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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:30 Di 14.12.2010 | | Autor: | Dust |
| Aufgabe | 3. Es sei die 3 x 3-Matrix [mm] A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} [/mm].
a) Es sei der Vektor [mm] \vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] . Bestimmen Sie den Bildvektor [mm] A \vec x [/mm].
b) Zeigen Sie, dass die durch [mm] A [/mm] gegebene lineare Abildung jeden Vektor in die [mm] x_1 - x_2 [/mm] -Ebene abbildet.
c) Zeigen Sie, dass die durch [mm] A [/mm] gegebene lineare Abbildung eine Projektion ist.
d) Der Kern einer linearen Abbildung [mm] \vec x \to A \vec x [/mm] ist die Menge [mm] Ker A = { \vec x | A \vec x = \vec o} [/mm] , das heißt also, die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden.
Bestimmen Sie [mm] Ker A [/mm] für die durch die oben angegebene Matrix definierte lineare Abbildung. |
Hallo,
Zu Aufgabe a)
Mein Ansatz ist :
[mm] A * \vec x [/mm] = [mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 * 3 + 0 *4 + -1 *5 \\ 0 *3 + 1 * 4 +1 * 5 \\ 0* 3 + 0 *4 + 0 * 5 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} -2 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Vielen Dank für euere Hilfe,
Gruss Dust
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:33 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> 3. Es sei die 3 x 3-Matrix [mm]A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} [/mm].
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> a) Es sei der Vektor [mm]\vec x = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm]
> . Bestimmen Sie den Bildvektor [mm]A \vec x [/mm].
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> b) Zeigen Sie, dass die durch [mm]A[/mm] gegebene lineare Abildung
> jeden Vektor in die [mm]x_1 - x_2[/mm] -Ebene abbildet.
>
> c) Zeigen Sie, dass die durch [mm]A[/mm] gegebene lineare Abbildung
> eine Projektion ist.
>
> d) Der Kern einer linearen Abbildung [mm]\vec x \to A \vec x[/mm]
> ist die Menge [mm]Ker A = { \vec x | A \vec x = \vec o}[/mm] , das
> heißt also, die Menge aller Vektoren, die auf den
> Nullvektor abgebildet werden.
>
> Bestimmen Sie [mm]Ker A[/mm] für die durch die oben angegebene
> Matrix definierte lineare Abbildung.
> Hallo,
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> Zu Aufgabe a)
> Mein Ansatz ist :
>
> [mm]A * \vec x[/mm] = [mm]\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}[/mm]
> * [mm]\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 5 \end{pmatrix}[/mm] =
> [mm]\begin{pmatrix} 1 * 3 + 0 *4 + -1 *5 \\ 0 *3 + 1 * 4 +1 * 5 \\ 0* 3 + 0 *4 + 0 * 5 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} -2 \\ 9 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
Oben rechts in der Matrix muß -1 stehen. Ansonsten stimmts
FRED
>
> Vielen Dank für euere Hilfe,
>
> Gruss Dust
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 Di 14.12.2010 | | Autor: | Dust |
Zu Aufgabe b)
Hallo,
Es gilt [mm] A \vec x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} * \begin{pmatrix} * x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 * x_1 + 0 * x_2 + -1 * x_3 \\ 0 * x_1 + 1 * x_2 + 1 * x_3 \\ 0 * x_1 + 0 * x_2 + 0 * x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} x_1 - x_3 \\ x_2 + x_2 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm]
Das bedeutet, das Bild jedes Vektor [mm] \vec x [/mm] liegt in der [mm] x_1 - x_2 [/mm] -Ebene.
Vielen Dank für euere Hilfe.
Gruß Dust
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Hallo Dust,
> Zu Aufgabe b)
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> Hallo,
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> Es gilt [mm]A \vec x = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} * \begin{pmatrix} * x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 1 * x_1 + 0 * x_2 + -1 * x_3 \\ 0 * x_1 + 1 * x_2 + 1 * x_3 \\ 0 * x_1 + 0 * x_2 + 0 * x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} x_1 - x_3 \\ x_2 + x_2 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
>
> Das bedeutet, das Bild jedes Vektor [mm]\vec x[/mm] liegt in der [mm]x_1 - x_2[/mm]
> -Ebene.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Vielen Dank für euere Hilfe.
>
> Gruß Dust
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Mi 15.12.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
Zu Aufgabe d)
Für jeden Vektor [mm] \vec x \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] ist [mm] 0 * \vec x [/mm] = [mm] 0 * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 * x_1 \\ 0 * x_2 \\ 0 * x_3 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \vec o [/mm]
Für den Nullvektor gilt
[mm] \vec o [/mm] = [mm] 0 * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] 0 * \vec o [/mm]
Mit der Linearitätseigenschaft L2 folgt:
[mm] A \vec o [/mm] = [mm] A ( 0 * \vec o ) [/mm] = [mm] 0 * A \vec o [/mm] = [mm] \vec o [/mm]
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruss Dust
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Hallo Dust,
> Hallo,
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> Zu Aufgabe d)
>
> Für jeden Vektor [mm]\vec x \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> ist [mm]0 * \vec x[/mm] = [mm]0 * \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 * x_1 \\ 0 * x_2 \\ 0 * x_3 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]\vec o[/mm]
>
>
> Für den Nullvektor gilt
>
> [mm]\vec o[/mm] = [mm]0 * \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]0 * \vec o[/mm]
>
> Mit der Linearitätseigenschaft L2 folgt:
>
> [mm]A \vec o[/mm] = [mm]A ( 0 * \vec o )[/mm] = [mm]0 * A \vec o[/mm] = [mm]\vec o[/mm]
Es gibt auch noch Vektoren [mm]\vec{x} \not= \vec{0}[/mm],
die durch A auf den Nullvektor abgebildet wrden.
>
> Vielen Dank für euere Hilfe
>
> Gruss Dust
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:46 Do 16.12.2010 | | Autor: | Dust |
Hallo,
Durch Probieren habe ich zwei Vektoren [mm] \vec x [/mm] gefunden.
[mm] \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} * \begin{pmatrix} -1 \\ +1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 1 * -1 + 0 * 1 + -1 * -1 = 0 \\ 0 * -1 + 1 * 1 + 1 * -1 = 0 \\ 0 * -1 + 0 * 1 + 0 * -1 = 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] = [mm] A * \vec x [/mm] = [mm] A \vec o [/mm]
Auch der Vektor [mm] [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] gehört dazu.
Vielen Dank für euere Hilfe
Gruss Dust
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Hallo Dust,
> Hallo,
>
> Durch Probieren habe ich zwei Vektoren [mm]\vec x[/mm] gefunden.
>
> [mm]\begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} * \begin{pmatrix} -1 \\ +1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 1 * -1 + 0 * 1 + -1 * -1 = 0 \\ 0 * -1 + 1 * 1 + 1 * -1 = 0 \\ 0 * -1 + 0 * 1 + 0 * -1 = 0 \end{pmatrix}[/mm]
> = [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] = [mm]A * \vec x[/mm] =
> [mm]A \vec o[/mm]
Der Vektor [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ +1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] ist schon richtig.
>
> Auch der Vektor [mm][mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}[/mm] gehört dazu.
Nein, der gehört nicht dazu.
>Vielen Dank für euere Hilfe
>Gruss Dust
Gruss
MathePower
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