Anfangswertaufgabe lösen < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Fr 22.12.2017 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme die Lösung der Anfangswertaufgabe
y´(x) = [mm] \bruch{1-2x}{(y(x)^2)} [/mm] ; y(0) = 3 |
Hallo,
hier einmal mein Lösungsweg:
y´(x) = [mm] \bruch{1-2x}{(y(x)^2)}
[/mm]
[mm] \bruch{dy}{dx} [/mm] = [mm] \bruch{1-2x}{y^2}
[/mm]
[mm] \integral {y^2 dy} [/mm] = [mm] \integral [/mm] 1-2x dx
[mm] \bruch{1}{3}y^3 [/mm] = [mm] x-x^2+C
[/mm]
[mm] y^3 [/mm] = [mm] 3(x-x^2+C)
[/mm]
y(x) = [mm] 3\wurzel{3(x-x^2+C)}
[/mm]
Mit der Anfangswertbedingung:
y(0)=C=3
3 = [mm] 3\wurzel{3(x-x^2+C)}
[/mm]
9 = [mm] 3(x-x^2+C)
[/mm]
9 = C
y(x) = [mm] 3\wurzel{3(x-x^2+9)}
[/mm]
Ist meine Lösung so in Ordnung, oder habe ich einen Denkfehler mit eingebaut?
Vielen Dank für eure Hilfe !
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Hallo,
> Bestimme die Lösung der Anfangswertaufgabe
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> y´(x) = [mm]\bruch{1-2x}{(y(x)^2)}[/mm] ; y(0) = 3
> Hallo,
>
> hier einmal mein Lösungsweg:
>
> y´(x) = [mm]\bruch{1-2x}{(y(x)^2)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1-2x}{y^2}[/mm]
>
> [mm]\integral {y^2 dy}[/mm] = [mm]\integral[/mm] 1-2x dx
>
> [mm]\bruch{1}{3}y^3[/mm] = [mm]x-x^2+C[/mm]
Bis hierher passt alles und niemand kann etwas daran aussetzen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [mm]y^3[/mm] = [mm]3(x-x^2+C)[/mm]
>
Auch hier kann man das so machen, es ist aber nicht empfehlenswert*. Ich habe dir schon einmal etwas über den Umgang mit solchen Integrationskonstanten geschrieben. Wenn du das hier ganz korrekt machen würdest, müsste entweder in der Klammer C/3 stehen oder aber du müsstest eine neue Konstante einführen, damit klar ist, dass selbige Konstante bei der Faktorisierung ihren Wert geändert hat.
> y(x) = [mm]3\wurzel{3(x-x^2+C)}[/mm]
>
Ich weiß nicht, was du hier mit der 3 vor der Wurzel meinst. Wenn es ein Wurzelexponent ist, daann ist es ok (das geht aber in LaTeX besser!).
> Mit der Anfangswertbedingung:
>
> y(0)=C=3
>
> 3 = [mm]3\wurzel{3(x-x^2+C)}[/mm]
>
> 9 = [mm]3(x-x^2+C)[/mm]
>
> 9 = C
>
> y(x) = [mm]3\wurzel{3(x-x^2+9)}[/mm]
>
>
>
> Ist meine Lösung so in Ordnung, oder habe ich einen
> Denkfehler mit eingebaut?
Die Lösung stimmt, nur wie gesagt: dein Rechenweg ist geeignet, Beanstandungen nach sich zu ziehen...
