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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Sa 12.07.2008 | | Autor: | Tobus |
| Aufgabe | | Lösen sie das Anfangswertproblem [mm] y'=\bruch{y}{x}-\bruch{x}{y}, [/mm] y(1)=4 |
Leider kann ich aus meinem Skript heraus nicht erkennen, wie ich diese DGL lösen kann.
Ich habe nur eine Formel für [mm] y'=f(\bruch{y}{x}) [/mm] was mir hier ja nicht viel bringt.
Bitte um Hilfe ;)
DANKE
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Hallo Tobus,
> Lösen sie das Anfangswertproblem
> [mm]y'=\bruch{y}{x}-\bruch{x}{y},[/mm] y(1)=4
> Leider kann ich aus meinem Skript heraus nicht erkennen,
> wie ich diese DGL lösen kann.
> Ich habe nur eine Formel für [mm]y'=f(\bruch{y}{x})[/mm] was mir
> hier ja nicht viel bringt.
Verwende hier die Substitution [mm]y\left(x\right)=x*z\left(x\right)[/mm]
Dann ist [mm]y'\left(x\right)=z\left(x\right)+x*z'\left(x\right)[/mm]
Eingesetzt in die DGL, liefert:
[mm]z\left(x\right)+x*z'\left(x\right)=z\left(x\right)-\bruch{1}{z\left(x\right)}[/mm]
[mm]\gdw x*z'\left(x\right)=-\bruch{1}{z\left(x\right)}[/mm]
Diese neue DGL kannst Du jetzt nach ![[]](/images/popup.gif) Trennung der Veränderlichen lösen.
Dann kannst Du die obige Anfangsbedingung einsetzen, um die konkrete Lösung zu bestimmen.
>
> Bitte um Hilfe ;)
>
> DANKE
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:18 So 13.07.2008 | | Autor: | Tobus |
hmm, da hab ich noch einige fragen.
der fall:
[mm] z\left(x\right)+x\cdot{}z'\left(x\right)=z\left(x\right)-\bruch{1}{z\left(x\right)} \gdw x\cdot{}z'\left(x\right)=-\bruch{1}{z\left(x\right)} [/mm]
tritt ja nur ein, wenn "genau dann wenn" stimmt. dies ist ja nicht sehr oft der fall.
außerdem fehlt mir in der dgl ja das "y", so dass ich die "trennung der veränderlichen" nicht durchführen kann.
stehe ich da gerade auf dem schlauch ?
DANKE
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Hallo Tobus,
> hmm, da hab ich noch einige fragen.
>
> der fall:
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> [mm]z\left(x\right)+x\cdot{}z'\left(x\right)=z\left(x\right)-\bruch{1}{z\left(x\right)} \gdw x\cdot{}z'\left(x\right)=-\bruch{1}{z\left(x\right)}[/mm]
>
> tritt ja nur ein, wenn "genau dann wenn" stimmt. dies ist
> ja nicht sehr oft der fall.
Auf der linken und rechten Seite der Gleichung steht [mm]z\left(x\right)[/mm], welches sich dann eliminieren läßt. Demnach steht der Äquivalenzpfeil dort zurecht.
> außerdem fehlt mir in der dgl ja das "y", so dass ich die
> "trennung der veränderlichen" nicht durchführen kann.
>
> stehe ich da gerade auf dem schlauch ?
Wir haben substituiert [mm]y\left(x\right)=x*z\left(x\right)[/mm].
Demnach erhältst Du eine DGL für [mm]z\left(x\right)[/mm].
Die Veränderlichen sind hier also x und z.
>
> DANKE
>
Gruß
MathePower
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