Anfangswertaufgabe < Laplace-Transformation < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:06 Sa 24.12.2011 | | Autor: | incubi |
| Aufgabe | Die Lösung der folgenden Aufgabe soll mittels der Laplace-Tranformation erfolgen :
[mm] R*C*U_A'(t)+U_A(t) [/mm] = [mm] U_E(t)
[/mm]
[mm] U_A(0)=U_B
[/mm]
a) Stellen Sie die Bildgleichung auf und bestimmen Sie deren Lösung
b) Berechnen Sie die Ausgangsspannung [mm] U_A(t) [/mm] für den Fall, dass zum Zeitpunkt t=0 keine Eingangsspannung angelegt wird.
Zeigen Sie dann, dass [mm] U_A(t) [/mm] die Anfangswertaufgabe löst, d.h. zeigen Sie, dass [mm] U_A(t) [/mm] für t>0 der DGL genügt und dass für t=0 die Anfangsbedingung erfüllt ist. |
meine Lösung zu a) lautet
[mm] \frac{1}{R C}*\frac{U_E(s)}{s + \frac{1}{R C}}\text{}\text{}+ \frac{U_B}{s+\frac{1}{R C}}
[/mm]
b)
aus a) folgt für [mm] U_B=0 [/mm] mit Hilfe des Faltungssatzes [mm] L\{(f\*g)(t)\}=F(s)*G(s) [/mm] :
[mm] U_A(t)=\frac{1}{C R} \int_{-\infty }^t e^{\frac{\tau - t}{C R}} U_e(\tau) d\tau [/mm]
um den zweiten Teil der Aufgabe zu lösen, muss ich eigentlich "nur" noch [mm] U_A'(t) [/mm] berechnen , nur daran scheitere ich - kann mir jemand auf die Sprünge helfen ?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Sa 24.12.2011 | | Autor: | Infinit |
Hallo incubi,
willkommen hier im Forum.
Für den zweiten Teil der Aufgabe hast Du ja keine Eingangsspannung, aber eine Anfangsbedingung.
Aus der Laplace-Transformierten bekommst Du einen Ausdruck
[mm] U_a(s) = \bruch{RC U_A(0)}{1 + sRC} = \bruch{U_A(0)}{s + \bruch{1}{RC}} [/mm]
Dieses in den Zeitbereich zurücktransformiert, ergibt
[mm] U_a(t) = U_A (0) \cdot e^{- \bruch{t}{RC}} [/mm]
und diese Gleichung erfüllt die oben angegebene Anfangsbedingung.
Viele Grüße und schöne Feiertage,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:53 Sa 24.12.2011 | | Autor: | incubi |
Vielen Dank Infinit!
mir ist durch deine Antwort bewusst geworden dass ich in der Aufgabenstellung b) einen falschen Ansatz gewählt habe ( ich bin von [mm] U_B=U_A(0)=0 [/mm] ausgegangen anstatt [mm] U_E(t)=0 [/mm] ). Nun wird es klar :)
Frohe Weihnachten und einen guten Rutsch,
Incubi
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