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Forum "Rationale Funktionen" - Analytische Geometrie
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Analytische Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:00 Fr 01.02.2008
Autor: cancy

Ich übe im Moment einiges, daher würde ich den Thread hier gerne noch ein bisschen nutzen ;)

Also neue Aufgabe
folgende Funktion: [mm] \bruch{x^2+4}{2x} [/mm]
Dazu eben alles berechnen (Symmetrie, Nullstellen etc.)

Erstmal eine Frage zur Symmetrie. Ich weiß, dass die Funktion punktsymmetrisch ist (0/0), von der Zeichnung her.
Aber wie komme ich rechnerisch dadrauf ?

f(x)=-f(-x)
[mm] \bruch{x^2+4}{2x}=-(\bruch{(-x^2)+4}{2(-x)}) [/mm]
Aber dann steh doch am Ende nicht
[mm] \bruch{x^2+4}{2x}=\bruch{x^2+4}{2x} [/mm] da, oder ?

Ich komm mit den Vorzeichen nicht so ganz klar....

Und dann zu den Nullstellen und Polstellen.....

Kann ich die Nullstellen nur mit [mm] x^2+4=0 [/mm]
und die Polstellen mit 2x=0 ausrechnen, und denke ich da jetzt falsch

vielen Lieben Dank schon mal

        
Bezug
Analytische Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:11 Fr 01.02.2008
Autor: MontBlanc

Hallo,

> Ich übe im Moment einiges, daher würde ich den Thread hier
> gerne noch ein bisschen nutzen ;)
>  
> Also neue Aufgabe
>  folgende Funktion: [mm]\bruch{x^2+4}{2x}[/mm]
>  Dazu eben alles berechnen (Symmetrie, Nullstellen etc.)
>  
> Erstmal eine Frage zur Symmetrie. Ich weiß, dass die
> Funktion punktsymmetrisch ist (0/0), von der Zeichnung
> her.
>  Aber wie komme ich rechnerisch dadrauf ?
>  
> f(x)=-f(-x)
>  [mm]\bruch{x^2+4}{2x}=-(\bruch{(-x^2)+4}{2(-x)})[/mm]
>  Aber dann steh doch am Ende nicht
> [mm]\bruch{x^2+4}{2x}=\bruch{x^2+4}{2x}[/mm] da, oder ?
>  
> Ich komm mit den Vorzeichen nicht so ganz klar....

Mach es Dir einfacher:

-f(x)=f(-x) dann hast du nicht das Problem mit einem "doppelten Minus" auf einer Seite.


> Und dann zu den Nullstellen und Polstellen.....
>  
> Kann ich die Nullstellen nur mit [mm]x^2+4=0[/mm]
> und die Polstellen mit 2x=0 ausrechnen, und denke ich da
> jetzt falsch

Ja, kannst Du. Es gibt demnach keine Nullstellen weil [mm] x^{2}+4=0 [/mm] nicht zu lösen ist.
Der Rest stimmt.

> vielen Lieben Dank schon mal


Liebe Grüße,

exeqter

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Analytische Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:19 Fr 01.02.2008
Autor: cancy

Danke !!
Der Tipp für die Symmetrie ist super.

Wenn ich jetzt zeigen will, dass die Gerade [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] mit dem Graphen der Funktion keinen gemeinsamen Punkt hat, setz ich die gleich, und müsste dann feststellen, dass sie keinen Schnittpunkt haben, oder ?


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Analytische Geometrie: richtig erkannt
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:36 Fr 01.02.2008
Autor: Roadrunner

Hallo cancy!


[ok] Genauso geht's ...


Gruß vom
Roadrunner


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Analytische Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:54 Fr 01.02.2008
Autor: cancy

Toll, den ersten Teil der Aufgabe habe ich mit euren Tipps schon mal hinbekommen *über Erfolgserlebnis freu*

Im 2. Teil heißt es jetzt, dass die Funktion f, die Geraden x=1 und x=4 und die x-Achse eine Fläche begrenzen, und ich die Maßzahl der Fläche errechnen soll.
Und g= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] x zerlegt die Fläche in 2 Teile, und die Maßzahl dieser Teilflächen berechnen.....

