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| Aufgabe | Schreiben Sie das Anfangswertproblem in der Form y'=A(x)y+b(x) und [mm] y(x_{0})=y_{0}. [/mm] Zeigen Sie, dass U eine Fundamentalmatrix zum zugehörigen homogenen Differentialgleichungssystem ist, und lösen Sie das Anfangswertproblem:
[mm] y_{1}'(x)=x^{-1}y_{2}+1 [/mm] und [mm] y_{1}(\bruch{\pi}{2})=1 [/mm] und [mm] y_{2}'=-xy_{1}+x^{-1}y_{2}+x [/mm] und [mm] y_{2}(\bruch{\pi}{2})=\pi [/mm] und [mm] U(x)=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -x*sin(x) & x*cos(x) } [/mm] für x>0. |
Hallo :D
Also, ich bin so weit gekommen:
[mm] y=\pmat{ y_{1} \\ y_{2} }
[/mm]
[mm] A(x)=\pmat{ 0 & x^{-1} \\ -x & x^{-1} }
[/mm]
[mm] h(x)=\pmat{ 1 \\ x }
[/mm]
[mm] y(\bruch{\pi}{2})=\pmat{ 1 \\ \pi }
[/mm]
y'=A(x)*y+b(x)
[mm] U(x)=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -x*sin(x) & x*cos(x) }
[/mm]
[mm] U'(x)=\pmat{ -sin(x) & cos(x) \\ -sin(x)-x*cos(x) & cos(x)-x*sin(x) }
[/mm]
[mm] A(x)*U(x)=\pmat{ -sin(x) & cos(x) \\ -x*cos(x)-sin(x) & -x*sin(x)+cos(x) }
[/mm]
U'(x)=A(x)*U(x) [mm] \Box
[/mm]
det(U(x))= [mm] x*cos^{2}(x)+x*sin^{2}(x) [/mm] = x [mm] \not= [/mm] 0
Inverse von U(x):
[mm] u^{-1}(x)=\pmat{ \bruch{1}{cos(x)}-\bruch{sin^{2}(x)}{cos(x)} & -\bruch{sin(x)}{x} \\ sin(x) & \bruch{cos(x)}{x} }
[/mm]
Wenn ich jetzt aber [mm] u^{-1}(\bruch{\pi}{2}) [/mm] rechnen möchte, dann bekomme ich ja unter manchen Bruchstrichen 0 raus, was ja nicht geht ... habe ich etwas falsch gemacht, bzw. wie rechne ich dies?
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Hallo Kruemel1008,
> Schreiben Sie das Anfangswertproblem in der Form
> y'=A(x)y+b(x) und [mm]y(x_{0})=y_{0}.[/mm] Zeigen Sie, dass U eine
> Fundamentalmatrix zum zugehörigen homogenen
> Differentialgleichungssystem ist, und lösen Sie das
> Anfangswertproblem:
>
> [mm]y_{1}'(x)=x^{-1}y_{2}+1[/mm] und [mm]y_{1}(\bruch{\pi}{2})=1[/mm] und
> [mm]y_{2}'=-xy_{1}+x^{-1}y_{2}+x[/mm] und [mm]y_{2}(\bruch{\pi}{2})=\pi[/mm]
> und [mm]U(x)=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -x*sin(x) & x*cos(x) }[/mm]
> für x>0.
> Hallo :D
> Also, ich bin so weit gekommen:
>
> [mm]y=\pmat{ y_{1} \\ y_{2} }[/mm]
> [mm]A(x)=\pmat{ 0 & x^{-1} \\ -x & x^{-1} }[/mm]
>
> [mm]h(x)=\pmat{ 1 \\ x }[/mm]
> [mm]y(\bruch{\pi}{2})=\pmat{ 1 \\ \pi }[/mm]
>
> y'=A(x)*y+b(x)
> [mm]U(x)=\pmat{ cos(x) & sin(x) \\ -x*sin(x) & x*cos(x) }[/mm]
>
> [mm]U'(x)=\pmat{ -sin(x) & cos(x) \\ -sin(x)-x*cos(x) & cos(x)-x*sin(x) }[/mm]
>
> [mm]A(x)*U(x)=\pmat{ -sin(x) & cos(x) \\ -x*cos(x)-sin(x) & -x*sin(x)+cos(x) }[/mm]
>
> U'(x)=A(x)*U(x) [mm]\Box[/mm]
> det(U(x))= [mm]x*cos^{2}(x)+x*sin^{2}(x)[/mm] = x [mm]\not=[/mm] 0
> Inverse von U(x):
> [mm]u^{-1}(x)=\pmat{ \bruch{1}{cos(x)}-\bruch{sin^{2}(x)}{cos(x)} & -\bruch{sin(x)}{x} \\ sin(x) & \bruch{cos(x)}{x} }[/mm]
>
> Wenn ich jetzt aber [mm]u^{-1}(\bruch{\pi}{2})[/mm] rechnen möchte,
> dann bekomme ich ja unter manchen Bruchstrichen 0 raus, was
> ja nicht geht ... habe ich etwas falsch gemacht, bzw. wie
> rechne ich dies?
>
Es ist doch zuerst die partikuläre Lösung zu bestimmen.
Gruss
MathePower
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