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| Aufgabe | Wo sind die folgenden Funktionen analytisch, erkläre warum.
[mm] f_a(z)=\bruch{2}{z^2+25}
[/mm]
[mm] f_b(z)=z^2*e^{-z}
[/mm]
[mm] f_c(z)=\bruch{\cos z}{z^2-6z-10}
[/mm]
[mm] f_d(z)=\wurzel{z+10} [/mm] |
Hallo :)
Also ich weiß das ich analytische Funktionen mit Hilfe von Cauchy Riemann lösen kann, wenn ich ein spezifisches u und v gegeben habe.
Aber wie mache ich es wenn ich nur ein allgemeines z habe?
Vielen lieben Dank für eure Hilfe :)
Liebe Grüße und einen schönen Sonntag :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:58 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Wo sind die folgenden Funktionen analytisch, erkläre
> warum.
>
> [mm]f_a(z)=\bruch{2}{z^2+25}[/mm]
> [mm]f_b(z)=z^2*e^{-z}[/mm]
> [mm]f_c(z)=\bruch{\cos z}{z^2-6z-10}[/mm]
> [mm]f_d(z)=\wurzel{z+10}[/mm]
> Hallo :)
>
> Also ich weiß das ich analytische Funktionen mit Hilfe von
> Cauchy Riemann lösen kann, wenn ich ein spezifisches u und
> v gegeben habe.
>
> Aber wie mache ich es wenn ich nur ein allgemeines z habe?
Komposition, Summe, Differenz und Produkt analytischer Funktionen sind analytisch. Für den Quotienten zweier analytischer Funktionen gilt: sind $f$ und $g$ anayltisch, so ist
[mm] \bruch{f(z)}{g(z)} [/mm] für [mm] $g(z)\not=0$ [/mm] analytisch.
An den Stellen, an denen $g(z)=0$ ist, liegt entweder ein Pol oder eine hebbare Singularität vor (warum?)
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für Deine Hilfe!
Aber kannst du mir noch sagen was g(z) ist? ist g(z) ein Teil von f(z)?
Vielen Dank für Deine Hilfe :)
liebe Grüße und einen schönen Sonntag :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:50 So 22.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Vielleicht hat du dich von Rainers Notation verwirren lassen.
Du hast [mm] f(x):=\bruch{z(x)}{n(x)} [/mm] und f(x) ist analytisch, wenn [mm] n(x)\ne0 [/mm] ;
An den Stellen [mm] x_{0}, [/mm] an denen [mm] n(x_{0})=0 [/mm] gilt, hat f(x) eine hebbare Singularität oder eine Polstelle.
Marius
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Hallo und danke für die Hilfe :)
ich versuchs einfach mal :)
[mm] f_a: [/mm] z=5i
[mm] f_b: [/mm] keine idee :( z=0?
[mm] f_c: z=\pm (\wurzel{19}-3)
[/mm]
[mm] f_d: [/mm] hier habe ich auch keinen bruch :( z=-10?
Vielleicht kann hier nochmal jemand drüber schauen, das wäre toll!
Ein riesiges Danke und liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:08 So 22.11.2009 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo und danke für die Hilfe :)
>
> ich versuchs einfach mal :)
>
> [mm]f_a:[/mm] z=5i
Das kommt darauf an, ob du du in [mm] \IC [/mm] oder [mm] \IR [/mm] bist.
in [mm] \ICh [/mm] ist [mm] z=\pm\5i [/mm] kirrekt, in [mm] \IR [/mm] wird der Nenner nicht Null.
> [mm]f_b:[/mm] keine idee :( z=0?
Kann denn [mm] e^{z} [/mm] Null werden?
> [mm]f_c: z=\pm (\wurzel{19}-3)[/mm]
Das sieht gut aus.
> [mm]f_d:[/mm] hier habe ich auch keinen
> bruch :( z=-10?
Naja, was darf denn (in [mm] \IR [/mm] ) nicht passieren? Dass der Radikand negativ wird, also hast du doch eine Einschränkung im Def-Bereich. In [mm] \IC [/mm] sieht das natürlich anders aus...
>
> Vielleicht kann hier nochmal jemand drüber schauen, das
> wäre toll!
> Ein riesiges Danke und liebe Grüße :)
Marius
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Hallo und danke für deine Hilfe :)
nein [mm] e^z [/mm] kann nicht 0 werden. also gibt es keine Lösung für z?
zu [mm] f_d:
[/mm]
also bei -10 ist [mm] f_d [/mm] nicht definiert.
