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Hallo liebe Leute. Ich bin neu hier und weiß noch nicht so genau wie es hier funktioniert. Jedenfalls hätte ich eine Frage zu einer Aufgabe in Analysis I. Wir haben derzeit Stetigkeit und ich habe totale Probleme die Aufgabe zu lösen. Leider muss ich den Übungszettel bis morgen abgeben. Allerdings habe ich keine Idee zu der Aufgabe. Würde mir jemand helfen auf die Lösung zu kommen? Wenn ja, kann Sie/er sich ja mal melden. Würde mich rießig freuen. Eure Alicia
Ich setz einfach schon mal die Aufgabe hier ein. Diese wäre:
Es seien [mm] f,g:\IR\to\IR [/mm] stetig, und es gelte f(x)=g(x) für alle rationalen Zahlen [mm] x\in\IQ. [/mm] Man zeige, dass f(x)=g(x) sogar für alle reellen Zahlen [mm] x\in\IR [/mm] gilt.
Kann ich hier was mit der [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] Definition anfangen? Würde mich über einen ersten Tipp freuen.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
deine Idee mit [mm] \varepsilon-\delta [/mm] da ranzugehen ist schon nicht schlecht.
Betrachte mal $h(x) = f(x) - g(x)$
Was gilt für $h: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] nach Voraussetzung?
Nun nimm an, dass [mm] $f(x_0) \not= g(x_0)$ [/mm] für ein [mm] $x_0\in\IR$ [/mm] und führe das zum Widerspruch zu deinen Voraussetzungen.
Als Tip: Was passiert ist dann mit $h$ an der Stelle [mm] x_0 [/mm] ?
MFG,
Gono.
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folgt daraus, dass h(xo) [mm] \not= [/mm] f(xo) - g(xo) ?
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Nein.....
erstmal überlege dir, welche Eigenschaften:
$h(x) = f(x) - g(x)$ denn hat.
Zähl die mal auf 
MFG,
Gono.
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Kann es sein, dass sie sich schneiden?
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Hat h(x) eine Nullstelle? Ist h(a) [mm] \ge [/mm] 0 und h(b) [mm] \le [/mm] 0 ?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:07 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Selber denken. Was war denn über g(x) und f(x) gesagt?
Schon ein paar Millionen mehr Nullstellen als eine.
Du musst auch mal ne Weile die Aufgabe anstarren und überlegen. Wenn du etwa nach ner Nst. fragst guck nach, was du weisst.
Gruss leduart
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Kann ich es so machen:
f(x) [mm] \in [/mm] [a,b] & f(f(x)) = x,
da f:[a,b] stetig, folgt daraus:
(1) f(x) - x > 0 x [mm] \in [/mm] [a,b]
setzt man nun x:= f(xo) in (1) ein, erhält man:
f(f(xo)) - f(xo) > 0
[mm] \gdw [/mm] f(f(xo)) > f(xo)
Annahme:
f(xo) > xo mit f(f(xo)) > f(xo) folgt aber:
f(f(xo)) > xo,
was einen Widerspruch zur Voraussetzung f(f(x)) = x bedeutet
Stimmt das? Kann ich es so abgeben?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Mo 07.12.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
dies passt nicht zu der Aufgabe die du grade hier reingestellt hattest.
Gruss leduart
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Oh sorry. War irgendwie bei meiner anderen Aufgabe gelandet.
Kann ich es so abgeben?
Voraussetzung: h(x) = f(x) - g(x)
h(x) = 0
daraus folgt, dass h(x) stetig ist, denn f(x) und g(x) sind laut Vor. stetig.
Widerspruchsbeweis:
Annahme: h(x) [mm] \not= [/mm] 0 und stetig
h(xo) = a a > 0 für einen Punkt xo
Jede [mm] \varepsilon [/mm] - Umgebung enthält mindestens eine rationale
Zahl
Widerspruch zu h(x) = 0 für alle rationalen Zahlen x
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Hallo alicia1990,
zunächst: Deine Frage ist nicht wichtiger als die anderen, deswegen stelle bitte nicht pro 1/2 Stunde eine neue Frage mit dem Inhalt "Geht das so?", damit sie wieder oben ist.
Auch dass du morgen die Übungsaufgabe abgeben musst, rechtfertigt das nicht --> Eher dransetzen!
