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| Aufgabe | Lösen sie das folgende Anfangswertproblem
[mm] x^2 [/mm] * y'(x) + x*y(x) = 1
(x [mm] \not= [/mm] 0); y(1) = 0: |
ich kann mich erinnern, dass ich die Variablen immer auf eine Seite bringen muss und hab das gemacht:
[mm] \bruch{y(x)}{y'(x)}=\bruch{1-x^2}{x}
[/mm]
aber was muss ich nun tun? Kann mir jemand sagen, was ich als nächstes tun muss zur Lösung dieser Aufgabe?
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Hallo Cherrykiss,
> Lösen sie das folgende Anfangswertproblem
> [mm]x^2[/mm] * y'(x) + x*y(x) = 1
>
> (x [mm]\not=[/mm] 0); y(1) = 0:
> ich kann mich erinnern, dass ich die Variablen immer auf
> eine Seite bringen muss und hab das gemacht:
>
> [mm]\bruch{y(x)}{y'(x)}=\bruch{1-x^2}{x}[/mm]
>
> aber was muss ich nun tun? Kann mir jemand sagen, was ich
> als nächstes tun muss zur Lösung dieser Aufgabe?
>
Hier musst Du zuerst die homogene DGL
[mm]x^2 * y'(x) + x*y(x)=0[/mm]
lösen, bevor Du Dich an die inhomogene DGL
[mm]x^2 * y'(x) + x*y(x) = 1[/mm]
machen kannst.
Gruss
MathePower
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ok dann würde ich [mm] x^2 [/mm] * y'(x)+xy(x)=0 so umformen, dass dann das da steht: x= [mm] \bruch{-y(x)}{y'(x)}
[/mm]
und was ist dann der nächste Schritt zur Lösung des DGL?
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Hallo Cherrykiss,
> ok dann würde ich [mm]x^2[/mm] * y'(x)+xy(x)=0 so umformen, dass
> dann das da steht: x= [mm]\bruch{-y(x)}{y'(x)}[/mm]
>
> und was ist dann der nächste Schritt zur Lösung des DGL?
Nimm besser den Kehrwert:
[mm]- \bruch{y'}{y}=\bruch{1}{x}[/mm]
Jetzt ist [mm]y'=\bruch{dy}{dx}[/mm]
Das in die Gleichung eingesetzt ergibt:
[mm]-\bruch{1}{y} \ dy \ =\ \bruch{1}{x} \ dx[/mm]
Und jetzt kannst Du beide Seiten integrieren.
Gruss
MathePower
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ok damit bin ich jetzt so weit: [mm] \integral{-\bruch{1}{y} dy}= \integral{\bruch{1}{x} dx}
[/mm]
-y= x bzw y=-x
wie würde es jetzt weiter gehn, also was fange ich mit dem neu errungen Wissen an.
//Vielen Dank für die gute Hilfe bisher :)
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Hallo Cherrykiss,
> ok damit bin ich jetzt so weit: [mm]\integral{-\bruch{1}{y} dy}= \integral{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
>
> -y= x bzw y=-x
Diese Funktion ist keine Lösung der homogenen DGL.
Poste dazu Deine Rechenschritte bis hierhin.
>
> wie würde es jetzt weiter gehn, also was fange ich mit dem
> neu errungen Wissen an.
>
>
> //Vielen Dank für die gute Hilfe bisher :)
Gruss
MathePower
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richtig ich hab das C ganz vergessen:
[mm] \integral{-\bruch{1}{y} dy}= \integral{\bruch{1}{x} dx} [/mm]
- ln (y) = ln (x) + C
y = -x - [mm] e^C
[/mm]
stimmt das jetzt so oder hab ich wieder was falsch oder vergessen?
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Hallo Cherrykiss!