Aber wie das im komplexen aussieht weiß ich nicht. gibt es überhaupt eine komplexe Lösung?
Danke für deine tolle Hilfe :)
Liebe Grüße :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:59 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo und danke für deine Hilfe :)
>
> nein [mm]e^z[/mm] kann nicht 0 werden. also gibt es keine Lösung
> für z?
Also da versteh ich nicht, was Marius wollte. Der Punkt ist der: die Funktion [mm] $z^2*e^{-z}$ [/mm] ist das Produkt zweier Funktionen. Wenn beide [mm] ($z^2$ [/mm] und [mm] $e^{-z}$) [/mm] analytisch sind, dann ist auch das Produkt analytisch. Ist [mm] $z^2$ [/mm] eine analytische Funktion; und was ist mit der e-Funktion?
>
>
> zu [mm]f_d:[/mm]
>
> also bei -10 ist [mm]f_d[/mm] nicht definiert.
Das stimmt nicht, bei $z=-10$ hat die FUnktion den Wert 0.
Aber: die Funktion [mm] $f_d$ [/mm] ist die Kompostion der FUnktion $z+10$ mit der Wurzelfunktion; und die Wurzelfunktion is überall analytisch außer im Punkt 0. Die Funktion [mm] $f_d$ [/mm] ist also überall analytisch außer bei $z=-10$.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo und vielen Dank für Deine Hilfe :)
[mm] e^{-z} [/mm] ist nicht analytisch aber [mm] z^2 [/mm] ist analytisch.
somit ist die Funktion nicht analytisch oder??
Liebe Grüße und ein riesen Dankeschön :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:17 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo und vielen Dank für Deine Hilfe :)
>
>
> [mm]e^{-z}[/mm] ist nicht analytisch aber [mm]z^2[/mm] ist analytisch.
Warum ist [mm] $e^{-z}$ [/mm] nicht analytisch? (Das stimmt nämlich nicht)
Viele Grüße
Rainer
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Hallo Rainer,
danke für deine Hilfe,
beim ersten rechnen hatte ich, dass [mm] e^{-z} [/mm] analytisch ist, danach hatte ich ein anderes Ergebnis und zwar nicht analytisch. Dann habe ich mich beim zweiten Rechnen verrechnet.
Dann ist die Funktion überall analytisch.
[mm] f_a: [/mm] analytisch bis auf [mm] z=\pm5i
[/mm]
[mm] f_c: [/mm] analytisch bis auf [mm] z=\pm (\wurzel{19}-3)
[/mm]
[mm] f_d: [/mm] analytisch bis auf z=-10
oder?
Liebe Grüße und vielen lieben Dank :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:29 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo Rainer,
>
> danke für deine Hilfe,
>
> beim ersten rechnen hatte ich, dass [mm]e^{-z}[/mm] analytisch ist,
> danach hatte ich ein anderes Ergebnis und zwar nicht
> analytisch. Dann habe ich mich beim zweiten Rechnen
> verrechnet.
>
> Dann ist die Funktion überall analytisch.
>
> [mm]f_a:[/mm] analytisch bis auf [mm]z=\pm5i[/mm]
> [mm]f_c:[/mm] analytisch bis auf [mm]z=\pm (\wurzel{19}-3)[/mm]
> [mm]f_d:[/mm]
> analytisch bis auf z=-10
Richtig.
Viele Grüße
Rainer
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 14:02 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das kommt darauf an, ob du du in [mm]\IC[/mm] oder [mm]\IR[/mm] bist.
Die Ausgangsfrage ist, wo die Funktionen analytisch sind, also sind wir in [mm] $\IC$.
[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 So 22.11.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo und danke für die Hilfe :)
>
> ich versuchs einfach mal :)
>
> [mm]f_a:[/mm] z=5i
> [mm]f_b:[/mm] keine idee :( z=0?
> [mm]f_c: z=\pm (\wurzel{19}-3)[/mm]
> [mm]f_d:[/mm] hier habe ich auch keinen
> bruch :( z=-10?
Die Frage in der Aufgabe war, wo die Funktionen analytisch sind und warum. Du versuchst hier die Stellen anzugeben, wo sie nicht analytisch sind. Das ist OK, aber bei der a hast du eine von beiden, die b ist falsch.
Und dann musst du noch sagen, warum.
Viele Grüße
Rainer
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