemente liegen.
Wie sieht die Folge ungefähr aus:
[m]((-1))^n = ( -1^0,-1^1-1^2,-1^3,-1^4,-1^5,-1^6, ... )
= ( 1, -1, 1, -1, 1, -1, 1 ... ) [/m]
So soweit stimmts, das wurde überprüft.
Also bei Element 1 soll in der e-Umgebung unendliche viele Elemente sein.
OK. Also e-Umgebung ist doch ein kleiner Raum/Platz/Interval um x.
Das darf ich also frei wählen.
Sag ich mal das sei e1-Umgebung = [0,5 , ... , 1,5 ]
Aber darin sind doch nicht unendlich viele Elemente ?!
Ja klar. Weil die 1 kommt undendlich oft vor.
Also habe ich für das Element 1 in einer Umgebung [0,5 , ... , 1,5 ] undenliche viele andere Element (auch 1).
Und damit ist 1 einer der Häufungspunkte.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:16 Do 27.05.2004 | | Autor: | andreas |
> Wie sieht die Folge ungefähr aus:
> [m]((-1))^n = ( -1^0,-1^1-1^2,-1^3,-1^4,-1^5,-1^6, ... )
> = ( 1, -1, 2, -4, 8, -16, 32 ... )[/m]
bis [m]((-1))^n = ( -1^0,-1^1-1^2,-1^3,-1^4,-1^5,-1^6, ... ) [/m] stimmt das. aber es gilt [m] (-1)^2 = (-1)(-1) = 1 \ne 2[/m] und so weiter also hat die folge die gestalt:
[m]((-1))^n = ( -1^0,-1^1-1^2,-1^3,-1^4,-1^5,-1^6, ... ) = (1, -1, 1, -1, 1, -1, 1, ...) [/m] .
offensichtlich liegen jetzt in jeder [m] \varepsilon [/m]-umgebeung von 1 unendlich viele glieder, nämlich alle mit geradem index. genauso liegen alle glieder mit ungeradem index in jeder [m] \varepsilon[/m]-umgebung von -1.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:34 Do 27.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian,
> Es sei ( [mm] $a_n$ [/mm] ) eine Folge und $x [mm] \in \IR$ [/mm] .
> x heißt ein Häufungspunkt von ( [mm] $a_n$ [/mm] ), falls in jeder e-Umgebung von
> x unendlich viele Folgenglieder liegen.
[mm] $((-1))^n$ [/mm] hätte zwei Häufungspunkte.
Und zwar bei x = 1 und bei x = -1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") 
> Dort sollen, so heißt es, in der e-Umgebung jeweils unendliche viele
> Elemente liegen.
Nein, dort heißt es eher: In 'jeder' e-Umgebung sollen jeweils unendlich viele 'Folgeglieder' liegen!
> Wie sieht die Folge ungefähr aus:
> [mm] $((-1))^n=(-1^0,-1^1-1^2,-1^3,...)=... [/mm]
> So soweit stimmts, das wurde überprüft.
Das ist aber formal nicht korrekt, z.B. ist:
[mm] $(-1)^4=1$ [/mm] (weil $(-1)*(-1)*(-1)*(-1)=1$), aber
[mm] $-1^4=-1$ [/mm] (weil [mm] $-1^4=-(1^4)=-(1*1*1*1)=-1$) [/mm] etc.
Du müßtest es also so notieren:
[mm] $((-1))^n=((-1)^0,(-1)^1,(-1)^2,(-1)^3,...)=(1,-1,1,-1,...)$
[/mm]
> Also bei Element 1 soll in der e-Umgebung unendliche viele Elemente
> sein. OK.
Nein, das soll in 'jeder' e-Umgebung so sein, und gemeint sind wieder 'Folgeglieder'!
> Also e-Umgebung ist doch ein kleiner Raum/Platz/Interval um x.
> Das darf ich also frei wählen.
Nein, du darfst dir nur ein beliebiges [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ (beliebig klein) vorgeben, aber kein 'konkretes' (d.h. du wählst es nicht 'konkret', sondern zeigst: Egal, welches [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ich wähle, dann folgt....). In der Definition wird von 'jeder' e-Umgebung gesprochen, nicht von einer!
> Sag ich mal das sei e1-Umgebung = [0,5 , ... , 1,5 ]
> Aber darin sind doch nicht unendlich viele Elemente ?!
Dass du e=0,5 setzt, genügt nicht. Siehe unten (*).
Außerdem verwechselst du immer Elemente mit Folgegliedern
> Ja klar. Weil die 1 kommt undendlich oft vor.
Das wiederum stimmt sicherlich, als Folgeglied
> Also habe ich für das Element 1 in einer Umgebung [0,5 , ... , 1,5 ]
> undenliche viele andere Element (auch 1).
Ja, du hast die Behauptung für eine, spezielle Umgebung gezeigt (wenn man wieder 'deine' 'Elemente' durch 'Folgeglieder' ersetzt ). Du musst sie aber für alle e-Umgebungen (e > 0) zeigen!