Problem, Problem........muss ich das jetzt mit Integralrechnung machen ?
Ist Maßzahl der Flächeninhalt ?
Ich komm gar nicht klar, warum ich jetzt auf ein mal noch x=1 und x=4 gegeben hab



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Analytische Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:31 Fr 01.02.2008
Autor: MathePower

Hallo cancy,


> Im 2. Teil heißt es jetzt, dass die Funktion f, die Geraden
> x=1 und x=4 und die x-Achse eine Fläche begrenzen, und ich
> die Maßzahl der Fläche errechnen soll.
> Und g= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] x zerlegt die Fläche in 2 Teile, und
> die Maßzahl dieser Teilflächen berechnen.....
>  
> Problem, Problem........muss ich das jetzt mit
> Integralrechnung machen ?

Ja.

> Ist Maßzahl der Flächeninhalt ?

Ja.


>  Ich komm gar nicht klar, warum ich jetzt auf ein mal noch
> x=1 und x=4 gegeben hab

Die Geraden [mm]x=1[/mm] und [mm]x=4[/mm] sind dann deine Integrationsgrenzen.

Es ist also erstmal [mm]\integral_{1}^{4}{f(x) dx}[/mm] zu berechnen

Und dann berechnest den Flächeninhalt der Geraden g(x) auch auf diese Weise.

Gruss
MathePower

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Analytische Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:09 Fr 01.02.2008
Autor: cancy

Okay, das Prinzip hab ich jetzt schon mal verstanden......
aber bei der Stammfunktion *hüstel* ..hab ich so meine Probleme

[mm] \bruch{x^2+4}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{x^2}{2x}+\bruch{4}{2x} [/mm] = [mm] \bruch{x}{2}+ \bruch{4}{2x} [/mm]  

Und wie bilde ich davon die Stammfunktion *wissenslücke hab ?


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Analytische Geometrie: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Fr 01.02.2008
Autor: Steffi21

Hallo,

du kannst im 2. Summanden noch 2 kürzen

[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{2}+\bruch{2}{x} dx} [/mm]

[mm] =\integral_{}^{}{\bruch{x}{2} dx}+\integral_{}^{}{\bruch{2}{x} dx} [/mm]

du kannst jeden Summanden einzeln berechnen

[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{x dx}+2\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} [/mm]

Faktoren ziehst du vor das Integral

[mm] =\bruch{1}{2}\integral_{}^{}{x^{1} dx}+2\integral_{}^{}{ \bruch{1}{x}dx} [/mm]

ich habe den Exponenten mitgeschrieben, dann fällt es dir leichter

jetzt Stammfunktion, es gilt für das 1. Integral:

[mm] \integral_{}^{}{ x^{n}dx}=\bruch{1}{n+1}x^{n+1}+C [/mm]

im 1. Integral ist n=1, im 2. Integral solltest du ein spezielles Grundintegral erkennen

so jetzt du,

Steffi







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Analytische Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:36 Fr 01.02.2008
Autor: cancy

Ich hab mich jetzt mal daran versucht
Und habe für den Flächeninhalt 3/4 FE raus.....

Mir kommt das nur ein bisschen wenig vor

Als Stammfkt habe ich F(x)= [mm] \bruch{1}{4}x^2 [/mm] -x
(ich hab es als eine Stammfkt umgeformt, komm damit eher klar)



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Analytische Geometrie: Stammfunktion falsch
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:39 Fr 01.02.2008
Autor: Roadrunner

Hallo cancy!


Der zweite Teil Deiner Stammfunktion ist falsch, da gilt:
[mm] $$\integral{\bruch{1}{x} \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \ln|x|+C$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


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Analytische Geometrie: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:54 Fr 01.02.2008
Autor: cancy

Was ist denn ln ? Das hatten wir überhaupt noch nicht

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Analytische Geometrie: natürlicher Logarithmus
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 Fr 01.02.2008
Autor: Roadrunner

Hallo cancy!


[mm] $\ln(...)$ [/mm] ist der sogenannte "natürliche Logarithmus". Das ist ein MBLogarithmus mit der Basis $e_$ ; dabei ist $e_$ die Euler-Konstante mit $e \ [mm] \approx [/mm] \ 2.71828$ .

[mm] $$\ln(x) [/mm] \ := \ [mm] \log_e(x)$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


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