www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Vorhilfe
  Status Geisteswiss.
    Status Erdkunde
    Status Geschichte
    Status Jura
    Status Musik/Kunst
    Status Pädagogik
    Status Philosophie
    Status Politik/Wirtschaft
    Status Psychologie
    Status Religion
    Status Sozialwissenschaften
  Status Informatik
    Status Schule
    Status Hochschule
    Status Info-Training
    Status Wettbewerbe
    Status Praxis
    Status Internes IR
  Status Ingenieurwiss.
    Status Bauingenieurwesen
    Status Elektrotechnik
    Status Maschinenbau
    Status Materialwissenschaft
    Status Regelungstechnik
    Status Signaltheorie
    Status Sonstiges
    Status Technik
  Status Mathe
    Status Schulmathe
    Status Hochschulmathe
    Status Mathe-Vorkurse
    Status Mathe-Software
  Status Naturwiss.
    Status Astronomie
    Status Biologie
    Status Chemie
    Status Geowissenschaften
    Status Medizin
    Status Physik
    Status Sport
  Status Sonstiges / Diverses
  Status Sprachen
    Status Deutsch
    Status Englisch
    Status Französisch
    Status Griechisch
    Status Latein
    Status Russisch
    Status Spanisch
    Status Vorkurse
    Status Sonstiges (Sprachen)
  Status Neuerdings
  Status Internes VH
    Status Café VH
    Status Verbesserungen
    Status Benutzerbetreuung
    Status Plenum
    Status Datenbank-Forum
    Status Test-Forum
    Status Fragwürdige Inhalte
    Status VH e.V.

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen" - Anfangswertaufgabe
Anfangswertaufgabe < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Anfangswertaufgabe: Rückfrage/Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:48 Sa 16.02.2008
Autor: MartinS83

Aufgabe
Lösen Sie die Anfangswertaufgabe y' = [mm] \bruch{2xy^{3}+4x^{3}y}{(xy)^{2}} [/mm] mit y(1) = 1

Hallo,

ich komme mit der Bearbeitung dieser Aufgabe leider nicht weiter und hoffe, dass ihr mir dabei behilflich seid.

Zunächst habe ich obige Gleichung etwas vereinfacht

[mm] F(\bruch{y}{x}) [/mm] = y' = [mm] \bruch{2xy^{3}+4x^{3}y}{(xy)^{2}} [/mm]

= [mm] \bruch{2y^{2}+4x^{2}}{(xy)} [/mm]

nun in homogene Form gebracht:

= [mm] \bruch{2(\bruch{y}{x})^{2}+4}{\bruch{y}{x}} [/mm]

Jetzt habe ich [mm] \bruch{y}{x} [/mm] durch u ersetzt:

F(u) = [mm] \bruch{2u^{2}+4}{u} [/mm]

Nun die Trennung der Variablen. Dazu habe ich erstmal u' = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{F(u)-u}{x} [/mm]

= [mm] \bruch{\bruch{2u^{2}+4}{u}-u}{x} [/mm]

= [mm] \bruch{\bruch{2u^{2}+4-u^{2}}{u}}{x} [/mm]

= [mm] \bruch{\bruch{u^{2}+4}{u}}{x} [/mm] = [mm] \bruch{du}{dx} [/mm]

Damit ergibt sich

[mm] \integral_{}^{}{ \bruch{u}{u^{2}+4} du} [/mm] = [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx} [/mm]

Dies habe ich gelöst und komme auf folgendes Ergebnis:

ln(|x|) + C = [mm] \bruch{1}{2}ln(u^{2}+4) [/mm] + C

Erstmal die Frage: Ist das so in etwa richtig oder grober Unfug ?

Ab dieser Stelle weiß ich nicht, wie es weiter geht. Irgendwie muss ich den gegebenen Anfangswert ja noch einbringen. Könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?


        
Bezug
Anfangswertaufgabe: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:28 Sa 16.02.2008
Autor: MathePower

Hallo MartinS,

> Lösen Sie die Anfangswertaufgabe y' =
> [mm]\bruch{2xy^{3}+4x^{3}y}{(xy)^{2}}[/mm] mit y(1) = 1
>  Hallo,

> [mm]\integral_{}^{}{ \bruch{u}{u^{2}+4} du}[/mm] =
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>  
> Dies habe ich gelöst und komme auf folgendes Ergebnis:
>  
> ln(|x|) + C = [mm]\bruch{1}{2}ln(u^{2}+4)[/mm] + C
>  
> Erstmal die Frage: Ist das so in etwa richtig oder grober
> Unfug ?

Es ist üblich die Konstante C auf die Seite, auf der die x-Terme stehen, zu schreiben:

[mm] ln(|x|) + C = \bruch{1}{2}ln(u^{2}+4)[/mm]

>  
> Ab dieser Stelle weiß ich nicht, wie es weiter geht.
> Irgendwie muss ich den gegebenen Anfangswert ja noch
> einbringen. Könnt ihr mir da bitte weiterhelfen?
>  

Jetzt musst Du erstmal nach [mm]u=u\left(x\right)[/mm] auflösen.

Dann bekommst Du die Lösung der ursprünglichen DGL heraus:

[mm]y\left(x\right)=x*u\left(x\right)[/mm]

In diese werden, zur Ermittlung der Konstanten, die Anfangsbedingungen eingesetzt:

[mm]y\left(1\right)=1*u\left(1\right)=u\left(1\right)[/mm]

Auflösen nach der Konstanten und damit hast Du eine spezielle Lösung dieser DGL gefunden.

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Anfangswertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:31 Sa 16.02.2008
Autor: MartinS83

Ich danke dir, für deine schnelle Antwort.

Gruß,

Martin

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Gewöhnliche Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.vorhilfe.de