So, genug von der Standpauke.
> Voraussetzung: h(x) = f(x) - g(x)
> h(x) = 0
>
> daraus folgt, dass h(x) stetig ist, denn f(x) und g(x) sind
> laut Vor. stetig.
Alles noch etwas ungenau, aber die Quintessenz stimmt erstmal. Also:
g,f stetig auf [mm] \IR \Rightarrow [/mm] h mit $h(x) = f(x)-g(x) = 0$ ist stetig auf [mm] \IR.
[/mm]
Da f(x) = g(x) für [mm] x\in\IQ, [/mm] gilt h(x) = 0 für [mm] x\in\IQ.
[/mm]
> Widerspruchsbeweis:
>
> Annahme: h(x) [mm]\not=[/mm] 0 und stetig
> h(xo) = a a > 0 für einen Punkt xo
>
> Jede [mm]\varepsilon[/mm] - Umgebung enthält mindestens eine
> rationale
> Zahl
> Widerspruch zu h(x) = 0 für alle rationalen Zahlen x
>
Ja ... das ist vielleicht richtig, aber wenn ich als Korrektor das lesen würde, würde ich dir trotzdem nicht viele Punkte geben, weil für mich daraus nicht hervorgeht, dass du es verstanden hast.
Also:
Widerspruchsbeweis.
Angenommen, es gäbe ein [mm] $x_{0}\in \IR$ [/mm] mit [mm] $f(x_{0}) \not= g(x_{0})$. [/mm] Dann wäre [mm] $h(x_{0})\not= [/mm] 0$.
Da h stetig in [mm] x_{0}\in\IR, [/mm] gilt:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] \exists \delta_{\varepsilon} [/mm] > 0 : [mm] \forall x\in\IR: |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |h(x)-h(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
Insbesondere gilt dann natürlich auch:
[mm] $\forall \varepsilon [/mm] > 0 : [mm] \exists \delta_{\varepsilon} [/mm] > 0 : [mm] \forall x\in\IQ: |x-x_{0}| [/mm] < [mm] \delta_{\varepsilon} \Rightarrow |h(x)-h(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon$
[/mm]
(klar, da ich jetzt einfach dasselbe für weniger x fordere).
Es ist für [mm] $x\in\IQ$:
[/mm]
[mm] $|h(x)-h(x_{0})| [/mm] = [mm] |0-h(x_{0})| [/mm] = [mm] |h(x_{0})| [/mm] > 0$
So, dann ist aber auch [mm] $\varepsilon [/mm] = [mm] \frac{|h(x_{0})|}{2} [/mm] > 0$, aber es gilt eben nicht:
[mm] $|h(x)-h(x_{0})| [/mm] = [mm] |h(x_{0})| [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] \frac{|h(x_{0})|}{2}$,
[/mm]
egal wie ich [mm] \delta_\varepsilon [/mm] wähle, da [mm] |h(x)-h(x_{0})| [/mm] unabhängig von [mm] \delta_\varepsilon [/mm] eine Konstante ist.
Widerspruch zur Stetigkeit von h in [mm] x_{0}.
[/mm]
Grüße,
Stefan
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ja, in dem Aufschreiben bin ich nicht gut. Werde mir deine Antwort noch mal genau ansehen und hoffentlich lerne ich was draus. Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mo 07.12.2009 | | Autor: | alicia1990 |
Was meint ihr zu meinem Beweis?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Mo 07.12.2009 | | Autor: | alicia1990 |
Könnte sich mal bitte jemand meinen Beweis anschauen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:47 Di 08.12.2009 | | Autor: | fred97 |
Nachdem Du schon einige Antworten bekommen hast, noch eine Möglichkeit:
Sei [mm] x_0 \in \IR. [/mm] Dann gibt es eine Folge [mm] (r_n) [/mm] in [mm] \IQ [/mm] mit: [mm] r_n \to x_0.
[/mm]
1. [mm] f(r_n) [/mm] ? [mm] g(r_n) [/mm] für jedes n [mm] \in \IN. [/mm] Was kannst Du für "?" einsetzen ?
2. Was ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}f(r_n) [/mm] und was ist [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}g(r_n) [/mm] ?
3. [mm] f(x_0) [/mm] ? [mm] g(x_0) [/mm] Was kannst Du für "?" einsetzen ?
FRED
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