Anfangswertaufgabe < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | [mm]y'(x)+(1-e^{-x} )*y(x)[/mm][mm] =e^{-2x} [/mm] Substitution [mm] t=e^{-x}[/mm] |
Moin,
das ist eine alte Klausuraufgabe (bzw. ein Teil davon) und ich hätte wahnsinnig gerne etwas Aufklärung.
Mein erster Schritt ist die Substitution;
[mm]y'(x)+(1-t)*y(x)=t^{2}[/mm]
Nun weiß ich, dass ich eine inhomogene DGL 1. Ordnung vor mir habe.
D.h. ich würde als Erstes die zugehörige homogene Gleichung nehmen
[mm]y'(x)+(1-t)*y(x)=0[/mm]
und sie durch Trennung der Variablen integrieren.
Hier wäre die Formel ja
[mm]y_{0}=C*e^{-\integral_{}^{}{f(x) dx}}[/mm] (aus Papula)
wobei f(x) mein (1-t) wäre. Das wäre dann aber nicht nach x integriert oder? Ich habe da ja kein x drin - erst durch die Resubstitution hätte ich es zurück, aber wie berücksichtige ich das?
Danach wird ja die partikuläre Lösung gesucht, ein paar "fertige" finde ich im Buch, aber irgendwie wüßte ich gern warum die so sein müssen.
Vielen Dank, dass ihr euch das durchlest und ich hoffe jemand hat Lust drauf, sich damit zu beschäftigen und mir ein bisschen die Freude an den Aufgaben zurückzugeben ;)
PS: Mein Prof hat seine Lösung mit angegeben, er hat wohl vor dem Substituieren die Trennung der Variablen gemacht, aber direkt von der inhomogenen Gleichung so wie es aussieht. Weiß jemand, wie man das macht? Sieht viel eleganter aus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:30 Mi 22.09.2010 | | Autor: | kiwicopter |
Oh nein, mir fällt grade auf, dass ich bei der Substitution Unsinn gemacht habe, ich kann ja nicht einfach t für [mm]e^{-x}[/mm] setzen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:43 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo kiwicopter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wie lautet denn die Ausgangs-DGL? Oben ist nämlich keine Gleichung zu erkennen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:54 Mi 22.09.2010 | | Autor: | kiwicopter |
Och Mensch das hab ich wohl auch verdaddelt, wahrscheinlich bin ich einfach zu verwirrt für Mathe ;)
[mm]y'(x)+(1-e^{-x})*y(x)=e^{-2x}[/mm]
Dankeschön für die nette Begrüßung :)
Nachtrag: Habe das nun auch mal oben ergänzt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Mi 22.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Wir haben also
$ [mm] y'(x)+(1-e^{-x})\cdot{}y(x)=e^{-2x} [/mm] $
Wenn Du $ [mm] t=e^{-x} [/mm] $ subst. , so ist $x=-ln(t)$
Setze also $z(t):= y(-ln(t))$ und leite eine DGL für z her. Ist z eine Lösung diese DGL, so ist
[mm] $y(x):=z(e^{-x})$
[/mm]
eine Lösung Deiner ursprünglichen DGL.
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:07 Mi 22.09.2010 | | Autor: | kiwicopter |
Danke für die schnelle Antwort, ich werde mich weiter damit beschäftigen und dann berichten wie ich vorankomme. (Oder auch nicht vorankomme :/ )
Noch eine Frage: in meiner Formelsammlung steht die Formel
[mm]y(x)=e^{-A(x)}\integral_{}^{}{r(t)e^{A(t)} dt}+y_{0}e^{-A(x)}[/mm]
Wie ich die anwende weiß ich (etwas wacklig in der Anwendung, aber das ist ja Übungssache), aber mag mir jemand erklären, wo man diese Formel herbekommt?
|
|
|
|