Gruß, Diophant
*Ich selbst habe (unter anderem) in den 90er-Jahren ein Ingenieursstudium an einer Berufsakademie absolviert. Damals war bei unserer Mathe-Professorin die Vorgehensweise mit der Konstante, wie du sie anwendest, auch erlaubt bzw. sie hat das selbst so gehandhabt. Du musst das also auch für dich selbst entscheiden, welchen Ansprüchen eine solche Rechnung genügen muss. Wenn diese Nachlässigkeit in einer Übungsaufgabe oder gar Klausur beanstandet wird, dann darfst du dich eben nicht beschweren. Und darum mein Sermon. 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 Fr 22.12.2017 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Bestimme die Lösung der Anfangswertaufgabe
>
> y´(x) = [mm]\bruch{1-2x}{(y(x)^2)}[/mm] ; y(0) = 3
> Hallo,
>
> hier einmal mein Lösungsweg:
>
> y´(x) = [mm]\bruch{1-2x}{(y(x)^2)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{dy}{dx}[/mm] = [mm]\bruch{1-2x}{y^2}[/mm]
>
> [mm]\integral {y^2 dy}[/mm] = [mm]\integral[/mm] 1-2x dx
an dieser Stelle kannst Du auch so weiter rechnen:
[mm] $\int_{3}^{y}y'^{2}\,\mathrm{d}y'=\int_{0}^{x}1-2x'\,\mathrm{d}x'$
[/mm]
Dann kommst Du auch bezüglich der Integrationskonstante gar nicht erst in Schwulitäten.
Gruß,
notinX
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> > [mm]\integral {y^2 dy}[/mm] = [mm]\integral[/mm] (1-2x) dx
>
> an dieser Stelle kannst Du auch so weiter rechnen:
>
> [mm]\int_{3}^{y}y'^{2}\,\mathrm{d}y'=\int_{0}^{x}(1-2x')\,\mathrm{d}x'[/mm]
(Klammern um die Integranden noch eingefügt)
Hallo notinX
Wenn ich das richtig verstanden habe, willst du
hier mit den Hilfsvariablen x' und y' Substitutionen
andeuten.
Ich denke nur, dass diese Bezeichnungsweise im
Zusammenhang einer Differentialgleichung, in der
insbesondere auch die Ableitung y' vorkommt,
allzu missverständlich ist.
LG , Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:57 Sa 23.12.2017 | | Autor: | notinX |
Hallo Al-Chw.,
> [mm]\int_{3}^{y}y'^{2}\,\mathrm{d}y'=\int_{0}^{x}(1-2x')\,\mathrm{d}x'[/mm]
>
> (Klammern um die Integranden noch eingefügt)
ist das denn nötig?
>
>
> Hallo notinX
>
> Wenn ich das richtig verstanden habe, willst du
> hier mit den Hilfsvariablen x' und y' Substitutionen
> andeuten.
Ja, das stimmt.
> Ich denke nur, dass diese Bezeichnungsweise im
> Zusammenhang einer Differentialgleichung, in der
> insbesondere auch die Ableitung y' vorkommt,
> allzu missverständlich ist.
>
> LG , Al-Chw.
>
Ja, auch hier hast Du Recht. Besser wäre es so:
[mm] $\int_{3}^{y}\upsilon^{2}\,\mathrm{d}\upsilon=\int_{0}^{x}(1-2\xi)\,\mathrm{d}\xi$
[/mm]
Wobei auch das nicht ganz unproblematisch ist. Manche sind schon allein dadurch irritiert, dass die Variablen ungewöhnliche Namen haben.
Jetzt kann Dom_89 sich eine Variante aussuchen.
Gruß,
notinX
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> [mm]\int_{3}^{y}y'^{2}\,\mathrm{d}y'=\int_{0}^{x}(1-2x')\,\mathrm{d}x'[/mm]
> >
> > (Klammern um die Integranden noch eingefügt)
>
> ist das denn nötig?
Ja, diese Klammern sind nötig, so wie etwa auch diese im Term 7(x+y)
> Ja, auch hier hast Du Recht. Besser wäre es so:
>
> [mm]\int_{3}^{y}\upsilon^{2}\,\mathrm{d}\upsilon=\int_{0}^{x}(1-2\xi)\,\mathrm{d}\xi[/mm]
> Wobei auch das nicht ganz unproblematisch ist. Manche sind
> schon allein dadurch irritiert, dass die Variablen
> ungewöhnliche Namen haben.
Es müssen auch nicht griechische Zeichen sein - auch
Buchstaben wie s,t,u,.... kämen in Frage.
LG , Al-Chw.
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