> Und damit ist 1 einer der Häufungspunkte.
Ergebnis richtig, aber da besteht noch Handlungsbedarf 
Also etwas ausführlicher anhand des HP -1:
Behauptung: -1 ist HP (Häufungspunkt) der Folge [mm] $((-1)^n)_{n \in \IN}$.
[/mm]
Beweis:
Sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] gegeben. Wir betrachten das Intervall [mm]I=I_{\varepsilon}:=(-1-\varepsilon, -1+\varepsilon)[/mm]. Für alle ungeraden $n$ ist [mm] $(-1)^n=-1$, [/mm] liegt also mit Sicherheit in $I$. Da $I$ gerade eine [mm] $\varepsilon-$Umgebung [/mm] um $-1$ ist (für ein beliebiges(!!!), aber festes [mm] $\varepsilon$), [/mm] ist $-1$ HP der Folge [mm] $((-1)^n)_{n \in \IN}$, [/mm] da die Menge der ungeraden natürlichen Zahlen nicht endlich ist.
Analog zeigst du, dass 1 HP ist.
(Nachtrag (*)): Warum genügt es nicht, die Behauptung für eine e-Umgebung zu zeigen?
Dazu betrachte die Folge [mm] $(\frac{1}{n})_{n \in \IN}$. [/mm] Es gibt nur einen HP, nämlich den Grenzwert 0.
Für [mm] $\varepsilon:=0,3$ [/mm] liegen unendlich viele Folgeglieder um $x:=0,3$, denn es liegen unendlich viele Folgeglieder in dem Intervall [mm](0,3-0,3; 0,3+0,3)=(0;0,6)[/mm]. Aber $x:=0,3$ ist kein HP. Das siehst du, wenn du $x=0,3$ läßt und [mm]\varepsilon:=0,2[/mm] setzt. Dann liegen nämlich nur noch endlich viele Folgeglieder in dem Intervall [mm](0,3-0,2; 0,3+0,2)=(0,1; 0,5)[/mm].
Viele Grüße
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:33 Do 27.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian,
hast du das hier eigentlich gestern/heute noch rechtzeitig gelesen?
Viele Grüße
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Do 27.05.2004 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sebastian,
> Hallo ich mal wieder (immerhin ein ausführlicher Frager, der seine
> Lösungen auch abtippt).
> Ich weiss mehrere Leute beasrbeiten gerade die gleiche Aufgabe wie
> ich.
> Nur kenne ich diese Leute nicht.
> Hier stelle ich schon einmal die Aufgabenstellung ins Internet.
> Meine Lösungsideen und Fragen folgen dann.
Sollen wir noch warten?
> Ist das eigentlich eine gutes Verfahren so wie ich das mache ?
Kann bzw. will ich nicht beurteilen, das überlasse ich lieber Marc
> Ich meine so erspare ich einem das Aufgaben abtippen und motivviere
> Leute die das abtippen hindert Fragen zu stellen - oder ?
Ja, aber die sind dann doch selber Schuld, wenn Ihnen nicht geholfen wird. Wie heißt es doch:
"Wer nicht fragt bleibt dumm!"
Aber einmal kurz zu deiner Aufgabe:
Die Lösung deiner Aufgabe 1.2) liegt doch auf dem Präsentierteller, lies mal die 1. Bemerkung zu dem Satz von Bolzano-Weierstraß (in dem von dir angegebenen Link) durch. Die Aussage ist also falsch, denn die Folge
(I) [mm] $(n*(1+(-1)^n))_{n \in \IN_0}$ [/mm] (wobei [mm] $\IN_0:=\IN \cup \{0\}$, [/mm] um die selbe Folge wie im Link zu nehmen ) ist eine Folge mit nur einem Häufungspunkt (nämlich 0), die aber nicht konvergiert (sie ist unbeschränkt, konvergente Folgen in [mm] $\IR$ [/mm] sind aber notwendig beschränkt).
1.2) behauptet ja zwei Richtungen:
1. Richtung: Wenn eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] konvergiert, dann hat sie nur einen HP (diese Richtung stimmt allerdings, wie man sich leicht überlegen kann).
2. Richtung: Wenn eine Folge in [mm] $\IR$ [/mm] nur einen HP hat, dann konvergiert sie auch schon.
Die 2. Richtung von 1.2) ist falsch (wegen (I), was ja ein Gegenbeispiel ist), also ist auch schon die ganze Aussage 1.2) falsch.
Na, wenn 1.2) falsch ist, wie wird es dann mit allergrößter Wahrscheinlichkeit mit 1.1) aussehen?
Kannst du den Beweis dazu führen oder benötigst du weitere Hilfe? Den Beweis findest du aber eigentlich auch in deinem Link, wenn du diese "Genau-dann-wenn"-Aussage wieder in zwei Richtungen zerlegst. Denn in dem Link wird jede dieser Richtungen einzeln bewiesen!
Viele Grüße
Marcel
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