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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:32 Mi 02.01.2008 | | Autor: | detlef |
Hallo,
wie kann man zeigen, dass diese Aufgabe für [mm] 0\lex\le1 [/mm] genau eine Lösung hat?
y'(x) = x*(x+y), y(0) = 1
detlef
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:06 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Stoecki |
versuchs mal mit dem existenz und eindeutigkeitssatz von picard-lindelöf. das ding da ist lipschitzstetig und nach diesem satz existiert dann eine eindeutige lösung. aber was sollte das 0 [mm] \le [/mm] 1???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:08 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Stoecki |
ich vermute mal du meintest da das abgeschlossene intervall [0,1]... mit dem lipschitzstetig gilt natürlich nur auf dem intervall
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:01 Mi 02.01.2008 | | Autor: | detlef |
Hallo,
das soll 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 heißen! Sorry!
Wie stelle ich denn fest, ob das Lipschitzstetif ist und reicht das dann um zu sagen, dass es nur eine Lösung hat?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:17 Mi 02.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo detlef.
Wenn du nicht weisst was Lipschitzstetig ist, sieh es nach, du sollst ja wohl mit Piccard Lindelöff umgehen lernen, da musst du einfach nochmal euren Beweis durchlesen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Mi 02.01.2008 | | Autor: | detlef |
Also die Lipschitzkonstante kann ich doch erhalten, wenn ich die Funktion nach y ableite und dann x=y=1 einsetze oder?
Oder die Definition ist ja:
[mm] |f(x)-f(y)|\le [/mm] L*|x-y|
doch, wie komme ich an das L, dass hatte ich noch nie verstanden!
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Mi 02.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Hi.
Der Satz von Picard-Lindelöf benötigt die Vorraussetzung, dass f eine (lokale) Lipschitzbedingung bezüglich der hinteren Variablen erfüllt.
Du hast
$f(x,y)=x*(x+y)$
Jetzt nimmst du dir mal y und z und zeigst:
|f(x,y)-f(x,z)|<L|y-z|
Das ganze am Beispiel:
$|x(x+y)-x(x+z)|<|x|*|y-z|$
Weiterhin weißt du, dass [mm] 0\le x\le1 [/mm] ist und kannst das ganze weiter abschätzen mit:
[mm] \le|y-z|
[/mm]
Mit dieser Bedingung kann man auch den Satz von Picard-Lindelöff anwenden.
Gruß
Max
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 02.01.2008 | | Autor: | detlef |
was sind denn jetzt y und z? Also ich weiss nicht so recht, was ich da jetzt abschätzen kann?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:08 Mi 02.01.2008 | | Autor: | max3000 |
y und z sind die 2. Variablen, die beide von x abhängen.
Hast du die Aufgabenstellung 1 zu 1 abgeschrieben?
Ein bisschen genauer könnte es nämlich auch noch sein.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Mi 02.01.2008 | | Autor: | detlef |
ja, dass ist der Aufgabentext! Was fehlt denn?
Mich würde interessieren, wie man das bei L nun abschätzen kann?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:24 Do 03.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Siehe meinen Beitrag oben.
Da ist L=1.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Do 03.01.2008 | | Autor: | detlef |
Ich verstehe aber einfach nicht, wie man von
|f(x,y)-f(x,z)|<L|y-z| nach
|x(x+y)-x(x+z)|<|x|*|y-z| kommt? Wo ist das L geblieben?
Und wie schätzt man das dann ab, dass L=1 herauskommt?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:15 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du liest die posts zu flüchtig, Max hatte doch geschrieben, du brauchst |x|<1
also kannst du |x| durch 1 abschätzen und hast dein L=1
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Do 03.01.2008 | | Autor: | detlef |
Und wieso brauche ich nun |x|<1 ? Man muss doch von der Formel für die Lipschitzbedingung auch an das L gelangen oder nicht? Durch irgednwelche Umformungen!
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das L ist doch der Faktor vor |y-z| und der ist bei deinem bsp. |x|
Gruss leduart
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:45 Do 03.01.2008 | | Autor: | detlef |
Ja, das L ist der Faktor davor,ok, aber wieso setzt man da dann einfach |x| ein? Aus welchem Grund?
Das L dann gleich 1 ist, dass verstehe ich auch, aber diesen einen Schritt nicht!
Es gibt ja auch die Möglichkeit eine Funktion nach y abzuleiten und dann erhält man ja auch die Lipschitzkonstante oder?
detlef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:06 Do 03.01.2008 | | Autor: | detlef |
Jetztist mir gerade ein Licht aufgegangen:
|f(x)-f(y)|<L|x-y|
[mm] |x*(x+y_1)-x*(x+y_2)|
[mm] |x*(y_1-y_2)|
|x| <L
oder?
Das müsste ja so stimmen, aber was macht man bei Funktionen wie
cos(x*y) im Bereich [mm] x\in [/mm] [1,2], da kürzt sich das ja nicht raus oder ?
Nimmt man da lieber die Ableitung nach y?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:21 Do 03.01.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
du tust so, als wäre L eine bestimmte Zahl, aber du SUCHST irgend eine Zahl, genannt L so dass gilt |f(x)-f(y)|<L*|x-y| wenn du gefunden hast |f(x)-f(y)|<|x|*|x-y| und weisst |x|<1 dann hast du mit 1 eine solche Zahl gefunden! mit 2 oder mit 17 aber auch. du kannst also auch schreiben: wegen |x|<1<17 gilt |f(x)-f(y)|<17*|x-y| und hast ein völlig legales L=17!
während |x|<L keinen Sinn macht! erst wenn du L=1 gesetzt hast!
bei differenzierbaren fkt. kann man L oft durch das max der Ableitung in einem Intervall abschätzen, wegen des Zusammenhangs zw. Differenzen und Differentialquotienten.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:32 Do 03.01.2008 | | Autor: | detlef |
Und wenn nun so ein L gegeben ist, dann sagt der Satz von Picard-Lindelöf, dass es eine eindeutige Lösung des Anfangswertproblems gibt!?
Hab noch eine Frage:
Ich meine irgendwo gelesen zu haben, dass Wurzelfunktionen nie eine L-Konstante besitzen? Stimmt das oder war da vllt der betrachtete Bereich wichtig?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:04 Do 03.01.2008 | | Autor: | max3000 |
Ja klar. Der betrachtete Bereich ist sehr wichtig.
Bei der Wurzelfunktion sieht das so aus:
[mm] |\wurzel{x}-\wurzel{y}|\le [/mm] L*|x-y|
Nach L umgestellt:
[mm] L\ge|\bruch{\wurzel{x}-\wurzel{y}}{x-y}|
[/mm]
An der Stelle y für [mm] x\rightarrow [/mm] y
steht dann der Differenzenquotient da, also [mm] L\ge [/mm] f'(y)
Die Wurzelfunktion hat ja an der Stelle 0 den Anstieg [mm] \infty [/mm] und desswegen gibt es keine Lipschitzkonstante für die Wurzelfunktion, wenn die Stelle 0 im Bereich mit zu beachten ist.
Fazit: Lipschitzstetig ist eine Funktion dann, wenn der Anstieg überall [mm] <\infty [/mm] ist.
Ich hoffe das war jetzt richtig, ansonsten korrigiert mich bitte ^^.
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