> richtig ich hab das C ganz vergessen:
> [mm]\integral{-\bruch{1}{y} dy}= \integral{\bruch{1}{x} dx}[/mm]
> - ln (y) = ln (x) + C
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> y = -x - [mm]e^C[/mm]
Das ist falsch. Es gilt in der Regel:
[mm] $$e^{a+b} [/mm] \ [mm] \red{\not=} [/mm] \ [mm] e^a+e^b$$
[/mm]
Fasse hier zunächst zusammen:
[mm] $$-\ln(y) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)+C [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)+\ln\left(\underbrace{e^C}_{=: \ k}\right) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x)+\ln(k) [/mm] \ = \ [mm] \ln(x*k) [/mm] \ = \ [mm] \ln(k*x)$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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ok das hab ich verstanden. Dadurch würde sich dann das ergeben:
[mm] y_H [/mm] = - [mm] e^C [/mm] * x
ist das jetzt soweit richtig?
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Hallo,
Edit
Ich sehe gerade, dass das falsch ist:
Mit [mm] $\int{\frac{1}{y} \ dx}=\int{-\frac{1}{x} \ dx}$ [/mm] folgt
[mm] $\ln(|y|)=-\ln(|x|)+c$
[/mm]
Also [mm] $y=\tilde c\cdot{}e^{-\ln(x)}=\tilde c\cdot{}\frac{1}{x}$
[/mm]
Edit Ende
> ok das hab ich verstanden. Dadurch würde sich dann das
> ergeben:
>
> [mm]y_H[/mm] = - [mm]e^C[/mm] * x
>
> ist das jetzt soweit richtig? ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das [mm] $-e^C$ [/mm] ist ja auch eine Konstante, die kannst du umtaufen in [mm] $\tilde [/mm] c$ und bekommst:
[mm] $y_h=\tilde c\cdot{}x$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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ok, den Fehler sehe ich ein und hab ihn korrigiert. Damit ergibt sich nun die Homogene Lösung [mm] y_H [/mm] = [mm] e^C [/mm] * [mm] \bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \tilde [/mm] c * [mm] \bruch{1}{x}
[/mm]
und daraus ich die inhomogene bestimmen.
Ich habe da eine Formel gefunden, bei der ich die homogene einsetze zusammen mit einer "beliebigen partikulären" [mm] y_S(x)
[/mm]
Allerdings ist mir nicht klar wo ich diese her bekomme. Ist es vllt die aus meiner Ausgangsgleichung übrig gebliebenen 1 ( [mm] x^2 [/mm] * y'(x) + x*y(x) = 1)?
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Hallo nochmal,
> ok, den Fehler sehe ich ein und hab ihn korrigiert. Damit
> ergibt sich nun die Homogene Lösung [mm] $y_H= e^C\cdot{}\bruch{1}{x} [/mm] = [mm] \tilde [/mm] c [mm] \cdot{}\bruch{1}{x}$
[/mm]
Lasse doch die ollen [ mm ] [ / mm ] weg und setze besser vor die Formel ein Dollarzeichen und an den Schluss ebenfalls, also $Formel$
>
> und daraus ich die inhomogene bestimmen.
>
> Ich habe da eine Formel gefunden, bei der ich die homogene
> einsetze zusammen mit einer "beliebigen partikulären"
> [mm]y_S(x)[/mm]
Genau, die Gesamtlösung ergibt sich als Summe der allg. hom Lösung und einer partikulären (speziellen) Lösung der inhomogenen Dgl.: [mm] $y=y_h+y_s$
[/mm]
> Allerdings ist mir nicht klar wo ich diese her bekomme.
> Ist es vllt die aus meiner Ausgangsgleichung übrig
> gebliebenen 1 ( [mm]x^2[/mm] * y'(x) + x*y(x) = 1)?
>
Die spezielle Lösung bekommst du mit Variation der Konstanten.
Mache in der homogenen Lösung das [mm] $\tilde [/mm] c$ von $x$ abhängig und vergl. mit der Ausgangsdgl.
Also VdK: [mm] $y=\tilde c(x)\cdot{}\frac{1}{x}$
[/mm]
Das nun ableiten und in $x^2y'+xy=1$ einsetzen (bzw. mit [mm] $y'=\frac{1}{x^2}-\frac{y}{x}$ [/mm] vergleichen) und schlussendlich [mm] $\tilde [/mm] c(x)$ durch Integration bestimmen.
Am Ende die AB benutzen ...
Gruß
schachuzipus
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