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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:19 Do 01.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
| Aufgabe | Bestimme die allgemeine Lösung der Anfangswertaufgabe
y'(t) = [mm] \pmat{ 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 }y(t) [/mm] ; y(0) = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] |
Hallo,
hier einmal mein Lösungsansatz:
Ich habe zunächst die Eigenwerte bestimmt mit:
[mm] det(A-\lambda E_{3}) [/mm] = [mm] \vmat{ 1-\lambda & 1 & 0 \\ 4 & 1-\lambda & 0 \\ 0 & 0 & 3-\lambda }
[/mm]
Hier kam dann [mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 , [mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 und [mm] \lambda_{3} [/mm] = -1 raus
Für die Bestimmung der Eigenwerte habe ich dann jeweils die o.g. Werte für [mm] \lambda [/mm] eingesetzt:
[mm] \lambda_{1} [/mm] = 3 [mm] (A-\lambda_{1} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \vec{x}_{1} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_{2} [/mm] = 3 [mm] (A-\lambda_{2} E_{3}): \pmat{ -2 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
[mm] \vec{x}_{2} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1}
[/mm]
[mm] \lambda_{3} [/mm] = -1 [mm] (A-\lambda_{3} E_{3}): \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 6 }
[/mm]
[mm] \vec{x}_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0}
[/mm]
Somit lautet die Lösung dann:
y(t) = [mm] c_{1}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{2}e^{3t}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 1} [/mm] + [mm] c_{3}e^{-t}\vektor{-\bruch{1}{2} \\ -1 \\ 0}
[/mm]
Dann noch den Anfangswert mit einbeziehen:
y(0) = [mm] c_{1}e^{3t}\pmat{ \bruch{1}{2}c_{1} & +\bruch{1}{2}c_{2} & -\bruch{1}{2}c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} & +c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
An dieser Stelle verstehe ich dann nicht, wie ich "vernünftig" auflösen kann!?
Könntet ihr mit da einen Tipp geben?
Ist meine Lösung ansonsten soweit in Ordnung?
Besten Dank!
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Hallo,
für den Eigenwert -1 bekommst Du
[mm] \pmat{ 2 & 1 & 0 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4}
[/mm]
2. Zeile/2. Spalte steht eine 2, berechne 1-(-1)=1+1=2
3. Zeile/3. Spalte steht eine 4, berechne 3-(-1)=3+1=4
Steffi
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:56 Fr 02.02.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Hallo,
danke für die Antwort!
Ich habe das nun geändert und erhalte:
y(0) = [mm] c_{1}e^{3t}\pmat{ 2c_{1} & +2c_{2} & +2c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} & -c_{3} \\ c_{1} & +c_{2} } [/mm] = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Mit II folgt: [mm] c_{1}+c_{2}=c_{3}
[/mm]
Mit III folgt: [mm] c_{1}+c_{2} [/mm] = 1 => [mm] c_{3} [/mm] = 1
Mit I folgt: [mm] 2c_{1}+2c_{2}+2c_{3} [/mm] = 2
[mm] 2c_{1}+2c_{2}+2 [/mm] = 2
[mm] 2c_{1}+2c_{2} [/mm] = 0
[mm] 2c_{1} [/mm] = [mm] -2c_{2}
[/mm]
[mm] c_{1} [/mm] = [mm] -c_{2}
[/mm]
=> [mm] c_{1} [/mm] = 1 ; [mm] c_{2} [/mm] = -1 ; [mm] c_{3} [/mm] = 1
Ist das so in Ordnung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:20 So 04.02.2018 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Die Eigenwerte sind richtig berechnet, die Eigenvektoren aber nicht.
Zu [mm] \lambda= [/mm] -1 bekommst du richtig $ [mm] \vec{x}_{-1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-\bruch{1}{2} \\ 1 \\ 0} [/mm] $ oder - um Brüche zu vermeiden - $ [mm] \vec{x}_{-1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{-1 \\ 2 \\ 0} [/mm] $.
Zu [mm] \lambda=3 [/mm] bekommst du aber nicht zwei mal den selben Vektor, sondern die beiden linear unabhängigen Vektoren
$ [mm] \vec{x}_{3,1} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1\\ 2 \\ 0} [/mm] $ sowie $ [mm] \vec{x}_{3,2} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 1} [/mm] $ (oder auch $ [mm] \vec{x}_{3,2} [/mm] $ = $ [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] $ als Differenz der beiden Erstgenannten).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:18 Mo 25.06.2018 | | Autor: | Dom_89 |
Vielen Dank für die Hilfe - hat nun alles so funktioniert, wie es soll !
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